CUADRATURA GAUSSIANA

Transcripción

1 CUADRATURA GAUSSIANA Este método de basa e muestrear el itegrado de la fució cuya itegral se desea ecotrar, a valores que represeta raíces de poliomios ortogoales Los más populares de éstos so los poliomios de Legedre E geeral u cojuto de fucioes φ( ), φ( ),, φ ( ) se cooce como ortogoales e u itervalo a b, si Dode b a w ( ) φ ( ) φ ( ) d, m m w ( ) es ua fució de poderació o egativa e [ a b ] () Si las fucioes φ ( ) so poliomios, estos se desiga como poliomios ortogoales m POLINOMIOS DE LEGENDRE Los primeros cico poliomios de Legedre so: P( ) P( ) P ( ) ( ) P ( ) (5 ) P + 4 4( ) 8 (5 ) () El poliomio de Legedre de grado se puede obteer por medio d la fórmula de Rodrigues d! d ( ) ( ) P O bie a partir de la fórmula recursiva: ( + ) P ( ) (+ ) P( ) + P ( ) + Las relacioes de ortogoalidad y ormalizació, co las fucioes de poderació (peso) igual a, so:

2 P( ) P ( ) d m + m m () Todas las raíces de cada itervalo [ ] P ( ) so reales y distitas, además está coteidas e el CUADRATURA GAUSSIANA El propósito es discutir la fórmula de itegració Gaussiaa que aproima f ( ) d (4) y mostrar que co u simple cambio de variable se puede eteder los límites de itegració a valores distitos a [ ] La aproimació d la itegral defiida se puede defiir como ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f w f + w f + w f + + w f w f (5) w, w,, w so los coeficietes poderados ó pesos El problema cosiste e ecotrar las ( + ) costates ( wi, f( i)) Para ecotrar las mecioadas costates, partimos de la suposició básica de que la fórmula () represeta si aproimació, es decir, eactamete u poliomio de orde + ó meor Primero mostramos que los putos (,, ), so iguales a las raíces del poliomio de Legedre P ( ) + Tomemos u poliomio arbitrario g ( ) Legedre g ( ) puede epresarse como de grado E térmios de poliomios de g P + P + + P (6) ( ) β ( ) β ( ) ( ) β Como ejemplo supogamos g ( ) + +

3 De la ecuació (6) y () obtedremos: g ( ) β β β + β + ( ) β + β + β Comparado esta última epresió co la g ( ) iicial obteemos: De dode obteemos fialmete: Sustituyedo esto e (6), obteemos β β, β, β, β, β, β 4 g ( ) P ( ) + P( ) + P ( ) 4 Este simple ejemplo muestra que cualquier poliomio térmios de poliomios de Legedre g ( ) se puede escribir e A partir de la defiició de ortogoalidad epresada e (): g ( ) P ( ) d + + β P( ) P ( ) + β P( ) P ( ) + + β P ( ) P ( ) + + (7) Observamos que g( ) P+ ( ), es u poliomio de grado +, y por tato represeta eactamete poliomios de grado + ó meos, lo cual costituye el requisito básico mecioado ates, e la defiició de la ecuació (5), para la selecció de y (,, ) Comparado (7) co (5) obteemos: wg( ) P ( ) + wg( ) P ( ) + + wg( ) P ( ) (8) Como g ( ) es u poliomio arbitrario, g( ) (,, ) o es cero e geeral Así mismo las + fucioes de poderació ó pesos w (,, ) o puede ser todos cero, de lo cotrario la ecuació (5) será igual a cero, lo cual costituye el caso trivial Dado lo aterior la úica codició para la ecuació (8) será: w

4 P P P ( ) ( ) ( ) Lo aterior implica que,,, so las raíces del poliomio de Legedre P ( ) + Para P ( ) [ + + ] eiste + raíces distitas Como ejemplo, para, por lo que las raíces so ± Mietras que para el caso, ( ) P + ( ) P ( ) ( ) ( ) P( ) 5 5, por lo que las raíces so, ± 5 Para la determiació de los coeficietes w (,, ) de uevo tomamos e cosideració el requisito establecido e (5), esto es, que si el itegrado f() es u poliomio de grado + ó meos, dicha ecuació o ivolucra ua aproimació Por defiició, el poliomio de Lagrage para aproimar cualquier poliomio h ( ) de grado, que pasa por + putos (,, ) se puede epresar como h ( ) h( ) L( ) Por lo que + + h( ) d h( ) L( )

5 Dado que h ( ) es ua costate + + h ( ) d h( ) L ( ) (9) Comparado (5) co (9) teemos + () w L ( ),, Es comú ecotrar la defiició de L y por tato de Legedre Esto se obtiee como sigue w e térmios de poliomios de P El poliomio ( ) + es igual a cero para todo De acuerdo a la regla de L Hopital, j,,, pero j j dp ( ) + P ( ) d dp ( ) P d + + ' lim + ( ) d ( ) d (Dado que la derivada del deomiador es igual a ), dode es ua de las raíces del poliomio de Legedre P ( ) + Dado lo aterior, el poliomio de Lagrage puede epresarse como L P ( ) P + ' + ( ) ( )

6 por tato las fucioes de poderació (pesos) se defie alterativamete como w P ( ) P + + ' ( ) + ( ) d () Para ejemplificar cosideremos, P ( ) P( ) ( ) ', y su derivada P ( ) ( 6) w w + cuyas raíces so + De aquí etoces ( ) + ( ) + ( ) Para, P ( ) P( ) ( 5 ) previamete y resultaro ( ' ( ) + d d + Las raíces de P( ) se determiaro P( ) 5 ), por lo que obteemos,, y la derivada de, 5 5 P( ) ( 5 ) w d ( ) 5 9 d w ( ) + ( 5 ) 8 d 5 9 ( 5 ) w d + ( ) 5 9 d 5 5 5

7 El procedimieto descrito arriba puede etederse para diferetes valores de, es decir, para tres putos, cuatro putos, cico putos, etcétera La siguiete tabla muestra alguos de estos casos, y e [] se puede ecotrar ua lista más grade Raíces de los poliomios de Legedre cuadratura de Gauss-Legedre P ( ) + z y sus factores de poderació para la + Raíces (z i ) F( z) dz wi F( zi) ± fórmula de dos putos ± fórmula de tres putos ± ± fórmula de cuatro putos 4 ± ± fórmula de cico putos i Factores de poderació (peso) Límites de Itegració Dado que los límites de itegració asociados co es te desarrollo so - y +, e u problema de aplicació habrá que ajustar el procedimieto de la cuadratura Gaussiaa a los límites de la aplicació particular Lo aterior se logra mediate u simple cambio de variable Defiimos ua relació lieal co la ueva variable ( b a ) t + ( b + a ) d b a dt b E este caso f ( d ) se covertirá e a b a b a + ( b a) t + ( b+ a) f ( ) d f dt Dado que la cuadratura de Gauss-Legedre se defie + f ( d ) w f( )

8 La itegral aterior se puede aproimar como b a ( b a) ( b a) t + ( b+ a) f( ) d w f Esta formulació es la apropiada para usarse e la programació de este método e computadora, e lugar de usar ua trasformació simbólica de f () E este caso los putos base t se trasforma y los factores de poderació w se modifica al b a multiplicarse por la costate Por ejemplo, usamos la fórmula de cuadratura de Gauss-Legedre de dos putos para calcular 4 ( ) + d 6 La fórmula de cuadratura Gauss-Legedre será (para el método de dos putos) 4 ( ) + d (4 ) *(4 ) *(4 ) 4 () * f + + () * f