Tema 2: Potencias, radicales y logaritmos

Transcripción

1 Tema 2: Potecias, radicales y logaritmos

2 Potecias Propiedades veces a = aa aa a 0 = 1 a = 1 a 5 = 8 = 1 8 ( 20 89,98 )0 = 1 a m = m a 5 2 = 5 2 Operacioes Producto y divisió de potecias de la misma base: se suma o se resta los expoetes Potecia de ua potecia: se multiplica los expoetes Potecia de u producto o u cociete: se eleva cada elemeto a la potecia a a m = a +m a : a m = a m (a ) m = a m a b = a b a: b = a : b 5 2 = 5 : 2 = (2 ) = = : 5 = 2 5 : 5

3 OJO Normalmete estamos acostumbrados a ver las fórmulas e ua direcció pero tambié puede verse e la direcció cotraria. 2 5 = = 2 5 CUIDADO! a + b = a + b E estos casos la solució o es ta imediata. Cuado =2 obteemos las idetidades otables. a + b 2 = a 2 + b 2 + 2ab a b 2 = a 2 + b 2 2ab

4 Radicales ( I ) Propiedades básicas de los radicales Radicales equivaletes: se multiplica o divide el ídice del radical y el expoete del radicado por el mismo úmero. Producto/divisió de radicales de igual ídice: Se agrupa los radicados bajo la misma raíz. a p a b q = a q p a = a b = a b b 5 8 = 6 = 5 = 5 5 Raíz de u raíz: Se multiplica los ídices de las raices. m a m = a 12 = Potecia de ua raíz: Se multiplica los expoetes. ( a p ) m = a p m ( 2 ) = 8

5 Radicales ( I I ) Extracció e itroducció de factores e u radical a p b = a p b Itroducció: se eleva el factor que queremos itroducir al ídice de la raíz. 2 2 = 2 2 = 2 6 Tres formas distitas de extraer. Extracció: Podemos extraer de u radical aquellos factores cuyo expoete sea múltiplo del ídice. Si o lo fuera podemos o bie descompoerlo o bie hacer la divisió = 2 2 = = = = RECUERDA: Este es u ejemplo y por ese motivo he dejado el 1. Pero cuado u úmero se ecuetra elevado a 1 o se poe ada.

6 Radicales ( I I I ) Suma y diferecia Para sumar y restar radicales, estos debe de ser equivaletes. Si o fuera así habría que hacerlo por aproximacioes (calculadora) pero e clase los dejaremos idicados = = = 2 Primer paso: factorizar Racioalizació de deomiadores Segudo paso: extraer Tercer paso: agrupar radicales equivaletes Racioalizar ua expresió es ecotrar otra expresió equivalete que solo tega, a lo sumo, radicales e el umerador. = Multiplicamos arriba y abajo por el mismo úmero para o alterar el valor de la expresió, ya que estamos multiplicado por 1. 2 = = = 2 5 2

7 Radicales ( IV ) Para simplificar los radicales ormalmete, o ecesariamete siempre, seguimos los siguietes pasos: 1- Factorizar. 2- Itroduccioes si fuese ecesario. - Raíces y potecias si fuese ecesario. - Igualamos las raíces a comú ídice. 5- Simplificamos los factores. 6- Racioalizamos si fuese ecesario. - Extraemos todos los factores posibles. x x x = x x 2 x x 12 = x = x9 12 = x 12 x 9 x 12 = x 5 E este ejemplo o es ecesario factorizar pero sí el paso 2 para poder hacer la raíz de ua raíz. Hacemos la raíz de ua raíz y agrupamos los factores. Realizamos el paso Realizamos el paso 5 E este ejemplo o hay que racioalizar y tampoco es posible extraer factores, de forma que cocluye aquí.

8 Logaritmos ( I ) El logaritmo puede etederse co ua preguta: A qué úmero (x) tego que elevar (b) para obteer (r)? A qué úmero tego que elevar 2 para obteer 8? log b r = x b x = r log 2 8 = 2 = 8 Propiedades E ocasioes o aparece igú úmero e la b. E ese caso la b vale 10. Los logaritmos tiee alguas propiedades iteresates: Logaritmo de u producto Logaritmo de u cociete Logaritmo de ua potecia log b r s = log b r + log b s r log b s = log b r log b s log b r = log b r log 5 8 = log 5 + log 5 8 log 5 8 = log 5 log 5 8 log 5 8 = 8 log 5

9 Logaritmos ( I I ) Las calculadoras solo permite hallar logaritmos e base 10 o logaritmos eperiaos, para hallar u logaritmo e otra base hay que aplicar la siguiete propiedad: log b r = log r log b log 2 = log log 2 Ejemplo de aplicació de las propiedades y de la defiició de logaritmo: log 0 + log 25 = log(0 25) = log 1000 = log 10 =

10 Notació cietífica = 1, ,0001 =,1 10 Productos y divisioes Se multiplica/divide co los úmeros por u lado y co las potecias de 10 por otro. (Propiedad asociativa) 5,6 10 2, 10 2 = 5,6 2, = 12, = 1, Sumas y restas Se expresa primero los úmeros utilizado la potecia de 10 de meor expoete., , = 5,2 10 2, = 0, =,