ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL

Transcripción

1 I.E.S. Virge de la Paz. Alcobedas DEPARTAMETO DE MATEMÁTICAS Itroducció ESTADÍSTICA UIDIMESIOAL El ombre de Estadística alude al eorme iterés de esta rama matemática para los asutos del Estado y su itroducció e el mudo cietífico se debe a la importacia idiscutible para el desarrollo de las ciecias sociales y humaas. La Estadística trata, e primer lugar, de acumular la masa de datos uméricos proveietes de la observació de multitud de feómeos, procesádolos de forma razoable. Mediate la teoría de la probabilidad aaliza y explora la estructura matemática subyacete al feómeo del que estos datos proviee. Fialmete mediate el coocimieto de tal estructura, trata de sacar coclusioes y prediccioes útiles y fiables. La tarea de describir y procesar de modo adecuado la masa de datos, proveietes de las observacioes y experimetos, es el objeto de la Estadística descriptiva. El aálisis de estos datos se realiza mediate la teoría de la Probabilidad. Fialmete, el arte de obteer co cofiaza coclusioes sobre el modo de proceder respecto del feómeo que se estudia es el objeto de las diversas técicas existetes de Iferecia estadística. Primeros coceptos Experiecia aleatoria: experiecia e la que o es posible predecir el resultado auque se repita las codicioes iiciales. Estadística Descriptiva: parte de la Estadística que se ocupa de la recolecció y presetació de los resultados correspodietes a la repetició de experimetos aleatorios. Població : cojuto de idividuos, seres,... Muestra : subcojuto de la població. Característica o carácter : Aspecto de la població que se quiere estudiar. ESTADÍSTICA UIDIMESIOAL

2 I.E.S. Virge de la Paz. Alcobedas DEPARTAMETO DE MATEMÁTICAS Variable estadística: Cojuto de resultados de la observació de ua característica de la població. Puede ser cuatitativas o uméricas ( ej: estatura ) o cualitativas o o uméricas ( ej: iteció de voto) Las variables cuatitativas puede ser discretas: (si el cojuto de resultados posibles es fiito o umerable) o cotiuas si el cojuto de resultados cotiee al meos u itervalo. E este caso los valores suele agruparse e itervalos que suele llamarse clases, habitualmete de la misma amplitud (logitud del itervalo), cuyo puto cetral recibe el ombre de marca de clase. Frecuecias absoluta y relativa E adelate supodremos que los resultados de cada experiecia so x, x,..., xk idicado así que se trata de ua variable cuatitativa discreta o que los valores ha sido agrupados e clases, siedo etoces los úmero de observacioes. x i las marcas de clase. Deotaremos por el Frecuecia absoluta simple de u valor x i es el úmero de veces que aparece este valor. Lo deotaremos por i Frecuecia relativa simple de u valor x i. que deotaremos por fi es el cociete i. Frecuecia absoluta acumulada de u valor x i que deotaremos por observacioes meores que x i : i i i + i i es el úmero de Frecuecia relativa acumulada de u valor x i que deotaremos por F i es el cociete i F f F f + f... Fi f + f fi F + f Fi + fi ESTADÍSTICA UIDIMESIOAL

3 I.E.S. Virge de la Paz. Alcobedas DEPARTAMETO DE MATEMÁTICAS Tablas de frecuecias y represetació gráfica Seleccioada la població o muestra y la característica a estudiar, se recoge los datos y se sigue el proceso: Ordeació y recueto. Costrucció de ua tabla de frecuecias xi i i fi Fi % Datos e milloes CIFRA DE VETAS EMPRESAS ESPAÑOLAS Hasta ,8% De 500 a 750 5,8% De 000 a 500 7,8% De 750 a 000 9,4% Diagrama de sectores A cada valor de ua variable estadística se le asocia u sector circular de modo que la amplitud del águlo cetral correspodiete sea proporcioal a la frecuecia. Mas de ,% De 000 a ,7% De 500 a 000 4,4% AUTOOMOS 0,0% VOLUTARIOS DE LA CRUZ ROJA FUCIOARIOS,0% º de persoas del grupo : 50 Ocupacio pricipal ADMIISTRATIVOS 4,0% COMERCIO,0% AMAS DE CASA,0% ESTUDIATES,0% PARADOS 8,0% º DE EMPLEADOS E EMPRESAS ESPAÑOLAS De a 9 De 0 a 9 De 0 a 49 De 50 a 99 De 00 a 99 De 00 a 499 De 500 a 999 De 000 o mas 9,87 0,54 Datos acumulados 36,805 4,784 45,6 47,48 47, Miles Diagrama de barras Sobre uo de los ejes ( habitualmete el de abscisas) se represeta los valores de la variable y sobre el otro eje, las frecuecias absolutas o relativas, simples o acumuladas. A cotiuació por los putos marcados e el eje de abscisas se levata trazos gruesos o barras de logitud igual a la frecuecia correspodiete. 50 GASTOS MESUALES POR EDUCACIO DE LOS HIJOS Familias españolas 0 5 Pictograma Utiliza dibujos alusivos a la variable estadística que se pretede estudiar y mediate su forma, tamaño, etc., ofrece ua descripció lo más expresiva posible de ua distribució estadística. Polígoo de frecuecias Se forma uiedo los extremos de las barras mediate ua líea poligoal. GAACIAS DE GODOFREDO S.L. AÑO milloes de dólares. De Eero a Marzo. De Abril a Juio. De Julio a Septiembre. De Octubre a Diciembre er trim. do trim. 3er trim. 4to trim. orte 45,9 46, ,9 Oeste 30,6 38,6 34,6 3,6 Este 0,4 7,4 90 0,4 orte Oeste Este ESTADÍSTICA UIDIMESIOAL 3

4 I.E.S. Virge de la Paz. Alcobedas DEPARTAMETO DE MATEMÁTICAS Histograma Es el gráfico que sustituye al diagrama de barras cuado la variable es cotiua. Se costruye levatado sobre cada clase u rectágulo de modo que exista proporcioalidad etre las áreas de los rectágulos costruidos y las frecuecias de las clases correspodietes. f i i x i x i+ tiee frecuecia absoluta i y amplitud c i, se calcula las alturas teiedo e cueta: c h c h ci hi. i Si la clase [, ) Medidas de cetralizació Su objetivo es resumir la iformació coteida e la tabla de frecuecias e u solo úmero Moda: Es el valor que preseta mayor frecuecia absoluta. E el caso discreto es el dato de mayor frecuecia absoluta. Para variables estadísticas cotiuas, se localiza e primer lugar la clase modal que es la clase co mayor frecuecia absoluta simple y se obtiee la moda mediate la expresió: xi extremo iferior de la clase modal D c amplitud de la clase modal Moda x i + c. D + D D diferecia etre la frecuecia absoluta de la clase modal y la aterior. D diferecia etre la frecuecia absoluta de la clase modal y la siguiete. Mediaa: Es u valor de la variable tal que el úmero de observacioes meores que él es igual al úmero de observacioes mayores que él. E el caso discreto es el primer valor de la variable tal que la frecuecia absoluta acumulada excede a la mitad del úmero total de datos. E el caso cotiuo, se localiza e primer lugar la clase mediaa que es la clase tal que su frecuecia absoluta acumulada, excede por primera vez a la mitad del úmero total de datos y se aplica la fórmula: xi extremo iferior de la clase mediaa. º total de datos i c amplitud de la clase mediaa Mediaa xi + c. i - frecuecia absoluta acumulada de la clase aterior a la mediaa. i i frecuecia absoluta simple de la clase mediaa ESTADÍSTICA UIDIMESIOAL 4

5 I.E.S. Virge de la Paz. Alcobedas DEPARTAMETO DE MATEMÁTICAS Media: Es la suma de todos los valores de ua variable estadística dividido por el úmero total de datos. Sea X ua variable estadística que toma los valores x, x,..., x k co frecuecias absolutas xii,,..., k respectivamete. La media aritmética x + x x x k viee dada por la expresió de la derecha. Otras medidas de posició E series estadísticas co u elevado úmero de datos. Iteresa e ocasioes coocer medidas de posició diferetes de la mediaa. Las más utilizadas so los cuartiles ( so tres valores Q, Q y Q 3 que divide a la serie estadística e cuatro partes iguales) y los cetiles o percetiles (so 99 valores P, P,, P 99 que divide a la serie ordeada e 00 partes iguales). Su cálculo es similar al de la mediaa. E el caso discreto P k es el primer valor de la variable tal que la frecuecia absoluta acumulada excede al k % del úmero total de datos. E el caso cotiuo, se localiza e primer lugar la clase Pk que es la clase tal que su frecuecia absoluta acumulada, excede por primera vez al k % del úmero total de datos, y se aplica la fórmula : Pk xi + k i c. 00 i xi extremo iferior de la clase que cotiee a P k º total de datos c amplitud de la clase de P k i - frecuecia absoluta acumulada de la clase aterior a la de P k i frecuecia absoluta simple de la clase de P k Medidas de dispersió Rago o recorrido: Es la diferecia etre los datos mayor y meor. Variaza: Se llama desviació de u dato a la diferecia de éste co la media. Sea X ua variable estadística que toma los valores x, x,..., xk co frecuecias absolutas,,..., k respectivamete, se defie la variaza como la suma de todas las desviacioes al cuadrado dividido etre el úmero total de datos. ESTADÍSTICA UIDIMESIOAL 5

6 I.E.S. Virge de la Paz. Alcobedas DEPARTAMETO DE MATEMÁTICAS Desviació típica: σ i ( x x) i.i xi.i i Es la raíz cuadrada de la variaza: x σ i ( x x) i.i xi.i i x Iterpretació cojuta de x y σ Para variables estadísticas uimodales o ligeramete asimétricas se cumple que: E el itervalo ( σ, x + σ ) E el itervalo ( σ, x + σ ) E el itervalo ( 3 σ, x + 3σ ) Coeficiete de Pearso Es el cociete Putuacioes típicas x está el 68% de los datos x está el 95% de los datos x está el 99% de los datos. σ. Sirve para comparar la dispersió de series de aáloga aturaleza. x Se utiliza para comparar putuacioes correspodietes a series de la misma aturaleza. La putuació típica correspodiete a u dato x i de ua serie X, se defie como: x i x σ ESTADÍSTICA UIDIMESIOAL 6