Marco Teórico n = i = 2. Deducción: Si la serie se suma dos veces de la siguiente forma:

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1 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Teoría de Cojutos Estudiate: Roald Oliverio Chubay Gallia -6 de mayo 0- Marco Teórico Para el presete texto se deduce alguas expresioes y luego se demuestra, para otras se demuestra, para ello se preseta térmios importates. Serie: cosiste e ua sucesió de sumas parciales hasta u -ésimo térmio, alguas tiee ua solució que puede ser deducida utilizado propiedades, alguos ejemplos so: = i = ( + ) Deducció: Si la serie se suma dos veces de la siguiete forma: S = S = S = veces el factor ( + ) Despejado se llega a la defiició mostrada, así mismo muchas otras puede ser deducida, se muestra las siguietes para utilizarlas e la deducció de los ejercicios. i = i + ( + ) 6 = ( + )

2 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Teoría de Cojutos a + ar + ar. ar = Coocida como serie geométrica dode: Luego: i=0 ar i = ar+ a r S = a + ar + ar + ar + ar rs = ar + ar + ar + ar + ar + rs S = ar + a Al despejar se obtiee la ecuació la suma hasta el -ésimo térmio. Iducció matemática: Es u razoamieto que permite demostrar proposicioes que se cumple para u cojuto de úmeros aturales o eteros, la iducció fue propuesta por Peao al dar a coocer los axiomas que defie los úmeros aturales, coocido como axioma de iducció, se procede de la siguiete forma: (i) Caso base, se verifica que la proposició se cumple para u úmero determiado. (ii) Hipótesis de iducció, se asume que se cumple para el úmero. (iii) Demostració, se demuestra que la propiedad se cumple para el sucesor de (+), etoces se cumple para todos los valores siguietes del caso base. Reducció al absurdo: Técica de demostració dode dada ua proposició se asume ua proposició cotraria y se iteta demostrar esta proposició cotraria, si coduce a algo cotradictorio implica que la proposició cotraria o es cierta, por lo tato la proposició origial si lo es, demostrado su veracidad o falsedad. Cojuto: Se deomia cojuto a la agrupació, colecció de objetos siempre que cumpla co propiedades p(x) para estar detro, así para los elemetos que haga verdadera la propiedad p(x) se dice que estos elemetos perteece al cojuto. Ejemplo: D = x =, dode Z > 0 x Así los elemetos que hace que la propiedad o propiedades p(x) para el cojuto D so: Roald Oliverio Chubay Gallia. Ryr.g9@gmail.com

3 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Teoría de Cojutos Coocido como úmeros pares. D =, 4, 6,, 0. Se dice que: A B cuado todos los elemetos de A se ecuetra e B. A B implica que si A B implica que A B implica que A B implica que x A x B x A x B x A x B x A x B A c implica que si x A c x A Demostracioes a = 4 Primero se trata de deducir la proposició = i 5 = i 5 = ( + ) 5 = = 4 Segudo se demuestra que es cierta para los aturales. Por iducció se tiee: (i) Caso base, verificar para = la suma vale. (ii) Hipótesis, se asume que es cierta para = (iii) Demostració, =+ 4() = = 4 = i = i 5 = i = = = = = 4( + ) ( + ) Roald Oliverio Chubay Gallia. Ryr.g9@gmail.com

4 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Teoría de Cojutos Co lo cual queda demostrado que el siguiete tambié es cierto, por lo que la proposició se cumple para todos los aturales. b. i = + = + + Se utiliza la defiició de geométrica, observado que el límite iferior es y o 0. i=0 ar i = ar+ a r = i i=0 = + = i + S 0 Puesto que la suma desde 0 es igual a la suma desde u úmero i (iicial) + todos los ateriores. i Demostració: = i S 0 = + 0+ = + = + i=0 (i) Para = la suma vale. + = (ii) + = i (iii) Demostració: + i = = i = = + = + c.! +! +!! = +! Se observa la suma de los primeros térmios. S =! =, S = +! = + 4 = 5, S = 5 +! = = 5 + = Se puede otar que la suma hasta = es!-, luego la suma hasta = es 6!-, es decir, e geeral las suma hasta el -ésimo térmio es el factorial del siguiete meos. Demostració: (i) +! =! = = (ii)! +! +!! = +! = (iii) Demostració: i i! +! +! +!! + + +! = i i! Roald Oliverio Chubay Gallia. Ryr.g9@gmail.com

5 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Teoría de Cojutos + i i! = i i! + + +! = +! + + +! = +! + + = +! + De la defiició de factorial:! =! ( + )! = +! ( + ) Etoces: +! + = +! Co lo que queda demostrado que la proposició es cierta para los siguietes úmeros. d. (i ) Deducimos al operar y expadir. Demostració: = = + +. = + 4 (i ) = (i i + 6i ) = = 4 = ( ) (i) La suma es para = (ii) (i ) = ( ) (iii) Demostració + = (i ) = (i ) + + ) = + + = = = = = = = + + Lo cual demuestra que es cierta la proposició. e.! +! + 4!.. + +! = +! Al observar las sumas parciales se tiee. S =, S = + 6 = 5 6, S = = 4. S = +! +! Roald Oliverio Chubay Gallia. Ryr.g9@gmail.com

6 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Teoría de Cojutos Demostració: (i) S = +! +! (ii) S = +! (iii) S + = S + + +! = S = +! = = S + = S + = + +! + + +! = +! + + +! ! + = + +! + = +! h. La siguiete es ua serie coocida como telescópica y se trabaja co fraccioes parciales. Al desarrollarla como fraccioes parciales se obtiee: i i + = ( ) ( + ) i i + = + ( ) ( + ) = = ( ) ( + ) De la expasió aterior se va elimiado por pares quedado solo el primer y último térmio. Demostració: (i) Para = (ii) (iii) S + = S + = + i i + = + = + =, () + = S = i i + = S S + = i i + = + ( + ) ( + ) + = = = + + = + ( + ) + g. Demuestre que es divisible etre Roald Oliverio Chubay Gallia. Ryr.g9@gmail.com

7 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Teoría de Cojutos Demostramos por iducció (i) = Divisible etre. () = (ii) Asumimos que el cociete es u poliomio y para valores de obteemos úmeros aturales = P = P() (iii) El siguiete debería ser u poliomio tambié, teemos que demostrar que lo es (recuerde que u poliomio solo tiee expoetes aturales, por lo que a cualquier valor de se obtiee úmeros eteros. ( + ) + 5( + ) + 6 = H ( + ) + 5( + ) + 6 = H() H = = H = = H = P() Puesto que P() es u poliomio, H() tambié lo es, por lo tato es divisible e. h. Demostrar que 4 es divisible por. (i) 4 =, etoces se divide por. (ii) Asumimos 4 = P() (iii) Luego el siguiete debería ser tambié u etero. 4 + Por lo que es divisible por. = H = = = = 4P + i. Demostrar que + Recordemos las propiedades de las desigualdades, si sumamos o restamos u mismo úmero de ambos lados la proposició o se altera, al igual que cuado se multiplica úmeros aturales. (i) + (ii) + (iii) Para este tipo de demostració vamos a partir de la hipótesis para llegar al térmio siguiete. + al multiplicar ambos lados por se obtiee: Luego como el lado derecho es meor, al restarle algo va a seguir siedo meor todavía Roald Oliverio Chubay Gallia. Ryr.g9@gmail.com

8 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Teoría de Cojutos j. divide a 5 (i) 5 = 4 divide a. (ii) 5 (iii) 5(+) = P() 5 (+) = H() = H = es divisible por 9. = 5 5 = (i) = = = 07 divisible e 9. (ii) = 9P (iii) = 9H = 9H = = P x + 5 9H = H = H = 9P H = P l. Se preseta productorias o producto (similar a la sumatoria solo que se multiplica los térmios) Los productos parciales so: Demostració: (i) P = + = (ii) P = + i + = + P = + =, P = i + + = + + = + + = P = + (iii) P + = P + P + = P + = P + + = = + Roald Oliverio Chubay Gallia. Ryr.g9@gmail.com

9 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Teoría de Cojutos m. d dx x = x Sabiedo que la regla del producto es: d dx fg = f d dx g + g d dx f y que d dx x = (i) d dx x = x = (ii) d dx x = x (iii) d dx x+ d dx x+ = d dx x x = x d dx x + x d dx x d dx x+ = x x + x = x x + x = x + x = ( + )x. <! para todo 6 E este caso os da u valor dode empieza a cumplirse, puesto que para =5 o se cumple. 5 < 5! 5 < 0 o es cierto. 6 < 6! 6 < 70 si es cierto. Demostració: (i) Ya se dio el caso base. (ii) <! (iii) Partiedo de la hipótesis. Demostramos primero que + + <! + <! + <! <! Lo cual es cierto para todos los superiores a y por la defiició aterior tambié al 6. Etoces + + <! para todo 6 <! <! <! +! + <! + + < +! o. > para toda mayor a 4 (i) 5 > 5 > 5 (ii) > (iii) Partiedo de la premisa. > + para > 4 Roald Oliverio Chubay Gallia. Ryr.g9@gmail.com

10 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Teoría de Cojutos Puesto que para el siguiete el lado izquierdo tiee u aumeto de y el derecho de, esto es. + > > + + Para valores superiores a es cierta, por lo tato para valores superiores a 4 tambié. Etoces: p. i= i i = + para todo i= i i Los primeros productos parciales da: Demostració: (i) P = + = 4 (ii) P = + (iii)p + = > + > > ( + ) = P = = 4, P = 4 i (+) i= i + P + = P ( + ) + = + P + = + ( + ) + = = = 4 6 P = + ( + ) + = + + = + + q. A c A = Utilizado la reducció al absurdo. Negamos la proposició dada y decimos: A c A Co esto os referimos a que existe al meos u elemeto detro de la operació, etoces: x A c A x x A c A x x A c x A x x A x A E este puto se ecuetra la cotradicció, puesto que u elemeto x o perteece o o perteece, pero o puede cumplir ambas, dado que cotradice la proposició A c A llegamos a la coclusió que esta proposició es falsa, si es falsa por lo tato la iicial es verdadera. Por lo tato: A c A = Roald Oliverio Chubay Gallia. Ryr.g9@gmail.com

11 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Teoría de Cojutos r. Demostrar que se cumple la igualdad A B c = A c B c Para esta demostració utilizamos ua técica llamada doble coteció, que cosiste e demostrar que el lado izquierdo está coteido e el lado derecho y el derecho e el izquierdo para demostrar así que ecesariamete so iguales si se cumple las dos codicioes. Esto es: Si A B c A c B c y () Demostrado primero: A c B c A B c etoces A B c = A c B c A B c A c B c Sea x A B c x A B x A x B x A c x B c x (A c B c ) A B c A c B c Co lo que se demuestra que es cierta para toda x, ote que si x o perteece a la uió o perteece a A y a B simultáeamete. () Demostrado la otra coteció: A c B c A B c Sea x A c B c x A c x B c x A x B x A B x A B c A c B c A B c Lo que demuestra la seguda coteció. Como ambas so ciertas se deduce que por () y (). A B c = A c B c Roald Oliverio Chubay Gallia. Ryr.g9@gmail.com

12 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Teoría de Cojutos «Duda que las estrellas arda, duda que el sol se mueva, cosidera toda verdad sospechosa, pero jamás dudes de mi amor. Oh, amada Ofelia! Yo o sé escribir poemas, i tego taleto para expresar las cogojas de amor, pero cree que te quiero más que a adie e este mudo, créelo y adiós. Mi amadísima señora, mietras siga prisioero e este mísero cuerpo será siempre tuyo Hamlet» Carta escrita a Ofelia de parte de Hamlet, Escea VI. -Hamlet- Shaespeare Roald Oliverio Chubay Gallia. Ryr.g9@gmail.com