DESIGUALDADES CLÁSICAS

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1 DESIGUALDADES CLÁSICAS PARA EL SEMINARIO DE PROBLEMAS (CURSO 017/018) ALBERTO ARENAS 1 Desigualdades etre medias La estrategia más geeral para probar desigualdades es trasformar la desigualdad a la que os efretamos e ua cua veracidad sepamos de atemao Por ejemplo, sabemos que el área de u cuadrado es siempre o egativa; e realidad para cualquier úmero real se tiee que 0, cumpliédose la igualdad si solo si = 0 Supogamos etoces que queremos probar la desigualdad (1) ab a + b para a b úmeros reales Si la reordeamos obteemos la desigualdad equivalete ab a + b 0 a + b ab = (a b), que sabemos es cierta Por supuesto la igualdad se cumple si solo si a b = 0, es decir, a = b (a - b) a - b b a Figura 1 Represetació geométrica de como el área de u cuadrado de lado A la derecha ua represetació geométrica de la bie coocida idetidad otable (a b) = a + b ab El problema reside e que a veces el úmero de pasos para trasformar uestra desigualdad e ua del tipo 0 es mu grade Por eso es ormal utilizar las desigualdades equivaletes que veremos a cotiuació 1

2 SEMINARIO DE PROBLEMAS PARA ESTUDIANTES DE ESO Y BACHILLERATO Desigualdad GM-AM Tomado a = b =, co e o egativos, e la desigualdad (1) obteemos + +, dádose la igualdad si solo si = La parte de la izquierda es la media geométrica de los úmeros e, mietras que la parte de la derecha es la media aritmética de e Por eso, a la aterior desigualdad se la cooce como desigualdad etre la media geométrica la media aritmética, o simplemete desigualdad GM-AM por sus siglas e iglés: geometric mea arithmetic mea E realidad la desigualdad GM-AM es cierta para cualesquiera úmeros 1,, reales o egativos viee dada por , cumpliédose la igualdad si solo si 1 = = Ejemplo 11 De todos los ortoedros de área A fija, el cubo es el de maor volume Sea a, b c la achura, altura profudidad, respectivamete, de u ortoedro co área A volume V Es claro que A = (ab + bc + ac) V = abc Utilizado la desigualdad GM-AM co 1 = a, = b 3 = c obteemos A = 6 3 (ab + bc + ac) 6(a b c ) 1/3 = 6V /3 V ( A 6 ) 3/ La hipótesis de que el área A es fija sigifica que la catidad (A/6) 3/ tambié lo es; este detalle es importate porque os permite asegurar que el volume será el maor cuado se cumpla la igualdad Como e la desigualdad GM-AM la igualdad se produce si solo si 1 = = 3, esto os lleva a que ab = bc = ac, es decir, a = b = c Por eso el maor volume se alcaza cuado el ortoedro es u cubo Desigualdad HM-GM A partir de la desigualdad GM-AM podemos obteer otra desigualdad bie coocida Supogamos que e so dos úmeros reales positivos, etoces , cumpliédose la igualdad si solo si = La parte de la izquierda es la media armóica de los úmeros e, razó por la cual a la desigualdad aterior se la cooce como desigualdad etre la media armóica la media geométrica, o simplemete desigualdad HM-GM e iglés la media armóica es harmoic mea E este caso tambié se tiee que la

3 DESIGUALDADES CLÁSICAS 3 desigualdad HM-GM es cierta para cualesquiera úmeros 1,, positivos viee dada por , cumpliédose la igualdad si solo si 1 = = Ejemplo 1 Sea a, b c úmeros reales positivos tales que a + b + c = Probar ab (a + c)(b + c) + bc (a + b)(a + c) + Utilizado la desigualdad HM-GM teemos que (a + c)(b + c) a + c = b + c 1 ab ab ab ab ab Aálogamete ( 1 bc a + b + bc ) a + c a+c b+c bc (a + c)(b + c) ac (a + b)(b + c) 1 ( ab a + c + ( 1 ac a + b + ab ) b + c ac ) b + c Por comodidad a la hora de escribir deotamos por f(a, b, c) la suma f(a, b, c) = ab (a + c)(b + c) + bc (a + b)(a + c) + ab (a + c)(b + c) ac (a + b)((b + c)) ac (a + b)(b + c) El resultado se sigue de sumar estas tres desigualdades que acabamos de obteer teiedo e cueta que a + b + c =, f(a, b, c) 1 ( ab a + c + ab b + c + bc a + b + bc a + c + ac a + b + ac ) b + c = 1 ( ab + ac ab + bc + b + c a + c + bc + ac ) = a + b + c = 1 a + b Desigualdad AM-QM La última de las desigualdades de este apartado la vamos a obteer tomado a = b =, co e reales o egativos, e la desigualdad (1) De este modo + ( + ) ( + ) + + cumpliédose la igualdad si solo si = La parte de la derecha es la media cuadrática de los úmeros e, por lo que a esta desigualdad se la cooce como desigualdad etre la media aritmética la media cuadrática, o simplemete desigualdad AM-QM por el

4 4 SEMINARIO DE PROBLEMAS PARA ESTUDIANTES DE ESO Y BACHILLERATO térmio quadratic mea e iglés para la media cuadrática La desigualdad AM- QM es cierta para cualesquiera úmeros 1,, reales viee dada por cumpliédose la igualdad si solo si 1 = = No es ecesario para que se cumpla la desigualdad, pero es usual supoer que todos los úmeros so positivos Ejemplo 13 Si a b so dos úmeros reales o egativos tales que a + b 1, etoces a 4 + b 4 1/8 Vamos a utilizar la desigualdad AM-QM para dos úmeros positivos e ua versió u poco distita A partir de la que a coocemos teemos la desigualdad + + ( + ) + ( + ) +, 4 que es equivalete; e el caso = a e = b obteemos a 4 + b 4 1 (a + b ), volviedo a utilizar la AM-QM detro del cuadrado co = a e = b a 4 + b 4 1 ( ) (a + b) = 1 8 (a + b)4 1 8, dode e la última desigualdad hemos utilizado la hipótesis a + b 1 Las tres desigualdades que acabamos de ver se deomia desigualdades de medias Las cuatro medias que hemos visto para 1,, reales positivos se relacioa mediate la siguiete cadea de desigualdades E la figura puedes ver ua represetació geométrica de cada ua de estas medias para dos úmeros positivos e, comprobar visualmete la aterior cadea de desigualdades E geeral para r positivo se defie la media de orde r por Se cumple la desigualdad r M r ( 1,, ) = r r M r ( 1,, ) M s ( 1,, ) si r s

5 DESIGUALDADES CLÁSICAS 5 AM HM QM GM Figura Las distitas medias para dos úmeros positivos e : e mageta la media armóica, e azul la media geométrica, e rojo la media aritmética e verde la media cuadrática Ejemplo 14 Sea dos velocidades v 1 v distitas, cómo se viaja más rápido etre dos putos, edo la mitad de la distacia a velocidad v 1 la otra mitad a v, o edo la mitad del tiempo a velocidad v 1 la otra mitad a v? Sea d la distacia etre los dos putos t el tiempo ivertido e ir desde uo hasta el otro Como sabes la velocidad es el cociete de la distacia recorrida etre el tiempo empleado, así v 1 = d 1 /t 1 v = d /t co d = d 1 + d t = t 1 + t El primer caso se correspode co distacias d 1 = d = d/ tiempos t 1 = d/(v 1 ) t = d/(v ) Por tato, la velocidad media e el recorrido desde A hasta B e el primer caso es v I = d ( ) = d 1 v v 1 v 1 + 1, v es decir, la media armóica de las velocidades v 1 v E el segudo caso las distacias so d 1 = tv 1 / d = tv /, los tiempos t 1 = t = t/ De este modo, la velocidad media e el recorrido completo es v II = t (v 1 + v ) t = v 1 + v, es decir, la media aritmética de las velocidades v 1 v Por la desigualdad HM-AM, la velocidad v I e el primer caso es meor igual o puede ser a que v 1 v so distitas que la velocidad v II e el segudo caso, por tato, se viaja más rápido edo la mitad de tiempo a ua de las velocidades la otra mitad a la otra

6 6 SEMINARIO DE PROBLEMAS PARA ESTUDIANTES DE ESO Y BACHILLERATO La desigualdad triagular Uo de los problemas geométricos más secillos de resolver e el dibujo técico es la costrucció de u triágulo ABC dados como datos sus tres lados a, b c La resolució cosiste básicamete e fijar uo de los lados; por ejemplo el lado a, co vértices B C, hallar la localizació del tercer vértice C como itersecció de dos circuferecias: ua co cetro e B radio c, la otra co cetro e C radio b Pero, siempre se corta las dos circuferecias? c A b c b B a C B a C Figura 3 Costrucció de u triágulo dados sus lados a, b c Si algua de las desigualdades triagulares a < b + c, b < a + c o c < a + b o se cumple, etoces es imposible costruir el triágulo Fijádoos e la figura 3, vemos que ua vez dibujada la circuferecia de cetro B radio c, para que la otra circuferecia la corte debe cumplirse que a b c, es decir, a b + c E el caso a = b + c el tercer vértice A está sobre el lado a lo que se obtiee u triágulo degeerado e u segmeto Este razoamieto se puede hacer eactamete del mismo modo si e lugar de fijar e primer lugar el lado a fijamos los lados b o c, obteiedo b a+c c a+b respectivamete Por tato, Si las logitudes de los lados de u triágulo so a, b c, etoces a b + c, b a + c c a + b, Ejemplo 1 Sea a, b c los lados de u triágulo Probar a +b +c (ab+ac+bc) A partir de las desigualdades triagulares teemos que a b + c a b c a + b ab c, de maera aáloga b + c bc a a + c ac b Sumado estas tres desigualdades obteemos el resultado deseado (a + b + c ab + bc + ac) a + b + c a + b + c (ab + bc + ac)

7 DESIGUALDADES CLÁSICAS 7 Pesemos ahora e dos úmeros reales e cualesquiera Como puedes ver e la figura 4, la desigualdad es equivalete a la cadea de desigualdades Por otra parte, es claro que ; sumado estas dos cadeas obteemos ( + ) + + que, como acabamos de decir, es equivalete a la desigualdad + +, cumpliédose la igualdad si solo si e tiee el mismo sigo Aplicado esta desigualdad sucesivamete, es fácil obteer la desigualdad triagular para úmeros reales cualesquiera , cumpliédose la igualdad si solo si 1,, so liealmete depedietes, es decir, 1 = λ + + λ co λ,, λ = - 0 -= Figura 4 La desigualdad es equivalete a la cadea de desigualdades Desigualdad triagular iversa Sea e dos úmeros reales cualesquiera, etoces se cumple + Esta desigualdad triagular iversa es equivalete a la cadea de desigualdades + +, por lo que bastaría probar cada ua de estas desigualdades Pero esto se sigue fácilmete de la desigualdad triagular, a que = = Ejemplo Probar la desigualdad ( 1 + ) + ( 1 + ) , dode 1,, 1 e so úmeros reales Cuádo se cumple la igualdad?

8 8 SEMINARIO DE PROBLEMAS PARA ESTUDIANTES DE ESO Y BACHILLERATO E el plao (, ) cosideramos el triágulo que forma los putos O = (0, 0), A = ( 1, 1 ) C = ( 1 +, 1 + ) La desigualdad que queremos probar o es más que la desigualdad triagular OC OA + AC La igualdad se cumple si solo si 1 = λ e 1 = λ co λ real 3 La desigualdad de Cauch-Schwarz Ocurre muchas veces e matemáticas que u resultado elemetal tiee cosecuecias difíciles de imagiar de atemao Por ejemplo, sabemos que las solucioes de la ecuació cuadrática at + bt + c = 0, co a > 0, viee dadas por las recoocidas fórmulas t 1 = b + b 4ac a t = b b 4ac a Depediedo de si b 4ac es positivo, ulo, o egativo, la ecuació tiee dos solucioes reales, ua solució real doble, o igua, respectivamete Para ver esto observa que si b 4ac = 0 etoces t 1 t coicide, mietras que si b 4ac < 0 etoces tato t 1 como t so úmeros complejos Geométricamete, el poliomio = at + bt + c se correspode co ua parábola e el plao (t, ) E la figura 5 puedes ver represetadas las tres situacioes que acabamos de cometar Observa que el caso b 4ac > 0 es el úico e el que la parábola tiee putos por debajo del eje de abscisas; es decir: Sea a > 0; la desigualdad at + bt + c 0 es cierta para todo t real si solo si b 4ac 0, cumpliédose la igualdad e el puto t = b/(a) si solo si b 4ac = 0 b - 4 ac > 0 b - 4 ac 0 b - 4 ac < 0 t1 t t1 t Figura 5 Represetació geométrica de la raíces de u poliomio de segudo grado at + bt + c, co a positivo Cada ua de las tres imágees se correspode co los distitos casos de eistecia de dos, ua o igua raíz Pesemos ahora e la siguiete suma de cuadrados ( 1 t + 1 ) + + ( t + ), dode t es u úmero real, 1,, úmeros reales o todos ulos e 1,, úmeros reales cualesquiera Ya sabemos que la suma es o egativa, si desarrollamos cada uo

9 de los cuadrados obteemos 0 ( 1 t + 1 ) + + ( t + ) DESIGUALDADES CLÁSICAS 9 = 1t t + + t + + t = ( )t + ( )t , es decir, ua desigualdad del tipo at + bt + c 0 co a = 1 +, b = ( ), c = Así que, como hemos visto, esta desigualdad implica que la desigualdad b 4ac 0, que e uestro caso es ( ) ( )( ) 0, tambié es cierta La desigualdad que hemos obteido suele suele reescribirse como ( ) ( )( ), se deomia desigualdad de Cauch-Schwarz La igualdad se cumple si solo si i = λ i, co λ real, para todo i = 1,, Ejemplo 31 Sea a 1,, a úmeros reales positivos tales que a 1 + +a = 1, etoces ( 1 (a a ) ) a 1 a Lo primero que vamos a hacer es reescribir la parte de la izquierda de maera que podamos utilizar la desigualdad de Cauch-Schwarz Teiedo e cueta que la igualdad (a a ) 1 = = , ( ) ( 1 = a 1 a ) ( 1 (a a ) + 1 ) a 1 a es evidete Si aplicamos la desigualdad de Cauch-Schwarz co j = 1/ e j = a j, obteemos ( 1 (a a ) ) ( a1 + + a ) ( ) a 1 a a 1 a = 1 ( 1 (a a ) ), a 1 a aplicado otra vez la desigualdad de Cauch-Schwarz, esta vez co j = a j e j = 1/ a j, llegamos a que (a a ) ( ) a 1 a 1 (a a )( ) = (a a )

10 10 SEMINARIO DE PROBLEMAS PARA ESTUDIANTES DE ESO Y BACHILLERATO Ejemplo 3 Para a b úmeros reales positivos, cuál es el máimo valor de a si α + b cos α para 0 < α < π/? Para qué valores de a b se alcaza dicho máimo? Teiedo e cueta que a si α + b cos α = a si α + b cos α = (a si α + b cos α) aplicado la desigualdad de Cauch-Schwarz e el radicado co 1 = a, = b, 1 = si α e = cos α obteemos a si α + b cos α (a + b )(si α + cos α) = a + b La igualdad se se cumple si a = t si α b = t cos α Despejado t teemos t = si α = cos α, a b lo que implica que el máimo se alcaza cuado a b cumple la relació ta α = a/b Etra: desigualdad de reordeamieto Sea las sucesioes 1,, e 1,, de úmeros reales positivos, ordeadas de tal forma que o bie 1 e 1, o bie 1 e 1 Sea además z 1,, z u reordeamieto de los úmeros 1,,, etoces se cumple la desigualdad de reordeamieto z z Ejemplo 33 Sea a, b c úmeros reales positivos Probar a 3 + b 3 + c 3 a b + b c + c a Supogamos si pérdida de geeralidad que a b c, por lo que a b c Por la desigualdad de reordeamieto, tomado 1 = a, = b 3 = c e 1 = a, = b e 3 = c teemos a 3 + b 3 + c 3 a z 1 + b z + c z 3, co z 1, z, z 3 cualquier reordeació de a, b, c Eligiedo la reordeació z 1 = b, z = c z 3 = a obteemos la desigualdad deseada