Álgebra I Práctica 2 - Números Naturales e Inducción

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Mariano Rojas Ferreyra
hace 6 años
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1 FCEyN - UBA - Verao 07 Sumatoria Álgebra I Práctica - Números Naturales e Iducció. Reescribir cada ua de las siguietes sumas usado el símbolo de sumatoria: (a) (b) (c) + ( 4) ( 6) ( 44) (d) (e) ( + ) (f) i Reescribir cada uo de los siguietes productos usado el símbolo de productoria y/o de factorial: (a) (b) (c) Escribir los dos primeros y los dos últimos térmios de cada ua de las siguietes expresioes: (i 5) i i=6 i= i(i + ) ii + i i i v) + i i 3 ( + ) 3. Probar que para todo N se tiee i = de cuadraditos sombreados del siguiete diagrama: cotado de dos maeras la catidad i Deducir que, para todo N, = ( + ). 4. Calcular (e fució de ) las siguietes sumas: Iducció (4i + ) i (i 5) i=6 5. Probar que para todo N se tiee (i ) = : cotado de dos maeras la catidad total de cuadraditos del diagrama

2 Álgebra I Práctica Págia i usado el ejercicio 3, ii usado el pricipio de iducció. 6. (Suma de cuadrados y de cubos) Probar que para todo N se tiee i = ( + )( + ), i 6 i 3 = ( + ). 4 ( 7. Sea a, b R. Probar que para todo N, a b = (a b) a i b ). i Deducir la fórmula de la suma geométrica: para todo a, 8. Sea q R, q. Calcular las siguietes sumas: a i = a+ a. q i i q i ii q i i= ( q i 9. Probar que para todo N se tiee i ii ( ) i+ i = ( )+ ( + ), 4i = + +, (i + ) 3 i = 3, v) i i (i + )(i + ) = + +, + i i 3 = ( ). 0. Sea (a ) N ua sucesió de úmeros reales. Probar que i Calcular ii Calcular Calcular i(i + ). (Sugerecia: i(i + ) = i i + ) (a i+ a i ) = a + a. (i )(i + ). (Sugerecia: calcular i i + ) i (i + )!. FCEyN - UBA - Verao 07

3 Álgebra I Práctica Págia 3. Probar que las siguietes desigualdades so verdaderas para todo N: < i ii i= i i i > v)! 3 v i! ( ) vi < 4 ( ) vii. Sea a R, a. Probar que, N, ( + a) + a. E qué paso de la demostració se usa que a? 3. Probar que! 3, 5, i 3 > 3, 4, ii 3 i i! < 6 5, 3, ( ) >, Probar que para todo 3 se tiee que Recurrecia la catidad de diagoales de u polígoo covexo de lados es ( 3), i la suma de los águlos iteriores de u polígoo covexo de lados es ( )π. 5. Sea (a ) N la sucesió de úmeros reales defiida recursivamete por Probar que a = + 3. a = 5, a + = 3a, N. i Sea (a ) N la sucesió de úmeros reales defiida recursivamete por Probar que a =!. a =, a + = a + +!, N. ii Sea (a ) N la sucesió de úmeros reales defiida recursivamete por Probar que a = ( ). a = 0, a + = a + (3 + ), N. Sea (a ) N la sucesió de úmeros reales defiida recursivamete por a =, ()! a + = 4a ( + )!!, N. ( ) Probar que a =. 6. Hallar ua fórmula para el térmio geeral de las sucesioes (a ) N defiidas a cotiuació y a =, a + = ( + a ), N. i a = 3, a + = a + 3, N. ii a =, a + = a, N. a =, a + = a, N. FCEyN - UBA - Verao 07

4 Álgebra I Práctica Págia 4 7. Hallar ua fórmula para el térmio geeral de las sucesioes (a ) N defiidas a cotiuació y a =, a + = a + ( + ) 3, N. i a =, a + = a + ( ) +, N. ii a = 3, a + = a + ( + )3, N. (Sugerecia: usar los Ejercicios 0(, 6 y 9.) 8. Sea (a ) N la sucesió defiida por a =, a + = a +!, N. Probar que a =!, y, aplicado el Ej. 0(, calcular i Sea (a ) N la sucesió defiida por i i!. a =, a + = a , N. Probar que a = 3, y, aplicado el Ej. 0(, calcular de otra maera i (c.f. Ej. 6). 9. Hallar ua fórmula para el térmio geeral de las sucesioes (a ) N defiidas a cotiuació y a =, a =, a + = a + + ( + )a, N. i a =, a = 4, a + = 4 a + + a, N. ii a =, a = 3, a + = a + + a , N. { a + 3 si es impar, a = 3, a = 6, a + = a + + a + 9 si es par. 0. Hallar ua fórmula para el térmio geeral de las sucesioes (a ) N0 defiidas a cotiuació y a 0 =, a = 3, a + = 4 a + 3 a, N 0. i a 0 =, a =, a + = 4 a + 3 a, N 0. ii a 0 =, a = 4, a + = 4 a + 3 a, N 0. a 0 =, a = 3, a + = 6 a + 9 a, N 0. v) a 0 = 0, a = 3, a + = 6 a + 9 a, N 0. v a 0 =, a = 0, a + = 6 a + 9 a, N 0.. Sea (a ) N la sucesió defiida por a =, a = 3, a + = a + + 5a, N. Probar que a < + 3 para todo N. i Sea (a ) N la sucesió defiida por a =, a = 3, a + = a a, N. Probar que a > + 3 para todo 4. FCEyN - UBA - Verao 07

5 Álgebra I Práctica Págia 5. Hallar ua fórmula para el térmio geeral de las sucesioes (a ) N defiidas a cotiuació y a =, a + = + i a =, a + = ii a =, a + = i a i, N. ( a i ), N. a i + ( + ), N. 3. Sea (a ) N la sucesió defiida por Probar que a i Probar que a > 3 a =, a + = + + a, N. ( ) para todo N. ( ) para todo Sea (F ) N0 la sucesió de Fiboacci, defiida por F 0 = 0, F =, F + = F + F, N. Probar que para todo N se tiee F i+ = F, i Fi = F F +, ii F F + F = ( ), { F = F + F F = F (F + F ), v) F +m = F m+ F + F F m m 0, [( v F = + ) ( 5 ) ] Para cada N, hallar la catidad de maeras de cubrir u tablero de usado fichas de domió, cada ua de las cuales cubre exactamete dos casillas del tablero. (Las fichas se puede colocar e posició horizotal o vertical.) 6. Probar que todo úmero atural se puede escribir como suma de potecias de distitas, icluyedo 0 =. (Sugerecia: cosiderar la mayor potecia de meor o igual que.) Probar además, que dicha escritura es úica. 7. Sea (F ) N0 la sucesió de Fiboacci. Probar que todo úmero atural m se puede escribir como suma de k úmeros de Fiboacci m = F F k para cierto k N, co subídices,..., k mayores que y i + < i+, i < k. Es decir, todo úmero atural puede escribirse como suma de distitos térmios o ulos de la sucesió de Fiboacci si usar dos cosecutivos. Probar además, que dicha escritura es úica. FCEyN - UBA - Verao 07

6 Álgebra I Práctica Págia 6 Problemas surtidos 8. Probar que para todo 6 es posible dividir u cuadrado e cuadrados más pequeños. Sugerecia: Probar que si vale para, vale para Probar que las siguietes desigualdades so verdaderas para todo N: < i < 3 Sugerecia: Itetar probar ua desigualdad más fuerte por iducció. 30. Defiimos la media aritmética de úmeros reales positivos a,..., a como y la media geométrica como MA (a,..., a ) = a a MG (a,..., a ) = a... a El objetivo de este ejercicio es demostrar la desigualdad aritmético-geométrica que afirma que MG (a,..., a ) MA (a,..., a ) y la igualdad sólo se da cuado a = a =... = a. Probarla para =, es decir a a a+a y si a a = a+a etoces a = a. i Probar que si vale para, tambié vale para. ii Probar que si vale para, tambié vale para. Cocluir que vale para todo N. 3. Sea A,..., A cojutos fiitos. Probar el pricipio de iclusió-exclusió, que afirma que ( ) ( ) # A i = ( ) #I+ # A i =I {,...,} dode la suma recorre todos los subcojutos o vacíos de,...,. i I FCEyN - UBA - Verao 07

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