Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales

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1 Uiversidad Atoio Nariño Matemáticas Especiales Guía N 1: Números Complejos Grupo de Matemáticas Especiales Resume Se preseta el cojuto de los úmeros complejos juto co sus operacioes y estructuras relacioadas. Se estudia la represetació geométrica de los complejos, su forma polar, sus raíces y potecias. 1. Geeralidades Los úmeros complejos surgiero a partir de la ecesidad de ecotrar solució a ecuacioes del tipo ax 2 + bx + c = 0 dode el discrimiate b 2 4ac es egativo. El ejemplo más claro se preseta al itetar resolver la ecuació x = 0, pues se ecesita u úmero tal que su cuadrado sea igual a 1 y e el cojuto de los úmeros reales o existe u úmero que satisfaga esta codició. Defiició 1. El cojuto de los úmeros complejos, deotado por C, está formado por todas las parejas ordeadas (a, b) de úmeros reales tales que: 1. (a, b) = (c, d) si y sólo si a = c y b = d (Igualdad). 2. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (Suma). (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) (Producto) El cojuto de los úmeros complejos C es u campo co las operacioes defiidas ateriormete, es decir, las propiedades comutativa, asociativa y distributiva so satisfechas. Además existe elemetos eutros e iversos: 1

2 (0, 0) es el elemeto eutro para la suma y (1, 0) lo es para la multiplicació. ( a, b) es el iverso( aditivo de (a, b), mietras que el iverso multiplicativo de (a, b) es a a 2 + b 2, b ) a 2 + b 2 siempre que a y b o sea ambos cero. El símbolo i represeta la uidad imagiaria y e este cotexto correspode a la pareja (0, 1). Notació. E lo que sigue, la pareja (a, b) será idetificada co z = a + bi. a es la parte real de z, otada como Re(z), y b la parte imagiaria de z, otada como Im(z). De esta maera (1, 0) es 1 y (0, 1) es i. Si la parte real de u úmero complejo es cero, el úmero es u imagiario puro, mietras que si la parte imagiaria es cero, el úmero es u real. Volviedo a la ecuació x = 0 y co base e la defiició de multiplicació dada, es secillo mostrar que i 2 = 1: i 2 = (0, 1)(0, 1) = ( 1, 0) = 1 Co base e la ueva otació, es posible redefiir la suma y el producto e C. Así, si z 1 = a + bi y z 2 = c + di etoces: z 1 + z 2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i z 1 z 2 = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i Para defiir el cociete z 1 z 2, se debe supoer que z 2 0 y se procede como sigue: z 1 = a + bi z 2 c + di (ac + bd) + (bc ad)i = c 2 + d 2 (a + bi)(c di) = (c + di)(c di) = ac adi + bci i2 bd c 2 cdi + cdi i 2 d 2 = ac + bd bc ad c d2 c 2 + d 2 i Ejemplo 2. Sea z 1 = 2 + i, z 2 = 7 4i, z = 2 5i. 2

3 z 1 + z = ( 2 + i) + (2 5i) = ( 2 + 2) + ( 5)i = 0 2i = 2i z 1 z 2 = ( 2 + i) (7 4i) = i + 21i 12i 2 = i z 1 z 2 ( 2 + i) (7 4i) = z 2 5i = 4 i + 58i + 145i2 4 + i i 25i 2 = i ( i)(2 + 5i) = = 2 5i (2 5i)(2 + 5i) i = i Las potecias de úmeros complejos co expoetes eteros se defie de la misma forma que e el caso de los úmeros reales. Además, para z, z 1, z 2 C y, m Z se satisface las siguietes propiedades: 1. z 0 = 1, siempre que z z z m = z +m.. (z ) m = z m. 4. (z 1 z 2 ) = z 1 z z = 1, siempre que z 0. z Ejemplo (Potecias de la uidad imagiaria). i 0 = 1 i 1 = i i 2 = 1 i = i 2 i = ( 1)i = i i 4 = i i = ( i)i = 1 Nótese que para las potecias de i sólo hay cuatro valores distitos: 1, i, 1, i. E geeral para Z se tiee que i 4 = 1 i 4+1 = i (1) i 4+2 = 1 i 4+ = i

4 Ejemplo 4. Muestre que (1 + i) 250 = i. E efecto, (1 + i) 250 = [ (1 + i) 2] 125 = (1 + 2i + i 2 ) 125 = (2i) 125 = i 125 = i, ya que 125 = 4(1) + 1. Defiició 5. Sea z = x + yi C. El cojugado complejo de z, otado como z se defie como z = x iy. Si z, z 1, z 2 C etoces las siguietes propiedades so secillas de verificar: 1. z = z. 2. z 1 + z 2 = z 1 + z 2.. z 1 z 2 = (z 1 ) z z 1 z 2 = z 1 z 2. Como cosecuecia, z 2 = z 2 y e geeral z = z para N. ( ) z1 5. = z 1, siempre que z 2 0. z 2 z 2 6. Re(z) = z + z Im(z) = z z 2i Ejemplo 6 (Raíces cojugadas de poliomios). Muestre que si z 0 es ua raíz del poliomio P (z) = a z + a 1 z a 1 z + a 0 dode todos los coeficietes a 0, a 1,..., a so úmeros reales, etoces z 0 tambié es ua raíz del poliomio P (z). 4

5 Como z 0 es ua raíz de P (z) etoces P (z 0 ) = 0. El objetivo es mostrar que P (z 0 ) = 0. P (z 0 ) = a z 0 + a 1 z a 1 z 0 + a 0 = a z 0 + a 1z a 1 z 0 + a 0 = a z 0 + a 1z a 1 z 0 + a 0 = a z 0 + a 1z a 1 z 0 + a 0 = P (z 0 ) = 0 = 0. Defiició 7. Sea z = x + yi. El módulo, orma o magitud de z se defie como z = x 2 + y 2. Para z, z 1, z 2 C, se tiee las siguietes propiedades: 1. z 0. Además, z = 0 si y sólo si z = z 2 = x 2 + y 2 = z z.. z = z. 4. z 1 + z 2 z 1 + z 2 (Desigualdad triagular). La igualdad se tiee si z 1 = αz 2, co α R. 5. z 1 z 2 = z 1 z z 1 = z 1 z 2, siempre que z 2 0. z 2 7. Re(z) z y Im(z) z. 2. Represetació geométrica A partir de la defiició iicial dada del campo de los úmeros complejos C, este puede ser visto como el producto cartesiao R R. De esta maera, el plao complejo se represeta gráficamete por el plao cartesiao R 2, dode el eje X es asociado al eje real y el eje Y correspode al eje imagiario. 5

6 El úmero complejo z = x + yi es represetado e el plao complejo por el vector co puto iicial e el orige y puto fial e (x, y) (Ver Figura 1). Si z = x + yi etoces z = x 2 + y 2 es precisamete la logitud del vector. E geeral, la distacia etre dos úmeros complejos z 1 y z 2 está dada por z 1 z 2 = z 2 z 1. Eje imagiario y z = x + yi z 0 x Eje real Figura 1: Represetació geométrica de z = x + yi Dado que se puede pesar e u úmero complejo como u vector e R 2, etoces la suma de dos complejos z 1 + z 2 puede hallarse geométricamete como la diagoal del paralelogramo formado por ellos dos (Ver Figura 2). z 2 z 1 + z 2 z 1 0 Figura 2: Suma gráfica de úmeros complejos Alguas regioes especiales del plao complejo puede ser escritas e térmios del módulo. Por ejemplo: 6

7 r r r z 0 z 0 z Figura : Regioes especiales e el plao complejo 1. El cojuto {z C : z z 0 = r} represeta ua circuferecia co cetro e z 0 y radio r. 2. El cojuto {z C : z z 0 < r} represeta u disco abierto cetrado e z 0 y co radio r.. El cojuto {z C : z z 0 r} represeta u disco cerrado co cetro e z 0 y radio r. A cotiuació se preseta alguos ejemplo de otras regioes e el plao complejo. Ejemplo Cosidérese la ecuació geeral z w 1 = z w 2 dode w 1, w 2 C so fijos. Gráficamete esta ecuació represeta el cojuto de putos z que está a la misma distacia de w 1 y de w 2, es decir, los putos que está e la bisectriz perpedicular al segmeto que ue a w 1 co w 2. Por ejemplo, si z + 6i = z 1 + i etoces la ecuació de la recta sobre la cual está los putos z deseados se obtiee como sigue: z + 6i 2 = z 1 + i 2 (z + 6i)(z 6i) = (z 1 + i)(z 1 i) 6i(z z) + 6 = (z + z) i(z z) + tomado z = x + iy se tiee que z + z = 2x y z z = 2iy, etoces 6i(2iy) + 6 = 2x i(2iy) + y = 1 (x + 1) 7

8 1 i 6i y = 1 (x + ) 2. Cosidérese ahora las desigualdades z + 6i < z 1 + i y z + 6i z 1+i. La primera represeta aquellos putos que está más cerca (a meor distacia) de 6i que de 1 i si icluir la recta, mietras que la seguda sí icluye los putos que está sobre la recta. 1 i 1 i 6i 6i Figura 4: Regioes z + 6i < z 1 + i y z + 6i z 1 + i. Forma polar de u úmero complejo Sea z = x + yi u úmero complejo. Al ubicar el vector correspodiete a z e el plao complejo y deotar por r a la magitud de z y por θ al águlo que se forma co el eje real: etoces x = r cos θ y y = r se θ 8

9 z = x + yi r = z y = r se θ 0 θ x = r cos θ y de esta maera la forma polar de z es Si z 0, etoces se tiee las relacioes cos θ = x z, z = r (cos θ + i se θ) (2) se θ = y z y ta θ = y x El águlo θ se deomia argumeto de z y se deota como arg(z). Como las fucioes seo y coseo so periódicas, el argumeto resulta ser ua fució multivaluada, esto es, puede tomar muchos valores. E este caso toma todos los águlos equivaletes a θ: arg(z) = {θ + 2π : Z} Cuado se escoge θ de tal maera que π < arg(z) π, etoces éste águlo se cooce como argumeto pricipal de z y se deota por Arg(z). Ejemplo 9. Ecuetre la forma polar de cada uo de los siguietes úmeros complejos: 1. z = + i. Iicialmete se calcula el módulo de z: r = z = + i = ( ) = 4 = 2. Como se θ = 1 2 y cos θ = 2 etoces θ está e el primer cuadrate y ( ) 1 θ = arcta = 0 = π 6, luego arg(z) = { π 6 + 2π, Z} y así la forma polar de + i es ( ( π ) ( π )) z = 2 cos + i se. 6 6 () 9

10 2. z = 2 + 2i. El módulo de z está dado por r = z = 2 + 2i = ( 2) = 2 2. Dado que se θ = 2 2 = y cos θ = 2 2 = etoces θ está e el segudo cuadrate y ( ) 2 θ = 180 arcta = 180 arcta(1) = = 15 = π 2 4, luego arg(z) = { π 4 + 2π; Z} y de esta maera la forma polar de z = 2 + 2i es z = 2 2 ( cos ( ) π + i se 4 ( )) π. 4. z = 1 i. Se calcula primero el módulo de z: r = z = 1 i = (1) 2 + ( ) 2 = 4 = 2 Ahora bie, se θ = 2 y cos θ = 1 2, etoces θ está e el cuarto cuadrate y ( ) θ = 60 arcta = = 00 = 5π 1, de dode arg(z) = { 5π + 2π, Z}. Si elegimos θ = π etoces la forma polar de z = 1 i es z = 2 ( cos ( π ) i se ( π )). De esta maera, depediedo del cuadrate e el que se ecuetre el águlo θ (hecho que se puede idetificar a partir de los sigos de se θ y cos θ) se puede recurrir a las siguietes fórmulas para determiarlo, tomado siempre x, y > 0, Primer cuadrate Segudo cuadrate Tercer cuadrate Cuarto cuadrate ( y θ = arcta x) ( y θ = 180 arcta x) ( y θ = arcta x) ( y θ = 60 arcta x)

11 .1. Producto y cociete de úmeros complejos e forma polar El producto y el cociete de úmeros complejos puede efectuarse de maera más secilla a partir de la forma polar de los úmeros. Sea z 1 = r 1 (cos θ 1 + i se θ 1 ) y z 2 = r 2 (cos θ 2 + i se θ 2 ), dode r 1 = z 1, r 2 = z 2, θ 1 = arg(z 1 ) y θ 2 = arg(z 2 ). A partir de las fórmulas para el seo y el coseo de ua suma y ua diferecia de águlos, se puede verificar las relacioes: de dode y z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(θ 1 + θ 2 ) + i se(θ 1 + θ 2 )], (4) z 1 = r 1 [cos(θ 1 θ 2 ) + i se(θ 1 θ 2 )], z 2 0, z 2 r 2 arg(z 1 z 2 = arg(z 1 ) + arg(z 2 ) + 2π, Z ( ) z1 arg = arg(z 1 ) arg(z 2 ) + 2π, Z z 2 z 1 z 2 = r 1 r 2 = z 1 z 2 z 1 = r 1 = z 1 r 2 z 2 z 2 De la fórmula (4) y usado u argumeto de iducció se puede demostrar el siguiete resultado otable: Teorema (Teorema de Moivre). Para cada Z, (cos θ + i se θ) = cos(θ) + i se(θ). (5) Ejemplo 11. Calcule ( + i ) 5. Del ejemplo aterior se tiee que la forma polar de + i es [ ( π ) ( π )] z = 2 cos + i se, 6 6 etoces usado el teorema de Moivre co = 5 se tiee que ( ) 5 { [ ( π ) ( π )]} [ ( 5 + i = 2 cos + i se = 2 5 5π cos ) + i se ( )] 5π 6 11

12 4. Raíces de úmeros complejos Sea w u úmero complejo fijo y sea u etero positivo. Las raíces -ésimas de w so, por defiició w 1 := {z C : z = w}, es decir, si z es ua raíz -ésima de w etoces z = w. Si w = w (cos θ + i se θ) y z = z (cos φ + i se φ), etoces a partir del teorema de Moivre y de la relació z = w se sigue que z [cos(φ) + i se(φ)] = w (cos θ + i se θ) de dode cos(φ) = cos θ φ = θ + 2kπ z = w φ = θ + 2kπ y z = w para algú k Z. Por lo tato las raíces -ésimas de w so { [ ( ) ( )] } w 1 = θ + 2kπ θ + 2kπ w cos + i se ; k = 0, 1,..., 1 (6) Nota 1. La igualdad (w m ) 1 = (w 1 ) m es válida si y sólo si y m so primos relativos. Ejemplo 12 (Raíces -ésimas de la uidad). Ecuetre las raíces -ésimas de la uidad y demuestre que su suma es cero. E primer lugar, 1 = 1 (cos 0 + i se 0), etoces de (6) se sigue que ( ) ( ) } kπ 0 + 2kπ = {cos + i se ; k = 0, 1,..., 1 { ( ) ( ) } 2kπ 2kπ = cos + i se ; k = 0, 1,..., 1 Sea ω = cos ( ) ( 2π +i se 2π ), etoces por el teorema de Moivre, las raíces - ésimas de la uidad so 1, ω, ω 2,..., ω 1. Además, 1 + ω + ω ω 1 = ω 1 ω 1 = 0 12

13 ya que ω = 1 y ω 1. Las raíces -ésimas de la uidad so los vértices de u polígoo regular de lados iscrito e la circuferecia uitaria {z C : z = 1}. Por ejemplo, para = 6 las raíces sextas de 1 so 1 = cos 0 + i se 0 ( π ) ( π ) ω = cos + i se ( ) ( ) 2π 2π ω 2 = cos + i se ω = cos (π) + i se (π) ( ) ( ) 4π 4π ω 4 = cos + i se ( ) ( ) 5π 5π ω 5 = cos + i se y gráficamete correspode a los vértices del hexágoo regular ω 2 ω ω 1 ω 4 ω 5 Ejemplo 1. Ecuetre las raíces cuartas de i. E primer lugar, i = 1 [ cos ( ) ( π 2 + i se π )] 2. Etoces de (6) se sigue que ( π i 1 4 = 2 {cos + 2kπ ) ( π 2 + i se + 2kπ ) } ; k = 0, 1, 2, 4 4 { ( π ) ( π ) ( ) ( ) 5π 5π = cos + i se, cos + i se, ( ) ( ) ( ) ( )} 9π 9π 1π 1π cos + i se, cos + i se Ejemplo 14. Resuelva la ecuació z + 4 = 0. Resolver esta ecuació equivale a ecotrar z tal que z = 4, esto es, 1

14 ecotrar las raíces décimas de 4 = 4 (cos π + i se π). De (6) se sigue que { ( 4) [ ( ) ( )] } 1 π + 2kπ π + 2kπ = 4 cos + i se ; k = 0, 1, 2,..., 9 { = [ ( π ( π 4 cos + i se, ) )] [ ( ) ( )] π π 4 cos + i se, [ ( ) ( )] 5π 5π 4 cos + i se, [ ( ) ( )] 7π 7π 4 cos + i se [ ( ) ( )] 9π 9π 4 cos + i se, [ ( ) ( )] 11π 11π 4 cos + i se, [ ( ) ( )] 1π 1π 4 cos + i se, [ ( ) ( )] 15π 15π 4 cos + i se, [ ( ) ( )] 17π 17π 4 cos + i se, [ ( ) ( )]} 19π 19π 4 cos + i se. Además, estas raíces correspode gráficamete a los vértices de u decágoo regular iscrito e la circuferecia {z C; z = 4}. Bibliografía [1] R.V. Churchill, Variable compleja co aplicacioes, McGraw-Hill, New York [2] Peter V. O Neil, Matemáticas avazadas para igeiería, Iteratioal Thomso Editores, S.A. Quita Edició [] W. Alle Smith, Elemetary Complex Variables, Charles E. Merrill Publishig Compay,