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Transcripción

1 1.- Ua barra de secció circular, de 5 mm de diámetro, está sometida a ua fuerza de tracció de 5 kg, que se supoe distribuida uiformemete e la secció. partir de la defiició de vector tesió, determiar sus compoetes ormal y tagecial e el plao -. F 6º F ************************************************************************ * Resolveremos el problema de dos formas: partir de la defiició de vector tesió, como pide el euciado y tambié mediate el uso del Círculo de Mohr. -: PRTIR D DFINICIÓN D VCTOR TNSIÓN: Hacemos el diagrama de cuerpo libre de la barra cuado la cortamos por el plao F 6º F F Ft Proyectado F sobre la ormal al plao - y a su perpedicular: F F se 6º 433 kg. Ft F cos 6º 5 kg. os valores de las compoetes ormal y tagecial de la tesió e el plao vedrá de repartir uiformemete (como dice el euciado), sobre la secció de corte - las fuerzas F y Ft respectivamete. l cortar ua barra por u plao o perpedicular a su eje, la secció de corte pasa de ser u círculo a ser ua elipse, cuyo eje meor, a, coicide co el radio de la barra. Su eje mayor, b, y el área asociada a la secció se obtiee de la siguiete maera: b 6º r a r 1.5 cm. b r/se 6º cm. rea - π a b 5.67 cm.

2 Por lo tato: - Compoete ormal: F 764 kg/cm. rea - Compoete tagecial: Ft 441 kg/cm. rea UTIIZNDO CÍRCUO D MOHR: a barra se ecuetra traccioada, por lo que el estado tesioal e cualquier plao perpedicular a su eje es u estado mooaial de tesió perfectamete coocido, ya que la secció de la barra y el valor de la fuerza de tracció lo so. l círculo de Mohr asociado a este estado es el siguiete: O p/ p dode el eje represeta tambié a la direcció del eje de la barra (direcció X): p F rea barra F 5 kg. rea barra r cm. p 119 kg/cm. l vector ormal al plao -,, represetate del mismo, forma u águlo de 3º co el eje X, girados e el setido de las agujas del reloj. Por lo tato, para ecotrar el estado tesioal e el plao - sobre el círculo de Mohr descrito, y debido a la forma e la que se trabaja sobre estos círculos, tedremos que girar u águlo igual a 3º 6º, tambié e setido horario, sobre el mismo:

3 6º 3º O p/ - 3º p - P la figura aterior el puto P represeta el estado tesioal e el plao -: - Compoete ormal: - p p + cos kg/cm. - Compoete tagecial: - se kg/cm. Por el modo e que se costruye el círculo de Mohr, el sigo egativo e la tesió cortate y el positivo e la ormal idica que sobre el plao - el setido de estas tesioes es el siguiete: p

4 .- el estado de tesioes de la figura (e kg/cm ), hallar: a) Valores de las tesioes ormal y tagecial e el plao BC. b) Valores y direccioes de las tesioes pricipales. c) Valor de la tesió tagecial máima B o O OB 3 OC 4 6 C ************************************************************************ * a) a matriz de tesioes asociada a la figura del euciado es: y z [ T] y z y y yz z yz z kg/cm. l vector tesió e el plao BC se calcula: [ ] [ ] [ ] T u siedo u ( α, β, γ ), el vector uitario ormal a dicho plao. α, β y γ so los coseos directores de dicha direcció ormal. Nos dice que el plao BC pasa por tres putos: (,,) B (,3,) C (,,4) Para defiir la ecuació del plao ecesitamos coocer dos direccioes coteidas e él y u puto del mismo. sto es posible a partir de las coordeadas de los tres putos,, B y C: u C ( 4,, ) v BC (, 34, ) C ( 4,, ) y 3 z y + 3z 1 Partiedo de la ecuació del plao BC, u vector represetate de la direcció ormal al mismo es ( 643,, ) y el vector uitario correspodiete:

5 ( 643,, ) u ( αβγ,, ) (.768,.51,.384) u 61 sí, el vector tesió e el plao BC, resulta: T u [ ] [ ] [ ] kg/cm. y sus compoetes ormal y tagecial so: (64, -3, 461) (.768,.51,.384) 65 kg/cm. u kg/cm. b) as tesioes pricipales so los autovalores de la matriz de tesioes [ T ], siedo 1 el mayor y 3 el meor: kg/cm. 67 kg/cm kg/cm. os coseos directores correspodietes a las tesioes pricipales so las direccioes pricipales. stas tesioes pricipales so los autovalores de la matriz de tesioes, por lo tato las direccioes buscadas será los autovectores asociados a ellos kg/cm. u 1 (.666,.18,.746) 67 kg/cm. u (.667,.434, -.66) 3-37 kg/cm. u 3 (-.334,.91,.77) c) a tesió tagecial máima coicide co el radio del mayor círculo de Mohr, y estos está perfectamete determiados a partir de las tesioes pricipales calculadas e b): ma 3 1 ma kg/cm.

6 3.- Dado el estado de tesioes de la figura (e kg/cm ), hallar: a) Tesioes e BC. b) Tesioes y plaos pricipales. c) Tesioes cortates máimas, sus plaos y las -s correspodietes B 4 35º 5 ************************************************************************ * a) Se trata de u estado plao de tesioes, luego podemos trabajar co ua matriz de tesioes, que e uestro caso será: B y C 5 B 35º u B [ T] y y y kg/cm. BC C u BC l vector uitario ormal al plao B es: B (-se 35º, cos 35º ) ( -.574,.819) partir de él es fácil obteer las compoetes de los otros vectores que aparece e la figura: u B (.819,.574) BC (-.819, -.574) u BC (.574, -.819) l vector tesió e el plao B resulta: B [ T] [ ] ( -18.1, 45.6) kg/cm B as compoetes ormal y tagecial de dicho vector tesió so: 47 kg/cm. B B B u 111 kg/cm. B B B

7 Procediedo de igual modo para el plao BC, obteemos: BC [ T] [ ] ( 614.6, 94.7) kg/cm BC -67 kg/cm. BC BC BC u 111 kg/cm. BC BC BC No habría hecho falta el cálculo de BC, puesto que por ser B y BC perpediculares, para que eista equilibrio, por reciprocidad de tesioes, B BC. Sirva su cálculo de comprobació. a solució de este apartado se resume e la siguiete figura: kg/cm. 67 b) Por tratarse de u estado tesioal plao, la ormal a dicho plao es direcció pricipal, y la tesió pricipal asociada a la misma es ula. s decir, e uestro caso, lo que sería el eje Z es direcció pricipal y la tesió pricipal asociada a ella será. No sabemos todavía si será la 1, la ó la 3, ya que eso depede del valor que resulte teer las otras dos que os falta por calcular. stas tesioes pricipales, todavía icógita, será los autovalores de la matriz T del apartado a), y sus direccioes pricipales los autovectores correspodietes: [ ] Por lo tato: utovalores: 483; -683 utovectores: ( -.493,.87); (.87,.493) kg/cm kg/cm. Represetamos el resultado sobre ua figura: y α arc.tg α

8 c) Coocidas 1, y 3, los círculos de Mohr asociados a este estado tesioal está perfectamete determiados: ma I ma θ θ ma II Vemos e ellos que la ma se ecuetra sobre dos plaos cuyas ormales forma u águlo θ 45 º co la direcció pricipal 1 (calculada e el apartado b), girados e setido atihorario y horario respectivamete. l valor de ma y la tesió ormal correspodiete a dicho cortate máimo coicide co el radio y el cetro del círculo del Mohr determiado por 1 y por 3, respectivamete. ma kg/cm. 1 y ma-ii ma kg/cm. ma-i 9.5º 3 45º 74.5º Represetamos el resultado e la siguiete figura: ,5º

9 4.- Hallar el icremeto de logitud y el icremeto de volume que eperimeta ua barra suspedida del techo sometida a la acció de su propio peso. Datos: logitud; secció (uiforme); módulo de elasticidad; coeficiete de Poissoµ; desidad ρ ********************************************************************** Si ρ es la desidad del material, y supoemos el peso repartido uiformemete, e cada secció, la barra se ecuetra traccioada co ua tesió de valor: P() P() ρ g () P ( ) ρ g Puesto que es fució de, la barra o se deformará de igual forma a lo largo de su logitud. Por lo tato, para ecotrar los icremetos de logitud y de volume totales de la misma será ecesario hacer ua itegració de la siguiete maera: l uitario ε l total ε d V uitario ε + εy + εz V total Vuitario dv Vuitario d as deformacioes uitarias ε, ε y y ε z se obtiee a partir de la ley de Hooke, que por ser e este caso y z, queda reducida a: Resultado: ε ; ε µ µ y ; ε z l total V uitario ε + εy + εz 1 µ ρ g ρ g ρ g ρ d g ; V total Vuitario d 1 µ 1 µ ρ g d ρ g V total 1 µ ρ g