Seminario 2: Prismas

Transcripción

1 Semiario 2: Prismas Fabiá Adrés Torres Ruiz Departameto de Física, Uiversidad de Cocepció, Chile 28 de Marzo de Problemas. (Pagia 92, Óptica, Eugee Hecht,tercera edició Deducció del águlo de desviacióara urisma dispersivo. 2. (Problema 46A, capitulo 35,Física, Raymod A. Serway, V2, cuarta edició U material que tiee u ídice de refracció está rodeado por el vacío ( = y tiee la forma de u cuarto de circulo de radio R. U rayo lumioso paralelo a la base del material icide desde la izquierda a ua distacia L sobre la base y emerge del material a u águlo θ. Determie ua expresióara θ e fució de L, y R.

2 Departameto de Física Uiversidad de Cocepció Electricidad, Magetismo y Óptica Solucioes Problema E este caso, utilizado la figura se tiee que δ = (θ i θ t + (θ t2 θ i2 ( α = θ t + θ i2 (2 Utilizado estas dos ecuacioes, se tiee que δ = θ i + θ t2 α (3 θ i2 = α θ t (4 Utilizado la ley de Sell e la seguda trasmisió se tiee que utilizado la ecuació 4 se tiee que si θ i2 = siθ t2 (5 ( p θ t2 = arcsi si θ i2 (6 θ t2 ( p = arcsi si (α θ t (7 que Utilizado la idetidad trigoométrica para el seo de la suma o resta de águlos (ver apédice se tiee ( p θ t2 = arcsi si (α θ t ( p = arcsi si α cosθ t p cosαsi θ t ( p = arcsi siα si 2 θ t p cosαsi θ t (8 (9 (0 Usado la ley de Sell e la primera iterfase se tiee que si θ i = si θ t ( si 2 θ t = 2 2 si 2 θ i (2 p reemplazado e 0 se tiee que θ t2 = arcsi ( si α 2 2 p si 2 θ i cosαsi θ t ( = arcsi si α 2 p 2 si2 θ i cosα si θ i ( 2 p = arcsi si α 2 si2 θ i si θ i cosα (3 (4 (5 Así, utilizado la relació se obtiee que la desviació del haz es δ = (θ i θ t + (θ t2 θ i2 (6 ( 2 p = θ i + arcsi si α 2 si2 θ i si θ i cosα α (7 28/03/ F. A. Torres-Ruiz

3 Departameto de Física Uiversidad de Cocepció Electricidad, Magetismo y Óptica Figura : haces y lieas pricipales e urisma dispersivo Para buscar el águlo de desviació míimo es ecesario derivar la expresió de la desviació agular 7, e fució del águlo de icidecia e igualarla a cero. Si embargo se puede obteer el mismo resultado, derivado la expresió 3, de dode se obtiee que + dθ t2 dθ i = 0 (8 dθ t2 dθ i = (9 La derivada de la ley de Sell e cada iterfase es cosθ i dθ i cosθ i2 dθ i2 = cosθ t dθ t = cosθ t2 dθ t2 De la expresió 2, al derivarla se obtiee que dθ t = dθ i2 28/03/ F. A. Torres-Ruiz

4 Departameto de Física Uiversidad de Cocepció Electricidad, Magetismo y Óptica De las ecuacioes 20 y 20 se obtiee que Utilizado la ley de Sell se tiee que cosθ i dθ i = cosθ t dθ t cosθ t2 dθ t2 cosθ i2 dθ i2 dθ i cosθ i = dθ t cosθ t dθ t2 cosθ t2 dθ i2 cosθ i2 cosθ i = cosθ t cosθ t2 cosθ i2 si 2 θ i si 2 θ t2 = si2 θ t si 2 θ i2 (20 pero siθ t = si θ i y siθ i2 = siθ t2. Reemplazado esto se tiee que si 2 θ i si 2 = θ t2 si θ i si θt2 si 2 θ i si 2 θ t2 = siθ i siθ t2 De aquí se ve que la codicióara la míima desviació es que θ t = θ i2 Utilizado este resultado, vemos que cuado δ i = δ mi se tiee que de dode se tiee que, usado la ley de Sell θ t = α 2 = 2θ i α θ i = δ mi + α 2 δ mi siθ i = siθ t = si ( δ mi+α 2 si ( α 2 Problema 2 Lo primero que debemos hacer es idetificar las compoetes ormales y establecer las relacioes trigoométricas que os pueda ser útiles. Como se trata de u cuarto de circulo, la ormal a la superficie circular siempre coicide co la liea del radio, de este modo podemos idetificar que, el águlo de icidecia, θ i correspode al águlo que forma el radio co respecto a la superficie horizotal (ver figura 2 De la trigoometría, sabemos que si θ i = L R si 2 θ i + cos 2 θ i = cosθ i = (2 L2 R 2 (22 (23 28/03/ F. A. Torres-Ruiz

5 Departameto de Física Uiversidad de Cocepció Electricidad, Magetismo y Óptica Figura 2: Por otro lado, de la Ley de Sell sabemos que De la geometría sabemos que si θ i = siθ t siθ t = L R cosθ t = si2 θ i 2 = ya que la suma de los águlos iteriores debe ser igual al águlo exterior. Escribiedo la ley de Sell para la seguda iterfase, se tiee que (24 L2 2 R 2 (25 θ t + θ i2 = θ i (26 siθ i2 = si θ t (27 Despejado θ i2 de la ecuació 26, la ecuació 27 se escribe como si (θ i θ t = si θ t Utilizado la idetidad trigoométrica para si(α + β (ver apédice se tiee que (siθ i cosθ t siθ t cosθ i = si θ t Reemplazado ahora las expresioes 2,22, 24 y 25 e 28, se tiee que ( L si θ t = L2 R 2 R 2 L L2 R R 2 ( = L R 2 L2 R 2 L2 R 2 ( = L R 2 L2 R 2 L2 R 2 (28 (29 (30 28/03/ F. A. Torres-Ruiz

6 Departameto de Física Uiversidad de Cocepció Electricidad, Magetismo y Óptica Luego, el águlo de salida es θ t = arcsi [ ( ] L R 2 L2 R 2 L2 R 2 Apédice Formulas mas utilizadas i θ : Águlo formado por el haz icidete y θ 2 : Águlo formado por el haz propagado y Ídice de refracció = c c: velocidad de la luz e el vacío v v: Velocidad de la luz e el medio óptico. θ : Águlo formado etre la ormal a la s Ley de reflexió θ = θ el haz reflejado θ : Águlo formado por el haz icidete y a la superficie : ídice de refracció del medio i de pro Ley de Sell si θ = 2 siθ 2 a la superficie a la superficie 2 Águlo crítico para reflexió total itera si θ C = i : ídice de refracció del medio i de pro 2 θ C : Águlo crítico de reflexió total iter Itesidad de la luz reflejada ( 2 I = 2 (solo para icidecia ormal I0 i : Ídice de refracció del medio i de pro + 2 I 0 : Itesidad de la luz icidete si (α ± β si(α ± β = si α cosβ ± cosαsi β α, β: águlos cualquiera 28/03/ F. A. Torres-Ruiz