Propiedades de las series numéricas ( )

Transcripción

1 Propiedades de las series uméricas ) ) Si itercalamos e la sucesió {a } N u úmero fiito de térmios de suma b, el carácter de la serie a o varía y, si coverge, su suma aumeta e b. D: Sea b +b 2 + +b q = b. Tomado ua suma parcial suficietemete avazada, de modo que los cotega a todos, resulta S +q = S + b = lím S +q = lím S + b) Etoces, por las propiedades de los límites, - Si S es covergete a S, S es covergete a S + b. - Si S es divergete, S es divergete. - Si S es oscilate, S es oscilate. Nota: Si suprimimos e {a } N u úmero fiito de térmios de suma b, el carácter de la serie o varía y, si coverge, su suma dismiuye e b. Se demuestra aálogamete, sumado los opuestos de los térmios que queremos suprimir. 2) Si multiplicamos todos los térmios de ua serie por u úmero real λ 0, su carácter o varía y, si coverge, su suma queda multiplicada por λ. D: La ueva sucesió de sumas parciales es S = λa = λs S 2 = λa + λa 2 = λs 2. S = λa + + λa = λs = lím S = lím λs ), co lo que, por las propiedades de los límites, ambas series tiee el mismo carácter. 3) Si ua serie es covergete o divergete, se puede sustituir varios térmios por su suma efectuada si que varíe el carácter i la suma, si coverge). D: Al sustituir alguos térmios por su suma, la ueva sucesió de sumas parciales {S } tedrá meos térmios que la atigua {S }, pero todos los térmios de la ueva perteecerá a la atigua. Es decir, S, S 2,... S es ua subsucesió de S, S 2,... S. Etoces S : a) Tiee igual límite que S, si ésta es covergete prop. 7 de las sucesioes). b) Diverge, si S es divergete. E efecto, al ser S subsucesió de S, los térmios de S perteece tambié a S, por lo que cumple la codició de divergecia. 4) Si e ua serie suprimimos los primeros térmios, la serie resultate se llama resto de orde : R = a + + a Se cumple que el resto de orde de ua serie covergete es covergete y su suma tiede a 0 cuado. D: Dada ua serie covergete, su suma parcial de orde p es S p = p i= a i y la suma de la serie que expresamos como i= a i) valdrá S = lím S p. p Para u dado, la serie resto R se obtiee elimiado de la iicial los primeros térmios, de suma S = i= a i. Sus sumas parciales será las de la serie iicial, dismiuidas e el valor S, es decir R p = p i=+ a i = S p S.

2 Etoces, haciedo p, la suma de la serie R será i=+ a i = lím p S p S ) = S S R co lo que el resto R es ua serie covergete. Si ahora hacemos teder, se cumple lím R = lím S S ) = S S = 0. 5) Dadas a y b, llamamos combiació lieal de ambas a la serie de térmio geeral la combiació lieal de térmios geerales, αa + βb ). La c. l. de series covergetes es covergete y su suma es la c.l. de las sumas. D: Si ambas series coverge, sus sumas parciales S a = i= a i y S b = { } i= b i cumplirá: {S} a N S a, S b N Sb. La suma parcial de la serie c.l. será i= αa i+βb i ) = α i= a i+β i= b i = αs+βs a b y tedremos, α, β R, ) lím αs a + βs b = α lím S a + β lím S b = αs a + βs b. 6) Sólo para series de térmios positivos) Si alteramos el orde de los térmios de ua serie de térmios positivos o varía el carácter i la suma, si coverge). D: Sea a y a las mismas series co los térmios e distito orde. Al teer ambas los mismos térmios, para toda suma parcial de la primera podemos ecotrar ua suma parcial de la seguda que la supere y viceversa; es decir S m / S S m y S m p / S m S p. Etoces m, p / S S m S p. Como lím S = lím p S p, resulta que - Si S coverge, S m tambié lo hace propiedad 6 de los límites de sucesioes). - Si S diverge a, al ser S S m, ésta tambie lo hace. Luego lím S = lím m S m fiito o ifiito). 7) Sólo para series de térmios positivos) Si se agrupa u úmero fiito o ifiito de térmios de ua S.T.P. o se descompoe e suma de térmios positivos, o se altera el carácter de la serie i la suma, si coverge). D: Ua S.T.P. uca es oscilate. Etoces, dada ua serie a : a) Si agrupamos térmios de a, por la P.3, o varía el carácter i la suma. b) Si, e cambio, descompoemos térmios de a obteemos otra S.T.P. a. Si, partiedo ahora de a, agrupamos los térmios que ates descompusimos, obteemos de uevo la serie iicial a. Pero, por la P.3, ésta a tedrá igual carácter y suma que a. Así pues, tato si agrupamos térmios como si los descompoemos e suma de térmios positivos, o varía el carácter i la suma, si coverge).

3 Criterios de covergecia para S.T.P ) Estos cuatro criterios puede euciarse de dos formas. Para demostrarlos se utiliza la primera de ellas, mietras que la seguda es más fácil de aplicar e la práctica. Si se cumple la seguda codició, se cumple tambié la primera, como se muestra e Criterio de la raíz Cauchy-Hadamard). m am k < a es covergete a) Si m 0 m am a es divergete b) Si lím l < a es covergete a = l l > a es divergete l = dudoso, salvo si a + D) D: m 0, m a m k < a m k m, k < a es miorate de ua geométrica covergete a es covergete. m 0, m a m a m a es mayorate de ua serie divergete la de t ō geeral costate e igual a ) a es divergete. Nota: Si se cumple la codició co límite, se cumple tambié la otra, pues: Si lím a = l <, tomamos k = l + 2, de modo que l < k <. Por las / propiedades de los límites, 0 m am < k <, m 0 a coverge. Si lím / a = l >, etoces 0 m am >, m 0 a diverge. Si lím / a = +, etoces 0 m am, m 0 a diverge. 6.6 Criterio del cociete D Alembert). a m+ a m k < a es covergete a) Si m 0 a m+ a es divergete b) Si lím a + a a m l < a es covergete = l l > a es divergete l = dudoso, salvo si a + + D) a 0 + k a 0 a D: m 0, m+ a m k < a 0 +2 k a 0 + k 2 a 0. a = 0 a 0 + k + k ) a coverge + k + k es ua S.G. de r < ). a

4 a m+ m 0, a m a m+ a m {a } es moótoa creciete, a partir de = 0. Al ser a > 0, 0 lím a 0 a o coverge, luego diverge. ) ) 6.7. Criterio de Raabe-Duhamel demostració e J. Burgos, pg. 456). m a m+ a m k > a es covergete a) Si m 0 m a m+ a m a es divergete b) Si lím a ) + a l > a es covergete = l l < a es divergete l = dudoso, salvo si a + a ) D) 6.8. Criterio Logarítmico. l /a m ) l m k > a es covergete a) Si m 0 l /a m ) l m a es divergete l /a ) l > a es covergete b) Si lím = l l < a es divergete l l = dudoso, salvo si l /a ) l D) l /a D: m 0, m ) l m k > l /a m) k l m = l m k a m m k a m /m k, k > a es miorate de ua serie de Riema, covergete a es covergete. l /a m 0, m ) l m l /a m) l m a m m a m m a es mayorate de la serie armóica a es divergete.

5 Series hipergeométricas ) a. Defiició. So aquellas que cumple: a + a = α + β α + γ α > 0, γ 0). b. Carácter. Aplicamos el criterio de Raabe. lím a ) + a = lím α + β ) α + γ Si γ α β Si γ α β Si γ α β = lím > α + β < γ, la serie es covergete. < α + β > γ, la serie es divergete. ) γ β α + γ = γ α β. = α + β = γ, caso dudoso veremos al fial que es divergete). c. Suma. Utilizamos la relació a i+ αi + γ) = a i αi + β) i N. i = : a 2 α + γ) = a α + β) i = 2 : a 3 2α + γ) = a 2 2α + β) i = 3 : a 4 3α + γ) = a 3 3α + β). i = : a )α + γ) = a )α + β). a α + β) = a α + β) añadimos ua idetidad) Simplificamos los α e ambos lados y sumamos las igualdades que resulta. Llamado S a la suma de los primeros térmios, obteemos: S a ) γ + a α + β) = S α + β) = S [γ α + β)] = a γ a α + β) = ) a γ S = γ α + β) a α + β). 2) γ α + β) } {{ } b a Si α + β < γ, la serie coverge, por lo que S = lím S = γ γ α + β) lím b. Al existir S, el lím b debe existir. Demostraremos que, además, es ulo. De o serlo, a partir de la expresió 2) obteemos b = a α + β) γ α + β) = lím b = γ α + β) lím a : ) = k 0, α + β de dode resulta que la serie a tedría el mismo carácter que α + β, que es divergete. Así pues, la suma de ua serie hipergeométrica vale S = a γ γ α + β), α + β < γ). d. Caso dudoso. Si α + β = γ, a partir de la igualdad ), resulta 0 = a γ a α + β) = a = a γ α + β divergete).

6 Carácter y suma de series ) Se muestra a cotiuacio los pricipales pasos que coviee seguir e el estudio del carácter y suma de ua serie..- Series de térmios positivos. Si se trata de ua S.T.P., aplicamos alguo de los criterios estudiados, teiedo e cueta su mayor o meor adecuació al tipo de serie de que se trate. Para sumarla, si coverge, podemos reordear sus térmios, agruparlos o descompoerlos e suma de térmios positivos, pues o cambia la suma propiedades 3, 6 y 7 de las series). 2.- Series de térmios positivos y egativos. Si la serie tiee ifiitos térmios positivos e ifiitos egativos, el primer paso es estudiar la serie a, co lo que obteemos dos posibles resultados: a) Covergete. Al ser la serie absolutamete covergete, es icodicioalmete covergete Dirichlet), lo que os permite reordear o agrupar sus térmios, p. ej. separado positivos de egativos. b) Divergete. Si sólo diverge ua de las dos subseries la positiva o la egativa), la serie diverge icodicioalmete a ± apdo. 7.). Si diverge ambas será lo más frecuete), distiguimos dos casos: b. Si se trata de ua alterada, aplicamos el teorema de Leibitz. b.2 De lo cotrario, recurrimos al método geeral: tomamos ua suma parcial S dode podemos agrupar, simplificar, etc.) y estudiamos su límite. Nota. E ambos casos, si existe covergecia, es codicioal se cumple para la ordeació de térmios dada, pero puede o verificarse para otras). 3.- Caso particular: series covergetes que se descompoe e S.T.P.N. E ocasioes, para sumar ua serie covergete descompoemos su térmio geeral a e sumas o diferecias de térmios b ± c ±... ), co lo que teemos dos posibilidades: a) Si los térmios b, c,... correspode a series covergetes, aplicamos la propiedad 5 la c.l. de series covergetes coverge a la c.l. de las sumas de las series ). Como la serie a es combiació lieal de b, c..., su suma valdrá S b ± S c ±..., siedo S b, S c,... las sumas de las series b, c,..., respectivamete. b) Si dos o más de los térmios b, c,... correspode a series divergetes, debemos aalizar S, aplicado alguo de los métodos estudiados: telescópicas, descomposició e fraccioes, series I y P, etc. Ejemplo resuelto e clase): + ) coverge por comparació co 2 y su térmio geeral se descompoe e + diferecia de térmios geerales de series divergetes). Ejercicio. Hemos distiguido las posibilidades a) todas covergetes) y b) dos o mas divergetes). Razóese que o puede ocurrir que sólo uo de los térmios b, c,... correspoda a ua serie divergete.

7 Ejercicios resueltos de suma de series ) a) Descomposició de a e suma o diferecia de series covergetes. Utilizamos la P.5 de las series: La combiació lieal de series covergetes es covergete y su suma es la c. l. de las sumas. Si al descompoer el térmio geeral de la serie resulta a = b ± c, dode b y c correspode a series covergetes de sumas S b y S c, la serie estudiada será c. l. de b y c. Etoces su suma será S a = S b ± S c. Ej..- Calcular = = = ) 2, tomado como dato = 2 = π2 6. Descompoemos = = 2 ++) 2 = a = ) 2. Etoces a = ) 2 = π2 6 + π2 6 = π2 3. Ej. 2.- Calcular Por lo tato = = = ) 2. Observamos que a = = 2 + ) ) 2 = = 2 = + ) 2 = π2 π ) =. Nota.: E ambos ejercicios es fácil ver previamete que la serie que estudiamos coverge a 2 α co α > ). Pero o es imprescidible hacerlo, pues se descompoe e suma o diferecia de covergetes, luego será covergetes. Nota 2.: El Ej. 2. puede tambié resolverse como serie telescópica. b) Descomposició de a e suma o diferecia de series divergetes. Si varios de los térmios e que se descompoe a correspode a series divergetes, o podemos sumarlos por separado, sio que hay que estudiar ua suma parcial del térmio geeral e cojuto. E el siguiete ejemplo, que se resolvió e clase por otro método, se utiliza la serie armóica. Ej. 3.- Obteer = Descompoemos el tō geeral: a = 3/2 2 + /2 +. La suma parcial vale: 3/2 S = 2 + /2 ) = i 2 i + 2 i=2 i=2 i=2 i= ) ) + ) = + 3 H ) 2 H ) + H ) = ) H = = Propuesto: =2 3. Solució: S = 4. i + = lím S = 5 4

8 CÁLCULO INFINITESIMAL 2 Tema III. Series uméricas Test de Autoevaluació 2 miutos) Nota: Se marcará co V las afirmacioes que se cosidere correctas y co F las cosideradas falsas. Se putuará co + los aciertos, los fallos y 0 las respuestas e blaco. Los ejercicios 9. a 9.4 vale + correcto) o Decimos que a es divergete si y sólo si lím a i = ±. i= Si lím a 0, la serie es divergete. 3.- La suma del resto de orde de ua serie covergete tiede a 0 cuado. 4.- Sea ua serie de térmios positivos y egativos. Sea la suma parcial S = a i = a + i i= i= coverge S + y S i= a i = S + S. La serie a coverge icodicioalmete si y sólo si Si a es absolutamete divergete, etoces es icodicioalmete divergete. Las series de térmio geeral descomposició e fraccioes simples. P k ) Q k ) so covergetes y puede sumarse por 7.- Para sumar calcularemos el límite de la suma parcial de térmios. El método es válido porque. 8.- Para sumar P 3 ), hemos de realizar la descomposició: + 3)! IN P 3 ) = A + B + 3) + C + 3) + 2) + D + 3) + 2) + ). 9.- Averiguar el carácter de las series siguietes: 9. - α, α > : α, α > : l : l : Nota sobre 2):.

9 CÁLCULO INFINITESIMAL 2 Tema III. Series uméricas Test de Autoevaluació 2 miutos).- SOLUCIONES F. a es divergete si y sólo si lím S = lím a i = i= 2.- F. Si lím a 0, la serie o cumple la codició ecesaria de covergecia, luego será divergete u oscilate V. Propiedad 4 de las series uméricas. V. Ver apdo. 7. Covergecia y divergecia absoluta e icodicioal). 5.- F. Si a es icodicioalmete divergete, etoces es absolutamete divergete segudo teorema de Dirichlet). 6.- F. Si umerador y deomiador tiee grado k, el térmio geeral o tiede a cero, luego la serie o coverge. 7.- Calcularemos el límite de ua suma parcial de 4 térmios. E cada grupo de 4 térmios habrá 3 positivos y uo egativo, por lo que e S 4 habrá 3 positivos y egativos. Se cumplirá: S 4 = I 3 P y la suma valdrá S = l 2 3. Este método es válido porque lím a = 0, de modo que las sumas parciales de cualquier otro tipo S 4+, S 4+2, S 4+3 ) tedría el mismo límite. Efectivamete, para i =, 2, 3, se verifica lím S 4+i = lím S 4 + a a +i ) = lím S V. Ver apdo. 8.4 del programa. 9.- Carácter de las series: 9.- Covergete. Geométrica de razó /α < Covergete. Serie de Riema, co α > Divergete. Mayorate de la armóica Divergete. El térmio geeral a es equivalete al ifiitésimo, térmio geeral de la armóica, divergete.

10 CÁLCULO INFINITESIMAL 2 Tema III. Series uméricas Cuestió de autoevaluació 5 miutos) Cuestió. Sea la serie a de térmios positivos. Qué sabemos y porqué de su carácter covergete, divergete, oscilate, codicioal, icodicioal)?

11 CÁLCULO INFINITESIMAL 2 Tema III. Series uméricas Solució a la cuestió 5 miutos) Cuestió. Sea la serie a de térmios positivos. Qué sabemos y porqué de su carácter covergete, divergete, oscilate, codicioal, icodicioal)? Solució. Si a es de térmios positivos a i 0 i IN), la sucesió de sumas parciales S = a ; S 2 = a + a 2 ;... S = a + a a ;... verifica S S 2 S 3... es decir, será moótoa creciete. Si está acotada, la serie será covergete pues toda sucesió moótoa creciete acotada superiormete es covergete). De lo cotrario, será divergete a +. Es decir, ua serie de térmios positivos uca es oscilate. La propiedad 6 de las series dice que si alteramos el orde de los térmios de ua serie de térmios positivos o varía el carácter, i la suma si es covergete. Esto sigifica que el carácter de las series de térmios positivos es siempre icodicioal. Podemos pues afirmar que el carácter de la serie a sólo puede ser icodicioalmete covergete o icodicioalmete divergete.