Series de términos no negativos

Transcripción

1 Tema 0 Series de térmios o egativos Vamos a presetar aquí alguos criterios útiles para estudiar la covergecia de series de térmios o egativos. Empezamos co u método básico que cosiste e comparar la serie que pretedemos estudiar co ua serie coocida. Por comparació co las series geométricas obtedremos el criterio de la raíz o de Cauchy, del que se deduce fácilmete el criterio del cociete o de D Alembert. Fialmete veremos el llamado criterio de codesació, tambié debido a Cauchy. Cocluimos el tema defiiedo el úmero e y probado que es irracioal. 0.. Criterios de comparació E lo que sigue sólo vamos a trabajar co series de térmios o egativos, es decir, series de la forma co a 0 para todo N. El estudio de la covergecia de estas series a resulta más secillo, porque so sucesioes crecietes: a k k= + a k k= N Por tato, sabemos que ua serie de térmios o egativos es covergete si, y sólo si, está mayorada. Esto hace que frecuetemete la covergecia de ua serie pueda deducirse de la covergecia de otra: Criterio de comparació Primera versió). Si 0 a b para todo N y la serie b coverge, etoces la serie a tambié es covergete y se verifica que a b = = 77

2 0. Series de térmios o egativos 78 La demostració es completamete evidete. Escribiedo A = a k b k = B k= k= N puesto que, por hipótesis, {B es covergete, estará mayorada, luego {A tambié lo estará. Además, teemos claramete a = lím A lím B = b = = Para aseguraros esta desigualdad, es importate que se tega a b para todo N. Si embargo, a efectos de coseguir solamete la covergecia de ua serie, es frecuete aplicar el criterio de comparació co ua hipótesis meos restrictiva: Criterio de comparació Seguda versió). Sea a y b dos series de úmeros reales. Supogamos que existe m N tal que, para k > m se tiee 0 a k b k, y que la serie b es covergete. Etoces la serie a tambié es covergete. E efecto, la hipótesis os permite asegurar que la serie m+ b = b m+ es covergete, y tambié teemos claramete que 0 a m+ b m+ para todo N. Aplicado la primera versió de este criterio obteemos que la serie a m+ = es covergete, luego a tambié lo es. m+ Esta seguda versió del criterio de comparació se aprovecha eseguida para obteer u uevo criterio, muy útil e la práctica: Comparació por paso al límite. Sea a 0 y b > 0 para todo N, y supogamos que la sucesió {a /b coverge a u límite L 0. i) Si L > 0, la covergecia de la serie ii) Si L = 0 y la serie b coverge, etoces la serie a a equivale a la de la serie b a tambié es covergete. La demostració o ofrece dificultad. E el primer caso, la defiició de sucesió covergete os proporcioa u m N tal que, para m se tiee L L 2 < a b < L + L 2 es decir L 2 b < a < 3L 2 b Aplicado dos veces la seguda versió del criterio de comparació, obteemos directamete el resultado deseado. E el caso L = 0 teemos claramete u m N tal que a b para m y aplicamos de uevo el criterio de comparació.

3 0. Series de térmios o egativos 79 Veamos alguos ejemplos de aplicació del criterio aterior. Como primer ejemplo secillo, cosideremos la serie a = Tomado b = / para todo N, teemos a 2 lím = lím b = > 0 Así pues, la serie a o coverge, ya que la serie armóica b o lo hace. El siguiete ejemplo es mucho más relevate. Fijado q N, la serie se cooce como q serie armóica co expoete q. Para q = teemos la serie armóica por atoomasia) que sabemos diverge positivamete. E lo demás casos teemos covergecia: Para q N co q >, la serie armóica de expoete q es covergete. Puesto que 0 < / q / 2 para todo N, por la primera versió del criterio de comparació, basta cosiderar el caso q = 2. Recordemos que la serie b = / + ) ) coverge. Tomado a = / 2 para todo N, teemos evidetemete lím a /b =, y el criterio de comparació por paso al límite os dice que la serie 0.2. Criterios de la raíz y del cociete / 2 tambié coverge. Los criterios de comparació típicamete se usa, como e los ejemplos recié presetados, para decidir si ua serie coverge o o, comparádola co otra coocida. Lógicamete tales criterios será tato más efectivos cuato más amplia sea la gama de series coocidas. Usado la gama de las series geométricas vamos a obteer otro criterio de covergecia muy útil. Criterio de la raíz o de Cauchy. Sea a 0 para todo N y supogamos que la sucesió { a está mayorada. i) Si límsup { a <, etoces la serie a es covergete. ii) Si límif { a > etoces la serie a diverge positivamete. Demostració. i). Tomamos λ R tal que límsup { a < λ <. Usado la defiició de límite superior, ecotramos m N tal que, para m se tiee a λ, y por tato a λ < λ. Por ser λ <, la serie geométrica de razó λ es covergete, y basta aplicar la seguda versió del criterio de comparació. ii). Tomamos aálogamete ρ R tal que límif { a > ρ >, y existirá m N tal que, para m se tiee a ρ, y por tato a ρ > ρ. Ahora, por ser ρ >, la serie geométrica de razó ρ o es covergete, y aplicamos de uevo el criterio de comparació.

4 0. Series de térmios o egativos 80 Pesemos lo que ocurre e los casos que o queda cubiertos por el criterio de la raíz. E primer lugar, teemos la hipótesis de que la sucesió { a esté mayorada. Si esto o se cumple, el cojuto { N : a > = { N : a > es ifiito, luego la sucesió {a o coverge a cero y la serie a o puede ser covergete. Por tato, la hipótesis de que la sucesió { a esté mayorada, o restrige la utilidad del criterio. E presecia de dicha hipótesis, el caso que o queda cubierto por el criterio de la raíz se preseta cuado límif { a límsup { a. Suele decirse que este es el caso dudoso del criterio de la raíz, pues veremos eseguida que etoces la serie puede coverger, pero tambié puede ser divergete. Frecuetemete, al aplicar el criterio de la raíz, os ecotramos co que la sucesió { a es covergete, y etoces las cosas so más fáciles: Sea a 0 para todo N, supogamos que la sucesió { a es covergete y sea L = lím a. Etoces la serie a coverge si L < y diverge si L >. Por supuesto, cuado L = teemos límif { { a = = límsup a y estamos e el caso dudoso. Por ejemplo, sabemos que lím / = lím / diverge, mietras que / 2 es covergete. / 2 =, la serie Recordemos que para estudiar la posible covergecia de ua sucesió del tipo { a era útil el que e su mometo llamábamos criterio de la raíz para sucesioes. Más cocretamete, la demostració de dicho criterio se basaba e u lema que afirmaba lo siguiete: si a R + para todo N y la sucesió {a + /a está mayorada, etoces { a tambié está mayorada y se verifica las siguietes desigualdades: límif {a + /a límif { a límsup { a límsup {a + /a ) Uiedo este lema co el criterio de la raíz para series) deducimos lo siguiete: Criterio del cociete o de D Alembert. Sea a R + para todo N y supogamos que la sucesió {a + /a está mayorada. Etoces: i) Si límsup {a + /a <, la serie a es covergete. ii) Si límif {a + /a >, la serie a es divergete. La demostració ya se ha sugerido. De etrada sabemos que la sucesió { a está mayorada. Además, e vista de las desigualdades ), e el primer caso teemos límsup { a < y el criterio de la raíz os asegura la covergecia de la serie, mietras que e el segudo será límif { a > y la serie diverge. Al igual que e el criterio de la raíz, cuado la sucesió {a + /a es covergete, las cosas se facilita:

5 0. Series de térmios o egativos 8 Sea a > 0 para todo N, supogamos que la sucesió {a + /a es covergete y sea L = lím a + /a ). Etoces, si L < la serie a coverge, si L > diverge. Veamos u ejemplo secillo de aplicació del criterio del cociete. Fijado q N, la serie a = q /2 verifica que lím a + /a = lím + ) q /2 q ) = /2 y el criterio del cociete os asegura que dicha serie coverge. Merece la pea deteerse a comparar la efectividad de los criterios de la raíz y del cociete. E primer lugar, el criterio del cociete requiere que sea a > 0 para todo N, de forma que podamos cosiderar la sucesió {a + /a, mietras e el criterio de la raíz basta co a 0 para todo N. Ciertamete, esta mayor geeralidad del criterio de la raíz o es relevate. Es fácil adiviar que la presecia de térmios ulos o puede afectar a la covergecia de la serie. La seguda diferecia etre ambos criterios es más importate. Mietras que, segú hemos visto, la hipótesis del criterio de la raíz que la sucesió { a esté mayorada) es ecesaria para que la serie coverja, o ocurre lo mismo e el criterio del cociete: siedo a > 0 para todo N, la serie a puede ser covergete si que la sucesió {a + /a esté mayorada. Cosideremos, por ejemplo, la siguiete serie a = 3 + ) ) Para impar teemos a = /2, mietras que para par es a = /4. Por tato, la sucesió { a está mayorada y teemos claramete límsup { a = /2 <, luego el criterio de la raíz os dice que la serie cosiderada es covergete. Si embargo, para par, comprobamos fácilmete que a + /a = 2, luego la sucesió {a + /a o está mayorada y el criterio del cociete o es aplicable e este caso. Pero supogamos que a > 0 para todo N y que la sucesió {a + /a está mayorada, co lo que ambos criterios so aplicables. Segú hemos visto, cuado el criterio del cociete os permite decidir si la serie coverge o diverge es porque el criterio de la raíz tambié lo permite, algo que quedó muy claro e las desigualdades ). Dicho equivaletemete, si al itetar aplicar el criterio de la raíz se preseta el caso dudoso, lo mismo ocurrirá co el del cociete. La discusió se completa co u ejemplo e el que el criterio de la raíz resuelve uestro problema, pero e el del cociete se preseta el caso dudoso. Cosideremos la serie 3 + ) a = 2 Teemos a = 2/2 para impar, mietras que será a = 4/2 para par. Deducimos claramete que { a /2 y el criterio de la raíz os dice que uestra serie es covergete. Del otro lado, teemos a + /a = /4 si es impar, mietras que a + /a = si es par, luego límsup{a + /a = y el criterio del cociete o os da iformació. E resume, el criterio de la raíz se aplica e situacioes más geerales y es siempre más efectivo que el del cociete. La utilidad del criterio del cociete estriba e que la sucesió de cocietes {a + /a suele maejarse co más comodidad que la sucesió de raíces { a.

6 0. Series de térmios o egativos Codesació Veamos ya u último criterio de covergecia para series de térmios o egativos. Criterio de codesació de Cauchy. Si {a es ua sucesió decreciete de úmeros reales positivos, la covergecia de la serie a equivale a la de 2 a 2. 0 Demostració. Cosideremos las sumas parciales de ambas series: A = a k y B = 2 k a 2 k N k= k=0 Debemos probar que la sucesió {A está mayorada si, y sólo si, lo está {B. Ello se deducirá fácilmete de dos desigualdades que probamos por iducció: A 2 B 2A 2 N 2) Para = debemos comprobar que a a 2a, lo cual es evidete. Supuesto que se verifica 2) para u N, teemos 2 + A 2 + = A 2 + a k B + 2 a 2 = B + k=2 = B + 2 a 2 2A j=2 + a j = 2A 2 dode hemos usado la hipótesis de iducció, juto co el hecho de que, para j 2 k se tiee a k a 2 a j, ya que la sucesió {a es decreciete. Puesto que A A 2, de 2) deducimos que A B para todo N, luego {A estará mayorada siempre que lo esté {B. Recíprocamete, si {A está mayorada, tambié lo estará {A 2 y usado 2) deducimos que {B está mayorada. Para eteder mejor e qué cosiste el proceso de codesació que hemos aplicado e la demostració aterior coviee visualizar ua demostració de las desigualdades 2) para u valor cocreto de, por ejemplo para = 4, que sería la siguiete: A 5 = a + a 2 + a 3 ) + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 ) + a 8 + a a 5 ) a + 2a 2 + 4a 4 + 8a 8 = B 4 2 a + a 2 + 2a 4 + 4a 8 ) 2 a + a 2 + a 3 + a 4 ) + a 5 + a 6 + a 7 + a 8 ) ) = 2A 8 Obsérvese que la suma a 4 + a 5 + a 6 + a 7 se codesa e la primera desigualdad al mayorarla por 4a 4, mietras e la última desigualdad el sumado 4a 8 se descodesa al mayorarlo por a 5 + a 6 + a 7 + a 8. E ambos casos se aprovecha la hipótesis clave: la sucesió {a decrece. Claramete, la misma idea puede usarse para cualquier N, pero es más riguroso y elegate razoar por iducció, como hemos hecho. Veamos ahora alguos ejemplos que ilustra el criterio de codesació.

7 0. Series de térmios o egativos 83 El carácter de las series armóicas se puede obteer como sigue: dado q N, tomado a = / q para todo N, la sucesió {a es decreciete y teemos 2 a 2 = /2 q ) para todo N {0, luego 2 a 2 es la serie geométrica de razó /2 q, que coverge 0 cuado q > y diverge para q =. Por el criterio de codesació, lo mismo le ocurre a la serie armóica de expoete q, como por otra parte ya sabíamos. La clave ahora ha sido que, al codesar ua serie armóica se obtiee ua serie geométrica. Para teer más ejemplos, cosideremos la serie a = q, de uevo co q N fijo. Puesto que {a es decreciete, podemos aplicar el criterio de codesació, y observamos que la serie 2 a 2 = q / 2 ) es covergete, pues se trata de la serie geométrica de razó 0 0 / q 2 <. El criterio de codesació os dice que la serie a tambié es covergete. Existe muchos más de criterios de covergecia para series de térmios o egativos, pero los aquí estudiados so ya suficietes para dilucidar la covergecia de multitud de series, así que os coformamos co ellos El úmero e Vamos a estudiar u úmero real cuya importacia se podrá de maifiesto más adelate. Cosideremos la serie /!, cuya covergecia se va a deducir fácilmete del criterio del 0 cociete. E efecto, tomado a = /! teemos claramete a + /a = / + ) para todo N, luego {a + /a 0 < y el criterio del cociete os dice que la serie cosiderada coverge. Su suma es, por defiició, el úmero e, que debe su ombre al geio matemático suizo Leohard Euler ). Así pues, teemos: e = =0! = lím σ dode σ = k=0 k! N Obsérvese que, por comodidad e la otació, estamos llamado σ, o a la -ésima, sio a la + )-ésima suma parcial de la serie usada para defiir e. Es obvio que σ p < e para todo p N; tomado p = obteemos e > 2, co p = 2 teemos e > 5/2, p = 3 os da e > 8/3, etc. Pero coviee estimar el error que se comete al tomar σ p como aproximació del úmero e, para lo cual debemos trabajar co los restos de la serie, o lo que viee a ser lo mismo, co la sucesió {e σ p. Pues bie, vamos a probar que 0 < e σ p p! p p N 3) Esta desigualdad asegura que la sucesió {σ p coverge al úmero e de forma bastate rápida. Por ejemplo, para p = 8 se tiee ya p! p > 0 4 obteiédose que 2,782 < e < 2,783. Para probar la desigualdad 3), se usa la primera versió del criterio de comparació, que permite mayorar e σ p por la suma de ua serie geométrica, como vamos a ver.

8 0. Series de térmios o egativos 84 Para N se tiee claramete p + )! p!p + ) de dode: e σ p = =p+! = = p + )! = p!p + ) = p! = Poemos de maifiesto el iterés de la desigualdad 3) probado lo siguiete: El úmero e es irracioal. p k=0 p + ) = p! p Razoado por reducció al absurdo, supogamos que e = m/p co m, p N. Será p >, pues sabemos que e / N, luego p!e = p )!m N. Por otra parte, como p!/k! N para k p, p! teemos tambié que p!σ p = k! N, luego p!e σ p) N. Si embargo, aplicado 3) teemos p!e σ p ) /p < y hemos llegado a ua cotradicció. Completamos este estudio prelimiar del úmero e viédolo como límite de ua sucesió secilla, que a veces se usa para dar ua defiició alterativa de e. Se verifica que e = lím + ) Para cada N, poiedo u = + /), la fórmula del biomio de Newto os permite escribir ) k u = k=0 k k = + )... k + ) k= k! k = + k= k! j ) 4) E cada sumado de la última expresió aparece u producto de k factores positivos, cada uo de los cuales aumeta al sustituir por +, y esta sustitució añade u sumado positivo más, co lo que la suma aumeta, es decir, + u + k= k! k j ) = u + + Esto prueba que {u es ua sucesió creciete. Para ver que está mayorada observamos que e el último miembro de 4) los productos que aparece so meores o iguales que, luego u + k= k! = σ < e N Así pues, {u es covergete y llamado L a su límite, teemos L e. Para coseguir la otra desigualdad, dados p, N, volvemos a trabajar co la igualdad 4): p+ u p+ = + k= k! k j ) p + + p k= k! k j ) p + 5)

9 0. Series de térmios o egativos 85 Fijado por u mometo p, teemos {u p+ L, mietras la sucesió que aparece sugerida al fial de 5) es covergete, por ser suma de productos de sucesioes { covergetes. Más cocretamete, para k p y 0 j k teemos claramete que j, de { p + k dode j ) y, por tato, p + lím [ + p k= k! k j ) ] = + p + p k= k! = σ p Así pues, de la desigualdad 5), válida para todo N, deducimos que L σ p. Como esto ocurre para todo p N, teemos fialmete L lím σ p = e. p 0.5. Ejercicios. Sea a ua serie covergete de térmios o egativos. Probar que la serie + a tambié es covergete. 2. Sea {a y {b sucesioes de úmeros reales o egativos. Supogamos que las series a 2 y b 2 so covergetes. Probar que la serie a b tambié es covergete. 3. Sea a 0 para todo N y supogamos lím q a =, dode q N y q >. Probar que la serie a es covergete. 4. Estudiar la covergecia de la serie 5. Dado a R +, estudiar la covergecia de la serie 6. Estudiar la covergecia de las siguietes series: a + ) a a)!) 2 2)! b) ) 7. Probar que la serie ! 8. Estudiar la covergecia de las series es covergete y calcular su suma. 2! y 3!