Tema 7 (IV). Aplicaciones de las derivadas (2). Representación gráfica de curvas y fórmula de Taylor

Transcripción

1 Tema 7 (IV) Aplicacioes de las derivadas () Represetació gráfica de curvas y fórmula de Taylor Aplicacioes de la derivada primera El sigo de la derivada primera de ua fució permite coocer los itervalos de crecimieto y decrecimieto de la curva asociada a ella Además, e muchos casos posibilita la determiació de máimos y míimos relativos Crecimieto y decrecimieto (mootoía) f () es creciete e u puto a si f ( a h) f ( a h), para h > 0 y pequeño (Si se sustituye por <, se hablaría de crecimieto estricto) f () es decreciete e u puto a si f ( a h) f ( a h), para h > 0 y pequeño La fució f () es creciete (decreciete) e u itervalo cuado crece (decrece) e todos los putos de él Caracterizació mediate la derivada primera Si f ( a) > 0 f () es creciete e a E geeral, si ua fució f () es tal que f ( ) > 0 para todo de u itervalo, etoces f () es creciete e ese itervalo Si f ( a) < 0 f () es decreciete e a Si ua fució f () es tal que f ( ) < 0 para todo de u itervalo, etoces f () es decreciete ese el itervalo Máimos El puto es u máimo relativo cuado la fució es creciete a su izquierda y decreciete a su derecha Por tato: es u máimo si: f ( ) > 0, f ( ) 0, f ( ) < 0 Míimos El puto es u míimo relativo cuado la fució es decreciete a su izquierda y creciete a su derecha Por tato: es u míimo si: f ( ) < 0, f ( ) 0, f ( ) > 0 La determiació de los putos sigulares (aquellos e los que la derivada vale 0, llamados tambié estacioarios; y los putos e lo que la fució o está defiida) os permitirá obteer el crecimieto, el decrecimieto, los máimos y los míimos Advertecia No siempre que f ( ) 0 se tiee u máimo o u míimo; i siquiera esto es ua codició ecesaria Puede haber míimo si que f ( ) 0 : Así, la fució tiee u míimo e 0 y e ese puto o es derivable la fució Puede suceder que f ( ) 0 y o haya míimo i máimo Así pasa e el puto 0 para la fució Su derivada, f ( ), se aula e 0, pero: Si < 0, (por ejemplo, ), f () > 0 f() es creciete Si > 0, (por ejemplo, ), f () > 0 f() es creciete Por tato, e 0 o hay máimo i míimo Hay u puto de ifleió José María Martíez Mediao

2 Trazado de gráficas co ayuda de la derivada primera Dada la fució y f (), para dibujarla es útil el siguiete proceso: Determiar los putos e los que o está defiida f () Hallar la derivada f () Calcular las solucioes de la ecuació f ( ) 0 (putos sigulares) Marcar sobre el eje OX los putos sigulares y aquellos e los que la fució o está defiida Esos putos divide al eje OX e varios itervalos Estudiado el sigo de la derivada e cada itervalo aterior, determiar si la fució es creciete o decreciete (Basta co probar u puto de cada itervalo y ver si f () es positiva o egativa) Deducir (de lo aterior) dóde se da los máimos y los míimos, si es el caso 7 Trazar la gráfica ajustádose a la iformació obteida y dado alguos de sus putos, etre los correspodietes a los putos sigulares y a los cortes co los ejes de coordeadas Ejemplo: Trazado de la gráfica de la fució Está defiida siempre y f ( ) 0 ( ) 0 0,, y Marcamos los putos: Si <, (por ejemplo, ), f () > 0 f () es creciete Si < < 0, (por ejemplo, ), f () < 0 f () es decreciete e hay máimo, Si 0 < <, (por ejemplo, ), f () < 0 f () es decreciete e 0 o hay i máimo i míimo Si >, (por ejemplo, ), f () > 0 f () es creciete e míimo 7 Dado alguos valores se obtiee la gráfica adjuta Para 0, f ( 0) 0 puto (0, 0) Para,, f ( / ), 0 puto (,,,0) Para,, f ( / ), 0 puto (,,,0) Los cortes co el eje OX so las solucioes de 0, que so 0 y ± putos (,0), (0, 0) y (,0) hay José María Martíez Mediao

3 Aplicacioes de la derivada seguda Curvatura: cocavidad y coveidad La cocavidad y la coveidad depede del puto de vista del que mira Aquí se mirará siempre desde la parte positiva del eje OY Por tato, la cocavidad será así: ; y la coveidad, así: Observa lo que sucede e u itervalo de cocavidad Las tagetes a la curva está por ecima de ella Las rectas tagetes, de izquierda a derecha, tiee cada vez meor pediete O, lo que es lo mismo, sus pedietes y f() decrece a coveidad f ( ) < (La pediete viee dada por la derivada) Luego la derivada decrece: f () es decreciete E cosecuecia, su derivada (la de f () ) será egativa: 0 Los máimos se da siempre e ua coveidad Por tato, si e a hay u máimo de f (), se cumplirá que < 0 Observa lo que sucede e u itervalo de cocavidad y f() Las tagetes a la curva está por debajo de ella Las rectas tagetes, de izquierda a derecha, tiee cada vez mayor pediete O, lo que es lo mismo, sus pedietes crece (La pediete viee dada por la derivada) a Luego la derivada crece: f () es creciete cocavidad E cosecuecia, su derivada (la de f () ) será positiva: f ( ) > 0 Los míimos se da siempre e ua coveidad Por tato, si e a hay u míimo de f (), se cumplirá que > 0 Por tato, se tiee: Si f ( ) < 0 e el u itervalo (, ) f () es covea e ese itervalo Si f ( ) > 0 e el u itervalo (, ) f () es cócava e ese itervalo Máimos y míimos Si f (a) 0 y < 0 f () tiee u máimo e a Si f (a) 0 y > 0 f () tiee u míimo e a El recíproco o es cierto Esto es, puede suceder que f () tega u máimo (o u míimo) e a siedo f (a) 0 y 0 (si que f ( ) < 0 o > 0) Putos de ifleió Los putos e los que la curva cambia de cócava a covea, o al revés, se llama putos de ifleió; e esos putos, la tagete corta a curva Se cumple tambié que: Si a es u puto de ifleió de f () 0 El recíproco o es cierto Esto es, puede suceder que 0 y e a o haya puto de ifleió PI a coveidad cocavidad José María Martíez Mediao

4 Criterio geeral para la determiació de putos máimos, míimos y de ifleió Si a es u puto que cumple: ) f ( a) 0, 0, f ( a) 0, f ) ( a) 0 y f ( a) 0, etoces: ) Si es par y f ( a) < 0, e a hay u máimo Ejemplos: a) La fució ) f Si es par y ( a) > 0, e a hay u míimo Si es impar, e a hay u puto de ifleió, auque f ( a) 0, vista e el ejemplo aterior, cumple: f ( ) 0 si 0,, Los putos 0,, so cadidatos a máimos o míimos Para decidirlo se hace la derivada seguda: Como: f ( ) ( ) 0 0, f ( / ) < 0, e se da u máimo relativo f ( 0) 0, e 0 se da u puto de ifleió f ( / ) > 0, e se da u míimo relativo Otros putos de ifleió so y ± (Puede verse que f ( ) 0 es 0 e los tres putos de ifleió idicados) b) La fució c) La fució, cumple: f ( ) 0 e 0; f ( ) 0 e 0; f ( ) 0 e 0; > 0 e 0 se da u míimo, cumple: f ( ) 0 e 0; ) f ( ) 0 0 e 0; f ( ) 0 0 e 0; 0 0 e 0; ) 0 e 0 se da u puto de ifleió ) José María Martíez Mediao

5 Sugerecias para la represetació gráfica de ua fució Para represetar ua fució f (), puede seguirse el esquema siguiete: Determiar el domiio de defiició y el recorrido de f () (Estudio de posibles discotiuidades Regioes) Simetrías Hay dos tipos de simetrías Fució par: f () es simétrica respecto del eje OY Se cumple que f ( ) Fució impar: f () es simétrica respecto del orige: Se cumple que f ( ) Periodicidad f () es periódica de período p si f ( p) E la práctica sólo se tiee e cueta e las fucioes trigoométricas Asítotas Puede haberlas verticales, horizotales y oblicuas Verticales Si lím f () la recta a es asítota vertical f () a Horizotales Si lím b la recta y b es ua asítota horizotal de f () Oblicuas Si lím m (m 0 y m ) y lím ( m) ( ) la recta y m es ua asítota oblicua de la curva y f () Es muy útil determiar, mediate el cálculo de límites laterales, la posició de la curva respecto de las asítotas Putos sigulares e itervalos de variació y curvatura Co la derivada primera, f () : Crecimieto y decrecimieto Máimos y míimos Co la derivada seguda, f () : Cocavidad, coveidad y putos de ifleió Determiar alguos putos sigificativos de la curva y f () Putos máimos, míimos y de ifleió Putos de corte de la curva co los ejes 7 Trazado de la curva Todas las piezas debe ecajar E caso cotrario habrá que revisar los cálculos realizados Ejemplos: a) Para la fució se tiee: Domiio R Regioes (sigo): por debajo del eje OX (egativa) si < 0; por ecima de OX si > 0 ( ) Simetrías Es impar: f ( ) ( ) Asítotas Como lím 0 y 0 es ua asítota horizotal La curva va por debajo de la asítota cuado ; va por ecima de la asítota si José María Martíez Mediao

6 ( ) Derivada primera: f ( ) se aula e y e ( ) Si <, f () < 0 f () es decreciete Si < <, f () > 0 f () es creciete Si >, f () < 0 f () es decreciete E hay míimo; e hay máimo Derivada seguda: ( )) f ( ) se aula e 0 y e ± ( ) Si <, f () < 0 f () es covea ( ) Si < < 0, f () > 0 f () es cócava ( ) Si 0 < <, f () < 0 f () es covea ( ) Si >, f () > 0 f () es cócava ( ) - E los putos, 0 y, la fució cambia de curvatura: so putos de ifleió Tambié puede verse que f ( ) > 0 y que f () < 0, lo que cofirma que e haya u míimo y e u máimo Co toda esta iformació y calculado alguos putos se obtiee su represetació gráfica 0 (, ) (, / ) - 0 (, /) b) La fució verifica: Domiio R {0} Es impar: f( ) f() E 0 tiee ua asítota vertical Como, la recta y es ua asítota oblicua Tambié puede verse que: (-, -) lím lím m y lím ( m) lím 0 Derivadas: f ( ) < 0 para todo de su domiio decrece siempre f ( ) f < 0 si < 0: covea ( ); f > 0 si > 0: cócava ( ) José María Martíez Mediao

7 7 Represetació gráfica de alguas curvas Alguas de las gráficas siguietes se preseta co cierta frecuecia E cada caso se idica alguos de sus elemetos característicos El lector sabrá completar el resto Má: (0, 0); mí: (-, -), (, -) PI: /, / Asítotas: 0; y 0 y Asítota: y 0 y mí: (, 0) PI: y e y e y 0 y y 0 e y mí: (0, ) PI: 0 Asítotas: y 0; y 0 Asítotas: 0; y 0; y log( ) mi: (, 0) PI: -, y se y se se, Periódica: p π/ e e se π π π Periódica: p π José María Martíez Mediao

8 8 Aproimació de ua fució por poliomios Fórmula de Taylor Como sabemos, la fució lieal que mejor aproima a ua curva f () e u etoro del puto a es la recta tagete a la curva e ese puto Esto es, la recta y f a) f ( a) a y f ( a) a ( ( ) ( ) Al realizar esa aproimació se comete u error, que o puede coocerse, pero sí acotarse E el caso de la figura adjuta, si se estimara el valor de la fució e el puto 0 mediate su correspodiete valor e la recta tagete, el error que se comete es y ) f ( ) ( 0 0 ( 0 ) f ( 0 Tal error suele darse e valor absoluto: E y ) Naturalmete, si os alejamos de a el error aumeta; y si os aceramos a a, dismiuye Es fácil ver que si 0 a, etoces E y( 0 ) f ( 0 ) 0 Además, si hacemos y g( ) f ( a) ( a), se tiee: g( ) ( f ( a)( a) ) lim lim a a a a lim f ( a) f ( a) f ( a) 0 a a Esto sigifica que g( ) es u ifiitésimo de orde superior a a, lo que equivale a decir que g( ) 0 co mayor rapidez que a 0 Ejemplo: La fució e puede aproimarse e los alrededores de 0, mediate la recta tagete a la curva e ese puto Esta tagete es: y E el puto 0 0,, el valor de la fució es 0, f (0,) e, ; mietras que el valor sobre la recta es 0,, El error que se comete e la aproimació es algo mayor que 0,0, pero meor que 0,0 La ecuació de la recta es u poliomio de grado : Puede observarse que f ( 0) P (0) y que f ( 0) P (0), luego P ( ) f (0) f (0) P ( ) La aproimació puede mejorarse mediate el poliomio de segudo grado P ( ) E la figura adjuta se ilustra ese hecho E cocreto P (0,),, co lo que error cometido sería aproimadamete de 0,00 f (0) Puede observarse que P ( ) f (0) f (0)! José María Martíez Mediao

9 9 Poliomio de Taylor E geeral, para cualquier fució f (), el objetivo es ecotrar u poliomio de grado que tome u valor muy próimo a los que toma la fució e u etoro del puto cosiderado Esto es, ecotrar u poliomio de grado, P (), tal que P ( ), e u etoro del puto a E el supuesto de que f () sea derivable hasta el orde, le pediremos a P () que coicida co f (), y co sus sucesivas derivadas, e el puto a Si el poliomio elegido es debe cumplir que: P ( a) f ( a) P ( a) P ( a) f ( a) P ( a) ( P ( P ( ( ( a) ( a) P ( ) ) a0 a ( a) a ( a) a( a) a ( a, El poliomio queda determiado cuado se coozca sus coeficietes a i Esto se cosigue impoiedo las codicioes ateriores Por tato, derivado sucesivamete se tedrá: P ( ) a a ( a) a ( a) a ( a) a ( a), P ( ) P ( ) 0 a a ( a) a ( a) a ( a) a ( a) a a ( a) a ( a) ( ) a ( a) a a ( a) ( )( ) a ( a) P ( ) ( P ( ) ( )( ) a! a Como se desea que: P ( a) a a f ( ) 0 0 a f ( a) P ( a) a a f ( ) a P ( a) a a! f ( a) f ( a) P ( a) a a! ( ( ( P ( a)! a a! ( ( ( P ( a)! a a! Co lo que poliomio buscado es: P ( ) f ( a)( a) ( a) f ( a) ( a)! ( ( a)! José María Martíez Mediao

10 0 Ejemplo: Hallemos el poliomio de Taylor de grado de la fució e, e el puto 0 E este caso, como a 0, el poliomio será: ( f (0) f (0) f (0) P ( ) f (0) f (0)!! ( ( 0 Y como f ( ) f ( ) e f (0) f (0) f (0) f (0) e Por tato: P ( )!! Podemos observar que el poliomio de grado es el que hemos utilizado ateriormete: P ( ) Resto de Lagrage: error de aproimació La diferecia etre los valores e u puto, próimo a a, de la fució f () y el poliomio de Taylor, P (), será R ( ) P ( ) Esta diferecia es el error cometido cuado se sustituye la fució por el poliomio (Como se dijo ateriormete, ese error o puede coocerse, pero sí puede acotarse) Asumimos si demostrar el siguiete teorema: ( Si eiste la derivada f ( ) e u etoro del puto a, el valor de R () viee dado por la epresió ( f ( c) R ( ) ( a), dode c está etre a y ( )! Observacioes sobre el resto: Si es grade y si está próimo a a ( )! es grade y ( a) pequeño; e cocreto si a <, ( a) es cada vez más pequeño E cosecuecia R () será pequeño E cocreto, R () es u ifiitésimo de orde superior a ( Si se cosigue que f ( ) M M R ( ) a ( )! Ejemplo: Para la fució f e el itervalo de estudio, etoces Esto os permite acotar el error ( a) ( ) e, el error que se comete al aproimarla mediate el poliomio de c e c segudo grado, P ( ), es, R ( ), pues f ( c) e! e Cuado se calcula f (0,) mediate el poliomio, el error será! c 0, e Por tato, como e c < e < R (0,) 0, < 0,00! 7 0, (Si se utiliza la calculadora se tiee: e,078, P (0,), R ( 0,) 0,00078 ) c R (0,) 0,, 0 < c < 0, José María Martíez Mediao

11 Fórmula de Taylor Usado el resto, como P ( ) R ( ), se obtiee la fórmula de Taylor dode c está etre a y f ( a)( a) ( a) ( ( a)! Si el poliomio se halla para el puto 0, la fórmula queda: ( ( f (0) f (0) f ( c) f (0) f (0)! ( )! que se cooce co el ombre de Mac Lauri Si e la fórmula de Taylor se hace a h, esta adopta la siguiete forma: ( ( f ( c) f ( a h) f ( a) h h h h! ( )! ( f ( c) ( a) ( )! Apute para ua aplicació de la fórmula de Taylor para el estudio de la variació y curvatura de ua fució Para la fórmula de Taylor queda: f ( a)( a) R ( ), dode c está etre a y ; y R ( ) es más pequeño que a, cuado a A partir de esa fórmula puede verse que si f (a) > 0, para valores de mayores que a se cumple que > la fució es creciete e a (Aálogo cuado f (a) < 0 y decrecimieto) Para, la fórmula de Taylor queda: f ( a)( a) ( a) R ( ), dode c está etre a y ; y R ( ) es más pequeño que ( a), cuado a Si f ( a) 0, que es el caso de posible máimo o míimo, se tiee: 0 ( a) R ( ) E cosecuecia, si f (a) > 0 >, tato para valores de meores que a como mayores que a, pues ( a) siempre es positivo la fució tiee u míimo e a (Aálogo cuado f (a) < 0 y máimo) Utilizado la fórmula de Taylor de grado puede justificarse el criterio geeral para la determiació de putos máimos, míimos y de ifleió, que es el siguiete: Si a es u puto que cumple: ) f ( a) 0, 0, f ( a) 0, f ) ( a) 0 y f ( a) 0, etoces: ) Si es par y f ( a) < 0, e a hay u máimo ) f Si es par y ( a) > 0, e a hay u míimo Si es impar, e a hay u puto de ifleió, auque f ( a) 0 Además de la bibliografía recomedada e la Guía Docete puede verse: Salas Hille, Tomo, Tercera Edicio, Calculus, Editorial Reverté José María Martíez Mediao

12 Alguos desarrollos de Taylor: Fució l( ) e el puto 0 l( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ( ( ) ( )! ( ) ( ) E 0: ( f ( 0) l 0 f ( 0) f ( 0) f ( 0) f (0) f ( ( ) ( ) ( )! Luego: P ( ) ( )! l( ) ( ) R ( )! Si se calcula f ( 0,) l(, ) utilizado el poliomio de grado se obtiee: 0, 0, 7 P ( ) 0, 0, Co la calculadora, l(,) 0,8 El error es 0,000 Si o se dispoe de calculadora y se tuviese que dar ua cota de error, ésta vedría dada por! ( c ) R ( 0,) 0, < 0,000! ( c ) 00 Fució si e el puto 0 si f ( ) cos f ( ) si f ( ) cos ( si E 0: ( f ( 0) si 0 0 f ( 0) cos0 f ( 0) 0 f ( 0) f (0) 0 7 Luego: P ( )!! 7! Fució cos e el puto 0 P ( )!!! José María Martíez Mediao