Cálculo de límites Criterio de Stolz. Tema 8

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1 Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que se deduce, como caso particular más importate, el criterio de la media aritmética. Tambié estudiaremos el llamado criterio de la raíz, que permite estudiar la covergecia de sucesioes de u tipo muy cocreto, y es equivalete al criterio de la media geométrica. 8.. Criterio de Stolz Para idetermiacioes del tipo [ / ] es útil u método ideado por el matemático austriaco O. Stolz ( ), basádose e trabajos previos del italiao E. Cesàro ( ): Criterio de Stolz. Sea {ρ ua sucesió de úmeros positivos, estrictamete creciete y o mayorada, es decir: 0 < ρ < ρ + para todo N y {ρ +. Etoces, para toda sucesió {x y todo L R, se tiee: { { x+ x x L = L ρ + ρ ρ y la misma implicació es cierta, sustituyedo e ambos miembros L por + o por. Demostració. Partimos de ua igualdad de fácil comprobació. Para m, N co m <, teemos claramete que x = x m + (x x m ) = x m + x ρ = x m ρ + ρ (x k+ x k ), de dode: [ (ρ k+ ρ k ) x k+ x k ρ k+ ρ k Fijado L R, la misma idea se aplica a la sucesió {ρ L para obteer: L = ρ m L ρ + ρ (ρ k+ ρ k )L 62 ] ()

2 8. Cálculo de límites 63 Restado ambas igualdades y tomado valores absolutos, teemos x ρ x m ρ m L + ρ ρ (ρ k+ ρ k ) x k+ x k ρ k+ ρ (2) k dode hemos usado que {ρ es ua sucesió estrictamete creciete de úmeros positivos. Teemos pues que la desigualdad (2) es válida para cualesquiera m, N co m <, y para demostrar ya la implicació buscada, fijamos ε > 0. Por hipótesis, existe m N tal que, para k m se tiee x k+ x k ρ k+ ρ < ε. Etoces, para k 2 > m, aplicado (2) teemos x ρ x m ρ m L + ε ρ 2ρ k+ ρ k ) < (ρ x m ρ m L + ε ρ 2 Mateiedo m fijo, como por hipótesis {/ρ 0, podemos ecotrar q N tal que (3) N, q = ρ x m ρ m L < ε 2 Esta desigualdad, juto co (3), { os permite cocluir que, para máx{m +,q, se tiee x ρ < ε. Esto prueba que x L, como se quería. ρ Veamos ahora lo que ocurre al sustituir { L por +, e cuyo caso el razoamieto aterior ya o es válido. Dado C R + x+ x, usado que + ecotramos m N tal que: ρ + ρ k N, k m = x k+ x k ρ k+ ρ k > 2C Para > m podemos etoces usar la igualdad () para obteer x ρ > x m ρ + 2C ρ (ρ k+ ρ k ) = x m 2C ρ m + 2C (4) ρ Mateiedo m fijo y usado que {/ρ 0, ecotramos q N tal que N, q = x m 2C ρ m ρ > C Esta desigualdad, juto co (4), os permite cocluir que para máx{m +,q se tiee x /ρ > C. Esto prueba {x /ρ +, como se quería. Fialmete, para ver lo que ocurre al sustituir L por basta aplicar lo recié demostrado sustituyedo la sucesió {x por { x : { { { { x+ x x x + x x + + ρ + ρ ρ + ρ ρ ρ

3 8. Cálculo de límites 64 Como fácil aplicació, cosideremos la sucesió {/2. Tomado x = y ρ = 2 para todo N, se tiee obviamete 0 < ρ < ρ + para todo N y {ρ +. Puesto que {(x + x )/(ρ + ρ ) = {/2 0, el criterio de Stolz os dice que {/2 0. Como ejemplo más iteresate, fijado p N tomamos x = k p y ρ = p+ para todo N. De uevo {ρ cumple las hipótesis del criterio de Stolz. Usado la fórmula del biomio de Newto podemos escribir x + x ( + ) p = ρ + ρ ( + ) p+ p+ = p + R() (p + ) p + S() dode R y S so poliomios de grado meor que p. Teemos por tato y el criterio de Stolz os dice que lím p+ k p = p Criterio de la media aritmética N { x+ x ρ + ρ p + Como ya se ha visto e u ejemplo, el criterio de Stolz es especialmete útil cuado algua de las sucesioes que e él aparece se obtiee sumado cosecutivamete los térmios de otra. El caso particular más secillo se preseta cuado {x se costruye de esa forma y tomamos ρ = para todo N. Obteemos etoces el siguiete resultado: Criterio de la media aritmética. Sea {y ua sucesió de úmeros reales y cosideremos la sucesió {σ de sus medias aritméticas, defiida por σ = y k = y + y y N Para L R se tiee que {y L = {σ L, y la misma implicació es cierta, sustituyedo e ambos miembros, L por + o. Demostració. Basta aplicar el criterio de Stolz, co x = co lo cual se tiee {(x + x )/(ρ + ρ ) = {y + y {x /ρ = {σ. Por ejemplo, tomado {y = {/ 0, teemos: lím k = 0. y k y ρ = para todo N, Coviee observar que el criterio de la media aritmética equivale al criterio de Stolz e el caso particular {ρ = {. Ello se debe a que, para cualquier sucesió {x, siempre podemos ecotrar {y de forma que x = x 0 = 0, pues etoces: y k = y k para todo N. Basta tomar {y = {x x, co (x k x k ) = x x 0 = x, para todo N.

4 8. Cálculo de límites 65 La implicació que aparece e el criterio de la media aritmética o es reversible, e iguo de los casos. Para comprobarlo, basta tomar {y = {( ), que o es covergete, pero la sucesió de medias aritméticas sí coverge, pues σ 2 = 0 y σ 2 = /(2 ) para todo N, luego {σ 0. Para el caso de divergecia, tomamos {y = {( +( ) ) 2, que o es divergete, pues y 2 = 0 para todo N, pero {σ +, ya que σ 2 y 2 2 = 4 y σ 2+ = σ 2 N E resume, la covergecia o divergecia de la sucesió de medias aritméticas {σ o os da iformació sobre la sucesió de partida {y. Por otra parte, coviee tambié resaltar que, cuado la sucesió {y es divergete, pero o diverge positiva i egativamete, o podemos asegurar que {σ sea divergete. E efecto, la sucesió {y = {( ) (2 ) = {( ) ( ) ( ), es divergete, pero e este caso es fácil ver que {σ = {( ), luego {σ o es divergete. Como el criterio de la media aritmética o es más que u caso particular del de Stolz, las dos observacioes ateriores se aplica tambié e este último. Más cocretamete, siedo 0 < ρ < ρ + para todo N y {ρ +, supogamos que queremos usar el criterio de Stolz para estudiar el comportamieto de ua sucesió de la forma {x /ρ, cosiderado por tato la sucesió {z = {(x + x )/(ρ + ρ ). Las observacioes ateriores os dice que, si sólo sabemos que {z diverge, o podemos asegurar que {x /ρ diverja, y si {z o coverge i diverge, el criterio tampoco os da iformació Criterio de la raíz para sucesioes Dada ua sucesió {x de úmeros reales positivos, vamos a estudiar el comportamieto de la sucesió { x. Empezamos cosiderado el caso e que {x es costate: Para todo a R + se tiee: lím a =. Supogamos e primer lugar que a, co lo que tambié teemos que a para todo N, y vamos a comprobar que etoces la sucesió { a es decreciete. E efecto, para todo N teemos claramete ( a ) + = a a a de dode deducimos que a + a. Teemos pues ua sucesió decreciete y miorada, luego covergete. Poiedo L = lím a, sabemos de mometo que L. Cosideremos ahora la sucesió { 2 a, que es ua sucesió parcial de { a, luego { 2 a L. Ahora bie, para todo N, es claro que a = ( 2 a ) 2 [( = 2 ) 2 ], { a luego { ( a = 2 ) 2 a L 2. Deducimos que L 2 = L, lo que siedo L 0 o deja más salida que L =, como queríamos. E el caso a <, basta pesar que { { a = / /a y, por lo ya demostrado, teemos { /a, luego tambié { a.

5 8. Cálculo de límites 66 E geeral, para ua sucesió de la forma { x, vamos a obteer ahora dos importates desigualdades, que sugiere ua estrategia: estudiar la sucesió de cocietes {x + /x. Lema. Sea x R + para todo N y supogamos que la sucesió de cocietes {x + /x está acotada. Etoces la sucesió de raíces { x tambié está acotada y se verifica que: límif{x + /x límif { x límsup { x límsup{x + /x (5) Demostració. Fijamos λ R tal que límsup{x + /x < λ, y la defiició de límite superior os dice que existe m N tal que sup{x + /x : m < λ, luego para m teemos x + λx. Ecadeemos las desigualdades obteidas para sucesivos valores de : para = m teemos x m+ λx m ; para = m+ deducimos que x m+2 λx m+ λ 2 x m, y ua obvia iducció os dice que x m+k λ k x m para todo k N. Equivaletemete, para m teemos x λ m x m. E resume, escribiedo b = x m /λ m, hemos ecotrado m N y b R + tales que m = x λ b La sucesió { λ b coverge a λ y, e particular, está acotada, luego la sucesió { x tambié está acotada, que es la primera afirmació del euciado. Pero además, siempre para m, teemos sup { k xk : k sup { λ k b : k, y usado la defiició de límite superior llegamos fialmete a: límsup { x límsup { λ b = λ (7) La última desigualdad de (5) se deduce ahora fácilmete de la libertad para elegir λ: si fuese límsup{x + /x < límsup{ x, habríamos podido tomar λ < límsup { x y al llegar a (7) habríamos obteido ua flagrate cotradicció. Queda probar la primera desigualdad de (5), para lo cual hacemos u razoamieto muy similar al aterior. Supoiedo que dicha desigualdad o es cierta, tomamos ρ R tal que 0 límif { x < ρ < límif{x+ /x : m La defiició de límite iferior os permite ecotrar m N tal que íf{x + /x : m > ρ, co lo que, para m teemos x + ρx. Ecadeemos desigualdades: teemos x m+ ρx m ; etoces x m+2 ρx m+ ρ 2 x m, y por iducció obteemos que x m+k ρ k x m para todo k N. E resume, escribiedo a = x m /ρ m, hemos ecotrado m N y a R + tales que m = x ρ a Deducimos, siempre para m, que íf { k xk : k íf { ρ k a : k, y la defiició de límite iferior os da límif { { x límif ρ a = ρ, ua cotradicció. Del lema aterior deducimos fácilmete lo siguiete:

6 8. Cálculo de límites 67 Criterio de la raíz para sucesioes. Sea {x ua sucesió de úmeros reales positivos. Si la sucesió de cocietes {x + /x es covergete, etoces la sucesió de raíces { x tambié es covergete y se verifica que lím x = lím x + x Si {x + /x +, etoces tambié { x +. Demostració. La primera afirmació se deduce directamete del lema aterior: límif { x = límsup { x = lím x + x E caso de divergecia, basta cosiderar la sucesió {y = {/x, pues teemos claramete {y + /y = {x /x + 0, luego { / { { x = y 0, de dode x +. Por ejemplo, el criterio de la raíz os dice claramete que lím =. Para teer otro ejemplo iteresate, cosideremos la sucesió { + x, co x R +. El criterio de la raíz os lleva a pesar e la sucesió {( + x + )/( + x ). Para x teemos claramete {( + x + )/( + x ), mietras que si x >, comprobamos si dificultad que {( + x + )/( + x ) x. E geeral, teemos que {( + x + )/( + x ) máx{,x. El criterio de la raíz os dice que tambié { + x máx{,x. Dados ahora y,z R +, podemos tomar x = z/y para obteer: { y + z = { y + (z/y) y máx{,z/y = máx{y,z Puesto que {( + )!/! = { + +, el criterio de la raíz os dice tambié que {! +. Ispirádoos e este último ejemplo, pero de maera más geeral, teemos: Criterio de la media geométrica. Sea {y ua sucesió de úmeros reales positivos y cosideremos la sucesió de medias geométricas defiida por µ = y k = y y 2... y N Si {y L R, se tiee {µ L, y si {y +, etoces tambié {µ +. Demostració. Tomado x = y k para todo N, teemos {x + /x = {y + y { x = {µ, co lo que basta aplicar el criterio de la raíz. Los dos criterios ateriores so equivaletes. Para deducir el primero del segudo, dada ua sucesió {x de úmeros positivos, tomamos y = x /x para todo N co x 0 =. Teemos etoces {x + /x = {y + y al calcular la sucesió de las medias geométricas de {y obteemos {µ = { x, luego al aplicar el criterio de la media geométrica a la sucesió {y obteemos el criterio de la raíz para la sucesió {x.

7 8. Cálculo de límites 68 Fialmete, e relació co el criterio de la raíz, coviee observar que la sucesió { x puede ser covergete si que {x + /x lo sea. Para ello basta tomar {x = {2 + ( ). Puesto que { 2 x 2 = { 2 3 y x 2 = para todo N, teemos { x, pero la sucesió {x + /x o es covergete, pues para impar se tiee x + /x = 3, mietras que para par es x + /x = / Ejercicios. Estudiar la covergecia de las siguietes sucesioes y, cuado exista, calcular su límite: { { (a) 2 k (b) { { (c)! k! (d) k k 2. Sea {x x R. Para p N, estudiar la covergecia de la sucesió 3. Probar que las siguietes sucesioes so covergetes y calcular sus límites: { 3 (a) 3 2 (2 ) 2 (b) + { p k x k.