T ema 6 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD. x 1. x 2 = 1 = 2. x 3 = 3. x 4. Variable aleatoria: definición y tipos:

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1 T ema 6 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD Variable aleatoria: defiició y tipos: Ua variable aleatoria es ua fució que asiga u úmero real, y sólo uo, a cada uo de los resultados de u eperimeto aleatorio. Las variables aleatorias se represeta por letras mayúsculas de uestro alfabeto latio y utilizaremos las miúsculas co subídices, para los valores cocretos de las variables. Las variables aleatorias puede ser discretas o cotiuas. Discreta cuado la variable sólo puede tomar u cojuto ifiito y umerable de valores (los úmeros aturales) o fiito de valores (úmero de sucesos). Y cotiua cuado puede tomar ifiitos valores o u cojuto de valores o umerable. Variables aleatorias discretas: Fució de probabilidad: Se llama fució de probabilidad de ua variable aleatoria discreta, X, y se represeta por f(), a aquella fució que asocia a cada valor de la variable la probabilidad de que ésta adopte ese valor. Es decir: f() = P (X=) E P 1 = 0 1/8 = 0,15 = 1 3/8 = 0,375 3 = 3/8 = 0,375 4 = 3 1/8 = 0,15

2 Dode: f() 0,15 0,375 0,375 0,15 La fució de probabilidad de ua variable aleatoria discreta puede represetarse mediate u diagrama de barras. Las dos propiedades que debe cumplir la fució de probabilidad so: 1. Para cualquier valor de, siempre toma valores positivos o ulos: ϵ X f() > 0. La suma de todas las probabilidades correspodietes a cada valor de es igual a uo: Fució de distribució: f() = f(1)+f()+...+f() = 1 La fució de distribució de ua variable aleatoria X, se represeta igual que la de probabilidad pero e mayúscula: F(); y es aquella fució que asocia a cada valor de la variable la probabilidad de que ésta adopte ese valor o cualquier otro iferior. F() = P (X < ) De la misma forma: F() = P (X < ) = f(1)+f()+...+f() Retomado el ejemplo aterior calculamos F(0), F(1), F() y F(3): F(0) = P(X < 0) = P(X = 0) = 0,15 F(1) = P (X < 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = f(0) + f(1) = 0,15 + 0,375 = 0,5 F() = P (X < ) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = ) = f(0) + f(1) + f() = = 0,15 + 0, ,375 = 0,875 F(3) = P (X < 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = ) + P (X = 3) = f(0) + f(1) + f() + f(3)= 0,15 + 0, ,375 +0,15 = 1 Las Propiedades que debe cumplir so: 1. Todos los valores que toma la fució de distribució de probabilidad so positivos o ulos: F() > 0

3 . F() es ula, vale 0, para todo valor iferior al meor valor de la variable aleatoria, 1: F() = 0 si < 1 3. F() es igual a uo para todo valor igual o superior al mayor valor de la variable aleatoria, llamado a éste k : F() = 1 si > k 4. La fució F() es o decreciete ya que es ua acumulació o suma de probabilidades que so siempre positivas o ulas. 5. La probabilidad, P, de que la variable aleatoria X tome valores compredidos etre 1 y (1 < < ) es la diferecia etre los valores de la fució de distribució correspodietes a su valor superior meos su valor iferior. Media y variaza de ua variable aleatoria: P (1 < < ) = F() F(1) La media, μ, de ua variable aleatoria discreta X viee defiida por la siguiete epresió: μ =.f() La media de ua variable X, tambié se le cooce por esperaza matemática o valor esperado de X y se represeta por E(X). f().f() 0 0,15 0, ,375 0,375 0,375 0, ,15 0,375 1,5 μ = E(X) =.f() =0.f(0) + 1.f(1) +.f()+ 3.f(3) = = 0.0, , , ,375 = 1,5 La variaza σ de ua variable aleatoria discreta X viee defiida por: Otra alterativa; a veces muy útil, es: σ = ( μ). f() σ = E(X ) - [E(X)] dode: E(X ) =.f() y [E(X)] es la media elevada al cuadrado.

4 De la misma forma la desviació típica será la raíz cuadrada de la variaza: σ = σ Distribucioes discreta de probabilidad: Para alguas distribucioes discretas se emplea ua serie de tablas que facilita su aplicació a uos problemas e cocreto. E Ciecias Sociales y de la Salud se trabaja co variables que toma sólo dos valores (dicotómicas 1 0); E este caso se utiliza la distribució biomial. La distribució biomial: El esayo aterior de la moeda al aire se deomia Berouilli, autor de éste. U eperimeto biomial cosiste e repetir veces u esayo Berouilli. Ua variable aleatoria X sigue ua distribució biomial (co parámetros y p) si epresa el úmero de realizacioes idepedietes co la probabilidad p y por tato (1 p) de obteer fracaso. Se represeta por B(, p); dode B idica biomial, el úmero de esayos y p la probabilidad de éito. Si tiramos tres veces la moeda al aire y defiimos X como el úmero de caras, esta variable seguirá los parámetros = 3 y p = 0,5. Lo mismo que B(3; 0,5). Las características fudametales so: 1. Fució de probabilidad:. Fució de distribució: 3. Media: μ = p 4. Variaza : σ = pq; f() = P(X = ) = F() = P (X < ) = p q - p q - dode es el umero de aciertos, el úmero de esayos, p la probabilidad de éito de cada esayo, q la probabilidad de fracaso (1-p) y el úmero combiatorio, que se lee! sobre es igual a.! ( - )! A) Calcularemos la probabilidad de obteer eactamete caras:

5 ! f() = P(X = )=.0,5.0,5 =.0,5.0,5 =.0,5.0,5=!.1! = 3.0,5.0,5 = 3.0,5.0,5 = 0,375 B) Calcularemos la probabilidad de obteer dos caras o meos: F() = P(X < ) = f(0)+f(1)+f() = 0,15 + 0, ,375 = 0,875 puesto que: ! f(0) = P(X = 0) = 0.0,5.0,5 = 0.1.0,5 =.1.0,15= 1.1.0,15 = 0,15 0!.3! ! f(1) = P(X = 1) = 1.0,5.0,5 = 1.0,5.0,5 =.0,5.0,5 = 3.0,5.0,5 = 0,375 1!.3! f() = P(X = ) = 0,375 (ver apartado A) C) Calcular la probabilidad de obteer más de dos caras: P(X > ) = 1 P(X < ) = 1 F() = 1 0,875 = 0,15 Podemos calcular tambié la media y la variaza: Otras distribucioes discretas: μ = p = 3.0,5 = 1,5 σ = pq = 3.0,5.0,5 = 0,75 Eiste otros modelos de distribucioes discretas. El modelo Poisso de los sucesos raros, que se utiliza e codicioes similares a las biomiales pero co u elevado úmero de esayos y u valor p muy pequeño.