EVALUACIÓN DE BACHILLERATO PARA EL ACCESO A LA UNIVERSIDAD 207 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES. JUNIO 2017

Transcripción

1 EBAU Juio 07 Matemáticas aplicadas a las ciecias sociales e Murcia EVALUACIÓN DE BACHILLERATO PARA EL ACCESO A LA UNIVERSIDAD 07 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES. JUNIO 07 OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumo deberá elegir ua opció A o B y respoder a todas las cuestioes de esa de opció. Nuca podrá mezclar cuestioes de la opció A co cuestioes de la opció B. E cada cuestió se idica su putuació. Solo se podrá usar las tablas estadísticas que se adjuta. No se podrá usar calculadoras gráficas i programables. OPCIÓN A CUESTIÓN A. Dadas las matrices a) Calcular A t. (0,5 putos) b) Calcular A B. (0,75 putos) 3 A y B 0 0. a c) Hallar la matriz X c idetidad. ( putos) b d que cumple A B X = C + I dode C 0 e I es la matriz CUESTIÓN A. El volume de agua (e milloes de litros) almaceado e u embalse a lo largo de u periodo de años e fució del tiempo t (e años) viee dado por la fució Calcular: f t t t t t 3 ( ) a) La catidad de agua almaceada e el último año (t = ). (0,5 putos) b) El año del periodo e el que el volume almaceado fue máximo. (,5 putos) c) El volume máximo que tuvo el embalse a lo largo de ese periodo. (0,5 putos) CUESTIÓN A3. Calcular las siguietes itegrales: x x dx. (0,75 putos) a) 3 b) x dx. (0,75 putos) CUESTIÓN A4. Ua ura cotiee tres bolas umeradas del al 3. Se extrae sucesivamete las tres bolas. a) Calcular la probabilidad de que las dos últimas bolas extraídas sea impares. ( puto) b) Determiar si los siguietes sucesos so idepedietes: S : sale úmero par ates de alguo de los impares y S : los dos úmeros impares sale cosecutivamete. ( puto) CUESTIÓN A5. E ua muestra aleatoria de 75 idividuos de ua població se ha obteido que 30 tiee más de 65 años. Hallar u itervalo de cofiaza al 90% para la proporció de mayores de 65 años de la població. (,5 putos) de

2 EBAU Juio 07 Matemáticas aplicadas a las ciecias sociales e Murcia OPCIÓN B CUESTIÓN B. Ua fábrica textil compra tela a dos distribuidores, A y B. Los distribuidores A y B vede la tela a y 3 euros por metro, respectivamete. Cada distribuidor le vede u míimo de 00 metros y u máximo de 700 y para satisfacer su demada, la fábrica debe comprar e total como míimo 600 metros. La fábrica quiere comprar al distribuidor A, como máximo, el doble de metros que al distribuidor B. Hallar los metros que debe comprar a cada uo de los distribuidores para obteer el míimo coste. Determiar dicho coste míimo. (3 putos) 3 CUESTIÓN B. Dadas las fucioes f ( x) x 7x a y g( x) x bx dode a y b so úmeros reales, hallar a y b sabiedo que f() g() y f ' () g' (). (,5 putos) CUESTIÓN B3. Hallar el área del recito acotado limitado por la gráfica de la fució f ( x) x x 3, la recta y x y las rectas x y x. Hacer ua represetació gráfica aproximada de dicha área. (,5 putos) CUESTIÓN B4. E ua població se ha determiado que cada 00 cosumidores de agua mieral, 30 cosume la marca A, 5 la marca B y el resto la marca C. Además, el 30% de cosumidores de A, el 0% de cosumidores de B y el 40% de cosumidores de C so mujeres. Se seleccioa al azar u cosumidor de agua mieral de esa població y resulta ser mujer, hallar la probabilidad de que cosuma la marca A. (,75 putos) CUESTIÓN B5. La duració de u tipo de bombillas sigue ua distribució ormal co desviació típica de 0 horas. Para estimar la duració media se quiere calcular u itervalo de cofiaza al 99%. Determiar el tamaño míimo que debe teer la muestra utilizada para que el error cometido e la estimació sea meor de 5 horas. (,5 putos) de

3 EBAU Juio 07 Matemáticas aplicadas a las ciecias sociales e Murcia SOLUCIONES Este documeto es largo porque alguos ejercicios aparece resueltos de distitas formas. Dado la posibilidad de comprobar qué método resulta más vetajoso e cada caso. OPCIÓN A 3 CUESTIÓN A. Dadas las matrices A y B 0 0. a) Calcular A t. (0,5 putos) 0 t A 3 b) Calcular A B. (0,75 putos) A B a c) Hallar la matriz X c idetidad. ( putos) b que cumple A B X = C + I dode d C 0 e I es la matriz A B X C I 3 a b c d a b c d 0 0 3a c 3b d a c b d 0 0 3a c 3a c 3b d 3b d 3c c 5c c 5 a c 0 a c 3d d 5d d 5 bd 0 b d ac 5 bd 5 X de

4 EBAU Juio 07 Matemáticas aplicadas a las ciecias sociales e Murcia CUESTIÓN A. El volume de agua (e milloes de litros) almaceado e u embalse a lo largo de u periodo de años e fució del tiempo t (e años) viee dado por la fució Calcular: f t t t t t 3 ( ) a) La catidad de agua almaceada e el último año (t = ). (,5 putos) 3 f () milloes de litros b) El año del periodo e el que el volume almaceado fue máximo. (,5 putos) Utilicemos la derivada de la fució f t t t ' ( ) f t t t t 3 ( ) f t t t t t Simplificamos dividiedo etre 3 ' ( ) b b 4ac t a Hay dos cadidatos a ser máximo: t = 6 y t = 0. Co la seguda derivada vemos cual es: t 6 f '' (6) t 6 es máximo f '' ( t) 6t 48 t=0 f '' (0) t 0 es míimo El almaceamieto máximo se produjo e el año 6 c) El volume máximo que tuvo el embalse a lo largo de ese periodo. (0,5 putos) Para t = 6 los milloes de litros almaceados so f 3 (6) millo es CUESTIÓN A3. Calcular las siguietes itegrales: x x dx. (0,75 putos) a) 3 x 3x dx Calculamos la primitiva y despues aplicamos la regla de Barrow x x 3 3 x 3x dx 3 x x x x b) x dx. (0,75 putos) l x dx x dx x C 4 de

5 EBAU Juio 07 Matemáticas aplicadas a las ciecias sociales e Murcia CUESTIÓN A4. Ua ura cotiee tres bolas umeradas del al 3. Se extrae sucesivamete las tres bolas. Escribamos las distitas formas e que podemos extraer esas tres bolas: Todas ellas so igual de probables. Para calcular las probabilidades basta co cotar los casos favorables y los posibles y aplicar la regla de Laplace a) Calcular la probabilidad de que las dos últimas bolas extraídas sea impares. ( puto) OK 3 OK 3 3 P últimas bolas impares 0'33 P( últimas bolas impares)= 6 3 b) Determiar si los siguietes sucesos so idepedietes: S : sale úmero par ates de alguo de los impares y S : los dos úmeros impares sale cosecutivamete. ( puto) 3 OK 3 3 OK 3 OK 3 3 OK S = Par ates de alguo impar = Salga par e º o º lugar ={3, 3, 3, 3} 3 3 OK 3 OK 3 OK 3 OK 3 S = Los impares cosecutivos ={3, 3, 3, 3} S S 3, 3, 3, 3 3, 3, 3, 3 3, 3 Dos sucesos so idepedietes si PS ( S ) PS PS 5 de

6 EBAU Juio 07 Matemáticas aplicadas a las ciecias sociales e Murcia PS ( S) PS PS Siedo distitos los resultados, los sucesos S y S so depedietes CUESTIÓN A5. E ua muestra aleatoria de 75 idividuos de ua població se ha obteido que 30 tiee más de 65 años. Hallar u itervalo de cofiaza al 90% para la proporció de mayores de 65 años de la població. (,5 putos) Buscamos e la tabla de la ormal Z - / para u ivel de cofiaza del 90% es Z - / = 645. Coocemos =75 30 p 0' p p p p p La fórmula del itervalo de cofiaza es p z /, p z / cofiaza y co los datos del ejercicio sería: y al 90 % de '645, ' '7 0'049, 0'7 0'049 0', 0' Seria etre u % y u % 6 de

7 EBAU Juio 07 Matemáticas aplicadas a las ciecias sociales e Murcia OPCIÓN B CUESTIÓN B. Ua fábrica textil compra tela a dos distribuidores, A y B. Los distribuidores A y B vede la tela a y 3 euros por metro, respectivamete. Cada distribuidor le vede u míimo de 00 metros y u máximo de 700 y para satisfacer su demada, la fábrica debe comprar e total como míimo 600 metros. La fábrica quiere comprar al distribuidor A, como máximo, el doble de metros que al distribuidor B. Hallar los metros que debe comprar a cada uo de los distribuidores para obteer el míimo coste. Determiar dicho coste míimo. (3 putos) Llamemos x a los metros de tela pedidos al distribuidor A, que cuesta a /m. Este pedido cuesta x Llamemos y a los metros de tela pedidos al distribuidor B, que cuesta a 3 /m. Este pedido cuesta 3y El coste de la compra es C x, y x 3y. Fució a miimizar. Las restriccioes so: El pedido a A (x) es como miimo 00 m y como maximo 700 m 00 x 700 El pedido a B (y) es como miimo 00 m y como maximo 700 m 00 y 700 U pedido total (x+y) de u miimo de 600 m 600 x y El pedido a A (x) como máximo el doble del pedido a B (y) xy Dibujemos la regió factible atediedo a estas restriccioes: Las rectas que separa la zoa solució so x00 x 700 y00 y 700 x y 600 y 600 x x y 600 x x y y x x y x Dibujado dichas rectas y rayado la parte del plao que o es solució, obtedremos u dibujo parecido al siguiete: 7 de

8 EBAU Juio 07 Matemáticas aplicadas a las ciecias sociales e Murcia Determiemos los putos cadidatos a ser máximos para la fució coste C x, y x 3y. So los putos de corte de las rectas que delimita la regió factible (de color blaco) Resolviedo cada uo de los sistemas, obteemos: 8 de

9 EBAU Juio 07 Matemáticas aplicadas a las ciecias sociales e Murcia Valoremos la fució objetivo tiee el míimo coste. C C C C C A 400, , B 00, , C 400, 00 00, D 700, , E 700, , C x, y x 3y e cada uo de estos putos y decidimos cual El coste míimo es para el puto A (400, 00) que sigifica u pedido de 400 metros al distribuidor A y 00 metros al distribuidor B. Dicho coste míimo es de CUESTIÓN B. Dadas las fucioes f ( x) x 7x a y g( x) x bx dode a y b so úmeros reales, hallar a y b sabiedo que f() g() y f ' () g' (). (,5 putos) Aplicado la codició f() g() obtedremos la ecuació: 3 f () 7 a 7 a a 6 a 6 b a b 7 g() b b b Aplicado la codició f ' () g' () obtedremos la ecuació: 3 f ( x) x 7 x a f ' ( x) 3x 4 x f ' () 34 b b g( x) x bx g ' ( x) b g' () b b x Jutado las dos ecuacioes: ab7 a 7 5 b Obteemos u valor para a = 5 y para b = CUESTIÓN B3. Hallar el área del recito acotado limitado por la gráfica de la fució f ( x) x x 3, la recta y x y las rectas x y x. Hacer ua represetació gráfica aproximada de dicha área. (,5 putos) La fució f ( x) x x 3 es ua parábola, la dibujamos hallado su vértice y alguos putos de la misma. f ( x) x x 3 f ' ( x) x x 0 x x f ' ( x) 0 El vértice está e el puto del plao V( -, -4) Costruyamos la tabla de valores x y x x 3 ( ) ( ) ( ) ( ) Y la recta y xsu tabla de valores es: 3 ( 3) ( 3) de

10 EBAU Juio 07 Matemáticas aplicadas a las ciecias sociales e Murcia x y x 0 El área de esa regió azul limitada por la parábola (color verde) y la recta (color rojo) etre las líeas de putos x= y x= se obtiee co la itegral defiida: Área x x 3 x dx x x 3 x dx x x x x dx x u '83 u CUESTIÓN B4. E ua població se ha determiado que cada 00 cosumidores de agua mieral, 30 cosume la marca A, 5 la marca B y el resto la marca C. Además, el 30% de cosumidores de A, el 0% de cosumidores de B y el 40% de cosumidores de C so mujeres. Se seleccioa al azar u cosumidor de agua mieral de esa població y resulta ser mujer, hallar la probabilidad de que cosuma la marca A. (,75 putos) La marca C la cosume 00 (30 + 5) = 45 cosumidores de agua mieral. Calculemos cuatos cosumidores de cada marca so mujeres: 0 de

11 EBAU Juio 07 Matemáticas aplicadas a las ciecias sociales e Murcia % de 30 9 mujeres cosume la marca A % de 5 5 mujeres cosume la marca B % de 45 8 mujeres cosume la marca C 00 E total, de cada 00 cosumidores de agua mieral = 3 so mujeres. Y de todas las mujeres cosumidoras de agua mieral 9 cosume la marca A. 9 Pcosumir la marca A sabiedo que es mujer 0'8 3 CUESTIÓN B5. La duració de u tipo de bombillas sigue ua distribució ormal co desviació típica de 0 horas. Para estimar la duració media se quiere calcular u itervalo de cofiaza al 99%. Determiar el tamaño míimo que debe teer la muestra utilizada para que el error cometido e la estimació sea meor de 5 horas. (,5 putos) Como el error sigue la fórmula: E z Los datos proporcioados so 0 Y que '995 z '575 La fórmula del error queda: E '575 Como el error debe ser meor de 5 horas teemos la iecuació: 309 E '76 El tamaño míimo de la muestra para teer u error meor de 5 horas es 53 bombillas de