(3 ) (6 ) 5 (3 x ) 5 81x. log (3 4) log 5 3log 5 5 (3log 5) y x x. cos 7 4 ( 1) 2 (3 ) 2 4

Transcripción

1 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso Tema : Fucioes reales de ua variable real Cálculo de derivadas Calcular la derivada primera de las siguietes fucioes: 1. y y 5 ( ) (6 ) ( ) y 5 1 y y y y log ( ) log 5 log 5 5 (log 5).. 5. y log( 7 ) y cos y cos 7 y 7 y cos se y 6se 6. y tg7 y 7 cos 7 Tambié se puede resolver aplicado la derivada del cociete a la fució se 7 y. cos7 7. y 1 y ( 1) ( ) ( 1) ( 1) 8. 1 se y (Sugerecia: utilizar derivació logarítmica) 1 se 1 1 Se toma logaritmos, log y log(1 se ) log(1 se ) Pág.1

2 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso Tema : Fucioes reales de ua variable real Se deriva, y 1 cos 1 cos cos y 1 se 1 se 1 se cos 1 se y cos 1 se 9. y y y 1 1/ log y 1 1/ 1/ 1 1 1/ log y ' log 1/ 1 y ' og l Ejercicios propuestos 1 Dadas las siguietes fucioes: (a) f( ) ( ) (b) f( ) ( 1) ( 1) (c) f( ) cos cos (d) f ( ) cos10cos(10 ) 1 1 (e) f( ) log ( 1) (f) f( ) ( 1) 1 1 Se pide: Pág.

3 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso Tema : Fucioes reales de ua variable real 1. Obteer su domiio.. Calcular el límite e 0, o e los putos idicados.. Estudiar la cotiuidad e.. Estudiar las simetrías, y la periodicidad. 5. Si utilizar la derivada, podrías esbozar la gráfica de algua de estas fucioes? Solució: Pág.

4 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso Tema : Fucioes reales de ua variable real Dada la fució (log ) f( ) ( 1). Se pide: Determiar y represetar su domiio. Se podría asigar a f() algú valor e los putos de discotiuidad para que f sea cotiua e el itervalo (0,) Solució: Dom f = 0, 1 1. Se puede redefiir f() para que sea cotiua e 0,. Asigado f(1) = 1, se evita la discotiuidad de f() e el puto = 1. Cosidera la fució h ( ) f( ) g ( ), dode las gráficas de f y g so las que te damos a cotiuació. a) 1. Calcula h() y h(). Calcula aproimadamete f '(), f '(), g'() y g'().. Calcula aproimadamete h'(), h'(). Pág.

5 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso Tema : Fucioes reales de ua variable real b) Co las mismas gráficas que e el apartado aterior, sea h() f [g()]. 1. Calcula h() y h(). Es h'() positivo, egativo o cero? Eplica cómo puedes saberlo.. Es h'(1) positivo, egativo o cero? Eplica cómo lo averiguas. Solució: (a.1) h h ; 0 (a.) f f g g ' 1; ' 1.5; ' 0.5; ' 1/ (a.) h h '.5; ' 1 (b.1) h h 0; 0 (b.) 0 (b.) Positivo. De ua cierta fució f coocemos alguos valores, dados e la siguiete tabla: 1 1'9 1'97 '0 ' '9 '99 '01 '1 f () '5 6'6 6'90 7 7'05 7'5 8 8'8 8'98 9 9' 11 a) Usa esta tabla para aproimar el valor de la derivada de f e. b) A partir de la iformació que te da esta tabla, crees que f () es derivable e? Justifica tu respuesta. Solució: (a) f ' (b) No es derivable e el puto. 5 a) Cuál es la ecuació de la recta tagete a la curva y log 1 puto cuya abscisa es? e el b) Ecuetra los valores de a y b para que f e y tega tagete comú e el puto de abscisa 0. g a b (b) a1, b 1 5 Solució: (a) y log5 Pág.5

6 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso Tema : Fucioes reales de ua variable real 6 Hallar la derivada -ésima de: (a) f se e =0 (b) f cos (c) f e e =0 (d) f log1 e =0 e =0 (e) f log e =0 Solució: (a) f Tambié: (b) / 1 se cos f 1/ 1 cos (c) f e f f se 0 1 f si par f si impar 0 cos f se 1 (d) 1 1 f 1 1! 1 f 0 1 1! 1 (e) f 1 1! 1! f 0 1/ si par si impar 1 ( ( 1 1! 1! 7 Hallar de forma aproimada los siguietes valores, utilizado la aproimació lieal 0. a log0.9 b e c 70 d 8'0 0. Solució: a log b e c d 8'0 ' Calcular, mediate la diferecial, ua aproimació de cos(155º) y dar ua cota del error cometido. Pág.6

7 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso Tema : Fucioes reales de ua variable real Solució: Error 6 9 (a) Obteer el poliomio de Taylor de grado de la fució y log1 alrededor del puto a= 0. (b) Obteer, mediate el poliomio aterior, u valor aproimado de log(0.5). (c) Hallar ua cota del error cometido e dicha aproimació. Solució: T 8, log error Se cosidera f log. Se pide: a) Represeta el domiio de la fució f b) Calcula el poliomio de Taylor de grado de f e a y determia la epresió del resto eésimo de f e a 6'1 c) Calcula ua cota del error cuado queremos aproimar log por el 6' poliomio de grado d) Cuátos térmios es ecesario cosiderar del poliomio de Taylor de 6'1 f e a para aproimar log 6' co u error meor que 1 10? Solució: (b) T R 1 t t t1 R (c) (d) Se ecesita =1 térmios 11 Determiar el orde de los ifiitésimos siguietes cuado 0 Pág.7

8 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso Tema : Fucioes reales de ua variable real (a) f ( ) se cos 1 (b) f( ) se 16 5 Solució: (a) De orde, 7 f( ) (b) De orde 1, f ( ) 1 U estudio del medio ambiete de cierta comuidad suburbaa idica que el ivel medio de moóido de carboo e la atmósfera es de p C p 0,5 17 partes por milló cuado la població es p miles de persoas. Se estima que, detro de t años, la població será de p t,1 0,1t miles de persoas. Cuál será la tasa de variació de ivel de moóido de carboo, dc dt, co respecto al tiempo detro de tres años? Solució: 0, partes por milló / año 1 U cohete es lazado e direcció vertical y rastreado por ua estació de observació situada e el suelo a 5km de la plataforma de lazamieto. Supó que el águlo de elevació de la visual hacia el cohete aumeta a razó de grados/seg cuado 60 o. Calcula la velocidad del cohete e ese mometo. Solució: 100 km / h 1 Calcular los águlos que forma al cortarse las curvas defiidas por y 1, y y 9. Pág.8

9 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso Tema : Fucioes reales de ua variable real Nota: El águlo que forma dos curvas es el águlo determiado por sus rectas m1 m tagetes. Se puede calcular así tg dode 1 mm Solució: Dos putos de corte: (1,) y (,-). E el puto (1, ): 1 1 arctg arctg 1 15 (a) Hallar la ecuació de la recta tagete y de la ormal a la curva de se y y 1 9 e el puto (0, ). ecuació (b) Hallar las ecuacioes de la tagete y de la ormal a la curva siguiete e el puto (-, ) y 6 5y8y 91 0 Solució: (a) Recta tagete y 6. Recta ormal y 9 9 (b) Recta tagete : y. Recta ormal: y a) b) 9 y Pág.9

10 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso Tema : Fucioes reales de ua variable real 16 Determiar los putos de la curva y 8 sea míimas. cuyas distacias al puto 6,0 Solució: Puto, y, 17 Se quiere fabricar latas cilídricas para bebidas refrescates, de 00 cm de capacidad, utilizado la míima catidad posible de material. Idica las dimesioes (radio de la base y altura) que garatice la míima superficie. Solució: El radio de la base y la altura de la lata que hace míima la superficie so radio = 100 cm ; altura = 100 cm ; superficie míima = cm. 18 a) Obteer los etremos relativos de la fució f ( ) e. b) Hallar los etremos absolutos de la fució f ( ) / 5 itervalo [-1,. e el f 6 c) Calcular los máimos y míimos de la fució: d) Demostrar que la fució: f e tiee u míimo e =0.!! Solució: a) Como f ' 0 f '' 0 f ''' 00 ; ( f 0 0, la fució tiee u míimo relativo e = 0, cuyo valor es f(0) = 0. Además tiee dos máimos relativos, que vale lo mismo, f f. e b) Los putos críticos de la fució f e el itervalo [-1, so: = 0 (f o es derivable e dicho puto); = 1 (porque (etremos del itervalo) f '1 0); = -1 y = Evaluado la fució e los putos críticos y comparado los valores obteidos, se cocluye Máimo absoluto de f 1 7 Míimo absoluto de f e [-1, es f e [-1, es f 0 0. Pág.10

11 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso Tema : Fucioes reales de ua variable real c) 1 es u míimo relativo. iv d) Se cumple f '0 f ''0 f '''0 0y f Pág.11