DEFINICIÓN DE PRODUCTO CARTESIANO:

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1 Fucioes DEFINICIÓN DE PRODUCTO CARTESIANO: Dados dos cojutos A y B, llamaremos producto cartesiao de A por B (lo aotaremos A B) al cojuto formado por todos los pares ordeados que tiee como primera compoete u elemeto de A y como seguda compoete u elemeto de B. O sea: A B {(a, b) / a A b B} DEFINICIÓN DE RELACIÓN: Dados dos cojutos A y B diremos que R es ua relació de A e B (lo aotaremos: R: A B), a cualquier subcojuto del producto cartesiao A B. O sea, R relació de A e B R A B. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN: Dados dos cojutos A y B, llamaremos fució de A e B, a cualquier subcojuto de A B tal que a cada elemeto de A le correspode u y sólo u elemeto de B. O sea, f: A B es fució f A B A, u úico y, yb (, y) f. Notas: (, y) f sigifica que y = f(), se lee: la image del elemeto, segú la fució f, es y, o la preimage del elemeto y, segú la fució f, es. f f() pues f represeta la fució, o sea el cojuto de pares ordeados y f() es sólo la seguda compoete de cada par. DEFINICIONES: Sea f / f: A B fució, llamaremos: 1. Domiio de la fució f al cojuto determiado por todas las primeras compoetes de los pares del cojuto f, y lo aotaremos D (f). O sea, D (f) = A. 2. Recorrido (o cojuto image) de la fució f a aquel cojuto determiado por todas las segudas compoetes de los pares de f, y lo aotaremos Rec (f). 3. Codomiio (o cojuto de llegada) de la fució f al cojuto B. OPERACIONES CON FUNCIONES: Dadas f: A R, g: B R 1)ADICIÓN: Llamaremos fució suma de las fucioes f y g a la fució (f+g): A B R / (f+g)()= f() + g() 2)MULTIPLICACIÓN: Llamaremos fució producto de las fucioes f y g a la fució (f.g): A B R / (f.g)()= f(). g() Nota: La fució resta queda defiida a partir de las dos operacioes ateriores. 3)DIVISIÓN: Sea B 0 / B 0 = / B g() 0 Llamaremos fució cociete de las fucioes f y g a la fució f : A B0 R / g f g ()= f() g() Profesora Clara Messao 1

2 Fucioes 4)COMPOSICIÓN Compoer dos fucioes f y g sigifica aplicar ua tras otra segú el esquema: A f B g C f() g(f()) Por ejemplo, dadas f() = + 4 y g() = 2, completar el siguiete cuadro: Geéricamete: f g Llamaremos a la fució resultate composició de f co g y la aotaremos g o f, e uestro caso, (g o f)() = f() g(f()) Hallar la epresió aalítica de (f o g) obteemos la misma fució? Determiació del domiio... Sabemos que toda operació es válida e determiados cojutos. Es ecesario etoces estudiar e qué cojuto resulta legítima la composició. Veamos el siguiete ejemplo: 2 Dadas f() = 2-1 y g() = 2, completar: 9 X f() g(f()) 0 ½ 2 D(f)= D(g)= Cuál es etoces el domiio de (g o f)? Defiició: Sea A 0 / A 0 = / A f() B Llamaremos fució composició de f y g a la fució (g o f): A 0 R / (go f)()= g(f()) Ejercicio 3: Dadas las siguietes fucioes f() = , g(), h() = 2 4, i() = 1 Idicar la epresió aalítica de las operacioes que se idica a cotiuació, epresado el domiio de la fució resultate: a) (f + g h) f g b) c) (f.i.g) d) h h.i e)(goh) f)(hof) g)(iof) h)(foi) i)(fogoh) Profesora Clara Messao 2

3 Fucioes EJEMPLOS DE FUNCIONES: 1. Fució sigo: Llamaremos fució sigo (sg) a la fució de domiio el cojuto de los úmeros reales, defiida por: 1 si 0 sg: R R / sg( ) 0 si 0 1 si 0 Observació: El recorrido de la fució sigo es: Rec(sg)= {-1; 0; 1} 2. Fució poliómica: Llamaremos fució poliómica a la fució de domiio el cojuto de los úmeros reales, defiida por: P: R R / P() = a a 1... a2 a1 a0 co ai R, i 0, 1,..., y a 0 3. Fució valor absoluto: Llamaremos fució valor absoluto otació. a la fució. : R R / - si si 0 0 Observacioes: Valor absoluto de u úmero o egativo es dicho úmero. Por ejemplo: Valor absoluto de u úmero egativo es su opuesto. Por ejemplo: 5 5 Ua forma de iterpretar el valor absoluto de u úmero real es: Así por ejemplo: y Tambié podemos iterpretar el valor absoluto de u úmero real, como la distacia al cero de u puto que tega abscisa sobre u eje orietado. Cómo se iterpreta 1 e térmios de distacia? 2 Propiedades del valor absoluto: 0, y R 2., R 3. y y, R; y, y R 4..y. y 5., R; y, y R y y desigualdad triagular, R; y, y R co y 0 6..sig, R 7. a a a 8. a a a a r a r, a r 11. a r, a a, Profesora Clara Messao 3

4 Fucioes 4. Fució epoecial: Llamaremos fució epoecial a la fució de domiio el cojuto de los úmeros reales, defiida por: f: R R / f() = a a > 1 0 < a < 1 a = 1 Revisió de potecia: Cuado hablamos de potecia os referimos a ua epresió del tipo a, dode a recibe el ombre de base y de epoete. Por ejemplo: 2 3 ; 7 1/2 ; 18-3 ; (4/3) 9. Defiiremos potecia, distiguiedo la aturaleza del epoete (atural, etero o racioal). I) Potecia de base real y epoete atural: dado a R, defiimos: 0 a =1, si a 0 a 1 = a 1 a a a, ( ) N, 2 * II) Potecia de base real o ula y epoete etero: dado a R, i. Si p Z + o p = 0, etoces p N, por lo tato ya está defiido e I) p ii. Si p Z - p 1, defiimos a a Observacioes: 1. E la parte ii. observmos que, como p es u etero egativo, se tiee que (-p) es u úmero atural, por lo tato p 1 la potecia ya está defiida e I). a p p a (a 0) p a a 3. La potecia de base cero y epoete egativo o está defiida. Para poder defiir potecia de epoete racioal, ecesitamos defiir primero raíz -sima de u úmero real. Defiició: dado N* i) si es par y a real o egativo, diremos que a b b a ii) si es impar y a real cualquiera, diremos que a b b a Observació: Si es par y a es egativo a o se defie (o eiste raíz de orde par de u úmero egativo) Alguas propiedades... (las propiedades so válidas bajo las codicioes de las epresioes ivolucradas) a. b a.b m a : b a : b m. a, si es par a a a a, si es impar Profesora Clara Messao 4

5 Fucioes III) Potecia de base real y epoete racioal: dados m m se defie: a a,e caso que a m eista. a R *, m Z, N*, Alguas propiedades de potecia... p a. a p a : a p a -p a propiedades de potecias de igual base p.p a a propiedad de potecia de potecia a. b a : b (a. b) (a : b) propiedades de potecias de igual epoete si p, se tiee que : p a a p a a,, si a si o 1 a 1 propiedades de mootoía * Las propiedades ateriores so válidas bajo las codicioes de eistecia de cada ua de las potecias ivolucradas. 5. Fució logarítmica: Llamaremos fució logarítmica a la fució de domiio el cojuto de los úmeros reales positivos, defiida por: f: R + R / f() = log b () co b < 0, b 1 ( b es la base del logaritmo y es el logaritmado) b > 1 0 < b <1 Notació: si b = e (e 2, ), log e () L() e este caso se llama logaritmo eperiao Profesora Clara Messao 5

6 Fucioes Revisió de logaritmo: Defiició: Dados dos úmeros reales a y b co a > 0, b > 0 y b 1, diremos que: b 4 1 Ejemplos: log 16 4 pues 2 16 log 3 pues log a c b c a Propiedades de logaritmo: 1. log a 1 a 2. log 1 0 b a.c a c 3. log log log (propiedad de logaritmo de u producto) b b b a 4. log c a c log log (propiedad de logaritmo de u cociete) b b b k a b a b 5. log k. log a 1 6. log a log b k b k co k 0 a a logc 7. log (Propiedad de cambio de base) b b logc Nota: Estas propiedades so válidas bajo las codicioes de eistecia de cada uo de los logaritmos ivolucrados. Profesora Clara Messao 6