IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2014 (Modelo 5 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

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1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo 5 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 014 MODELO 5 OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) Se cosidera las matrices A = y B = (0 5 putos) Efectúe la operació A B t. (0 75 putos) Determie la matriz X tal que A + X = B. 6 (1 5 putos) Calcule la matriz Y, sabiedo que B Y =. 9 Solució Se cosidera las matrices A = y B = Efectúe la operació A B t. t A B t 1 = = = Determie la matriz X tal que A + X = B De A + X = B X = B - A X = (1/) (B A) = 1 = 1 = Calcule la matriz Y, sabiedo que B Y = Como det (B) = det = = 1 + = 14 0, existe la matriz iversa B -1 = (1/ B ) Adj(B t ). B t = ; Adj(Bt ) = 4-1 3, luego B -1 = (1/ B ) Adj(B t 4 ) = (1/14) -1 3 = /7 1/7-1/14 3/14. Tambié se podría haber calculado por el método de Gauss A tiee iversa, si mediate trasformacioes elemetales por filas de Gauss podemos llegar de (B I ), a la expresió (I B -1 ). (B I ) = Cambio F 1 por F 3-1 0F - 3 F F :(-14) F 1-4 F 1 0 4/14 1/ /14 3/ /14 3/14 por tato B -1 = /7 1/7-1/14 3/14. 6 Multiplicado la expresió que B Y = por la izquierda por la matriz iversa B -1, teemos 9 B -1 B Y = B -1 6 I Y = B -1 6 Y = B -1 6 = /7 1/ /14 3/14 6 = 3 9 3/ La matriz pedida es Y = 3 3/. EJERCICIO (A) ( 5 putos) Sea las fucioes f(x) = (x - 1) 3 l(x 4 ) y g(x) = Determie el valor de f (-1) y g (0). Sea las fucioes f(x) = (x - 1) 3 l(x 4 ) y g(x) = -x + x x + 1 Recordamos alguas derivadas y reglas de derivació. e e -x + x x + 1. Determie el valor de f (-1) y g (0). 1

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo 5 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua f(x) f'(x).g(x) - f(x).g'(x) ( f(x)+g(x) ) = f (x)+g (x); ( f(x) g(x)) = f (x) g(x)+ f(x) g (x); = ; g(x) (g(x)) ( (f(x) k ) = k.f(x) k-1.f (x); ( e kx ) = k.e kx ; (x k ) = k.x k-1 ; (l(f(x)) = f'(x) ; (k) = 0. f(x) / f(x) = (x - 1) 3 l(x 4 ) f (x) = 3 (x - 1) (4x) l(x 4 ) + (x - 1) 3 3 4x 4 x f (-1) = 3 ((-1) - 1) (4(-1)) l((-1) 4 ) + ((-1) - 1) 3 4(-1) 4 (-1) 3 = 3 (1) (-4) l(1) 4(-1) + (1) 3 1 = 0 4 = -4. g(x) = g (x) = g (0) = -x + x x + 1. e -x + x -x + x [e (- + x)].(x + 1) - e x (x + 1) 0 [e (- )] (+ 1) - 0 (1) = -. EJERCICIO 3 (A) E u Istituto de Educació Secudaria el 40% de los alumos juega al fútbol, el 30% juega al balocesto y el 0% practica ambos deportes. (1 puto) Cuál es la probabilidad de que u alumo, elegido al azar, o practique iguo de los dos deportes? (0 75 putos) Si u alumo, elegido al azar, juega al fútbol, cuál es la probabilidad de que o juegue al balocesto? (0 75 putos) So idepedietes los sucesos jugar al fútbol y jugar al balocesto? Solució E u Istituto de Educació Secudaria el 40% de los alumos juega al fútbol, el 30% juega al balocesto y el 0% practica ambos deportes. Cuál es la probabilidad de que u alumo, elegido al azar, o practique iguo de los dos deportes? Llamamos A y B a los sucesos juega al fútbol y juega al balocesto. Del problema teemos: p(a) = 40% = 0 4, p(b) = 30% = 0 3 y p(a B) = 0% = 0. ( ) Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); p(a/b) = p A B ; p(b) = 1 - p(b C ); p(b) p(a C B C ) = {Ley de Morga} = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B); p(a B C ) = p(a) - p(a B). Me pide p(o practique iguo de los dos deportes) = p(oa y ob) = p(a C B C ) = {Ley de Morga} = = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B) **= = 0 5. **p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = = 0 5 Si u alumo, elegido al azar, juega al fútbol, cuál es la probabilidad de que o juegue al balocesto? Me pide p(o juegue al balocesto, sabiedo que juega al futbol) = p(b C ( /A) C p B A ) Luego p(b C p(a) - p( B A ) /A) = = = (0 4-0 )/(0 4) = 0 5. p(a) p(a) So idepedietes los sucesos jugar al fútbol y jugar al balocesto? A y B so idepedietes si p(a B) = p(a) p(b). Como p(a B) = 0 p(a) p(b) = = 0 1, los sucesos A y B o so idepedietes. EJERCICIO 4 (A) Los resposables de tráfico de ua ciudad trabaja co la hipótesis de que, al meos, el 65% de sus habitates so favorables a la creació de ua red de carril-bici e esa ciudad.

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo 5 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Ecuestados 950 habitates, elegidos al azar, 590 está a favor de tal medida (1 5 putos) Mediate u cotraste de hipótesis, (H 0 : p 0 65), co u ivel de sigificació del 10%, se puede decir que tiee razó los resposables de tráfico de esa ciudad? (1 puto) Se cocluiría lo mismo si el ivel de sigificació fuera del 1%? Solució Sabemos que la distribució muestral de proporcioes sigue tambié ua distribució ormal: p 0.(1-p 0 ) N( ˆp, ). Trabajaremos co lo ormal N(0,1) Tambié se puede hacer co la distribució ormal muestral y es parecido a los itervalos de cofiaza. Nos dice el problema que la hipótesis ula es H 0 : p (lo dá el problem, co u ivel de sigificació de α = 10% = 0,1. Es u cotraste uilateral y trabajamos co la ormal N(0,1). Tambié se puede hacer co la ormal muestral y es parecido a los itervalos de cofiaza. Datos del problema: p 0 = 0 65; = 950; ˆp = 590/950 = 59/ ; regió crítica = α = 0,1 = 10%. El problema la dividimos e cico etapas Etapa 1: Formulamos la hipótesis ula y la alterativa. Las hipótesis ula y alterativa so: H 0 : p y H 1 : p 0 < 0 65, la cual os idica la direcció del cotraste, es decir la regió crítica está a la izquierda del puto crítico z α = - z 1-α. Etapa : Calculamos el puto o putos críticos, que os dará las regioes críticas y de aceptació. Para el ivel de sigificació es α = 0 1, luego teemos 1 - α = 0 9. De p(z z 1-α ) = 1 - α = = 0 9, mirado e las tablas de la N(0,1), vemos que o aparece e las tablas. El valor más próximo es , que correspode al valor crítico es z α = - z 1-α = que separa las zoas de aceptació y rechazo. Lo observamos e u dibujo: Etapas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. E este caso el estadístico de prueba es Z = ˆp - p0, que sigue ua ormal tipificada, N(0,1), y el p 0.(1-p 0 ) valor observado del estadístico de prueba será el úmero z 0 = ˆp - p0 59/95-0'65 = p 0.(1-p 0 )/ 0'65 0' Etapa 5: Comparamos el valor observado co el puto crítico para tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de prueba z 0 = está e la regió de rechazo para el puto crítico z α = - z 1-α = - 1 8, pues < -1 8, rechazamos la hipótesis ula H 0 : H 0 : p , y aceptamos la hipótesis alterativa H 1 : p 0 < 0 65, co lo cual, co ua probabilidad de equivocaros del 10%, afirmamos que meos del 65% o desea el carril bici. 3

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo 5 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Se cocluiría lo mismo si el ivel de sigificació fuera del 1%? Todo es exactamete igual, lo úico que varía es el puto crítico que os delimitará la regió de aceptació de la de rechazo. Para el ivel de sigificació es α = 1% = 0 01, luego teemos 1 - α = De p(z z 1-α ) = 1 - α = = 0 99, mirado e las tablas de la N(0,1), vemos que o aparece e las tablas. El valor más próximo es , que correspode al valor crítico es z α = - z 1-α = - 33 que separa las zoas de aceptació y rechazo. Como el valor observado del estadístico de prueba z 0 = está e la regió de aceptació para el puto crítico z α = - z 1-α = - 33, pues - 33 < , aceptamos la hipótesis ula H 0 : H 0 : p , co lo cual, co ua probabilidad de equivocaros del 1%, afirmamos que mas del 65% desea el carril bici. OPCION B EJERCICIO 1 (B) (1 5 putos) Resuelva la ecuació matricial A X = (C D t ), siedo: A =, C = y D = (1 puto) Si A(0, ), B(, 0), C(4, 0), D(6, 3) y E(3,6) so los vértices de ua regió factible, determie, e esa regió, el valor míimo y el valor máximo de la fució F(x,y) = 4x 3y + 8 e idique los putos dode se alcaza. Solució Resuelva la ecuació matricial A X = (C - D t ), siedo: A =, C = y D = Teemos A X = (C - D t ), 0 1 Como det (A) = det = = 0 - = - 0, existe la matriz iversa A -1 = (1/ A ) Adj(A t ). A t 0 = ; Adj(A t 0-1 ) =, luego A -1 = (1/ A ) Adj(A t / ) = (1/-) = Tambié se podría haber calculado por el método de Gauss A tiee iversa si mediate trasformacioes elemetales por filas de Gauss podemos llegar de (A I ), a la expresió (I B), dode B = A Cambio 0 0 1F 1/() / (A I ) = por tato: A / = F 1 por F Multiplicado la expresió A X = (C - D t ), por la izquierda por la matriz iversa A -1, teemos A X = (C - D t ) A -1 A X = A -1 (C - D t ) I X = A -1 (C - D t ) X = A -1 (C - D t ). La matriz pedida es X = A -1 (C T - D t ) = (1/-) - = = (-1) - = = Si A(0, ), B(, 0), C(4, 0), D(6, 3) y E(3,6) so los vértices de ua regió factible, determie, e esa regió, 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo 5 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua el valor míimo y el valor máximo de la fució alcaza. F(x,y) = 4x - 3y + 8 e idique los putos dode se El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió covexa acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0,), B(,0), C(4,0), D(6,3) y E(3,6). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(0,) = 4(0) - 3() + 8 = ; F(,0) = 4() - 3(0) + 8 = 16; F(4,0) = 4(4) - 3(0) + 8 = 4; F(6,3) = 4(6) - 3(3) + 8 = 3; F(3,6) = 4(3) - 3(6) + 8 =. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el míimo absoluto de la fució F e la regió es (el meor valor e los vértices) y se alcaza e los vértices A(0,) y E(3,6) por tato se alcaza e todo el segmeto AE, y el máximo absoluto de la fució F e la regió es 4 (el mayor valor e los vértices) y se alcaza e C(4,0). EJERCICIO (B) ( 5 putos) Represete gráficamete la fució f(x) = x 3-6x + 1x, estudiado previamete su domiio, putos de corte co los ejes, itervalos de mootoía, extremos, itervalos de cocavidad y covexidad y putos de iflexió. Solució Represete gráficamete la fució f(x) = x 3-6x + 1x, estudiado previamete su domiio, putos de corte co los ejes, itervalos de mootoía, extremos, itervalos de cocavidad y covexidad y putos de iflexió. Como es ua fució poliómica su domiio es R. Cortes: Para x = 0, puto (0,f(0)) = (0,0) Para f(x) = 0 x 3-6x + 1x = 0 = x (x - 6x + 1), de dode x = 0 y x = o tiee solucioes reales. El puto es (0,0) 6 ± ± - 1 =, que Mootoía. Estudio de la primera derivada f (x). f(x) = x 3-6x + 1x; f (x) = 3x - 1x + 1. De f (x) = 0, teemos 3x - 1x + 1 = 0 = x - 4x + 4 = (x - ), de dode x = (doble) será el posible extremo relativo de f. Como f (0) = 3(0) - 1(0) + 1 = 1 > 0, f(x) es estrictamete creciete ( ր ) e (-,). Como f (3) = 3(3) - 1(3) + 1 = 3 > 0, f(x) es estrictamete creciete ( ր ) e (,+ ). Por tato f es estrictamete creciete e R y o tiee i máximos i míimos relativos Curvatura. Estudio de la seguda derivada f (x). f(x) = x 3-6x + 1x; f (x) = 3x - 1x + 1; f (x) = 6x - 1. De f (x) = 0, teemos 6x - 1 = 0, de dode x =, que será el posible puto de iflexió. De f (0) = 6(0) - 1 = - 1 < 0, teemos que f(x) es cócava ( ) e (-,). De f (3) = 6(3) - 1 = 6 > 0, teemos que f(x) es covexa ( ) e (,+ ). Por defiició e x = hay u puto de iflexió, que vale f() = () 3 6() + 1() = 8. Teiedo e cueta lo aterior y su comportamieto e ± Como lim x->- ( x 3-6x + 1x) = lim x->- ( x 3 ) = (- ) 3 = -, e -, f vale - Como lim x->+ ( x 3-6x + 1x) = lim x->+ ( x 3 ) = (+ ) 3 = +, e +, f vale + U esbozo de la gráfica de f es: 5

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo 5 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua EJERCICIO 3 (B) El 5% de los estudiates de ua Uiversidad lee las oticias e presa escrita e papel, el 70% e presa digital y el 10% e ambos formatos. Elegido, al azar, u estudiate de esa Uiversidad: (1 puto) Calcule la probabilidad de que lea las oticias e formato papel o digital. (0 75 putos) Sabiedo que lee las oticias e presa digital, calcule la probabilidad de que tambié las lea e presa escrita e papel. (0 75 putos) Cuál es la probabilidad de que lea las oticias exclusivamete e uo de los dos formatos? Solució El 5% de los estudiates de ua Uiversidad lee las oticias e presa escrita e papel, el 70% e presa digital y el 10% e ambos formatos. Elegido, al azar, u estudiate de esa Uiversidad: Calcule la probabilidad de que lea las oticias e formato papel o digital. Llamamos A y B a los sucesos lee presa e papel y lee presa digital. Del problema teemos: p(a) = 5% = 0 5, p(b) = 70% = 0 7 y p(a B) = 10% = 0 1. ( ) Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); p(a/b) = p A B ; p(b) = 1 - p(b C ); p(b) p(a C B C ) = {Ley de Morga} = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B); p(a B C ) = p(a) - p(a B). Me pide p(lea e papel o e digital) = p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = = Sabiedo que lee las oticias e presa digital, calcule la probabilidad de que tambié las lea e presa escrita e papel. p( A B ) Me pide p(lea e papel. sabiedo que lee e digital) = p(a/b) = = (0 1)/(0 7) = 1/ p(b) Cuál es la probabilidad de que lea las oticias exclusivamete e uo de los dos formatos? Me pide p( lea e papel y o e digital) o p(lea e digital y o e papel) = = p(a y ob) o p(b y oa) = p(a B C ) + p(b A C ) = p(a) - p(a B) + p(b) - p(a B) = = = EJERCICIO 4 (B) Para estimar la proporció de habitates que es favorable a la costrucció de u cetro comercial e u muicipio, se ha obteido el itervalo de cofiaza (0 31, 0 39), al 94%. (1 puto) Cuál ha sido el valor de la proporció muestral? (0 5 putos) Si la muestra aleatoria elegida de esa població para el estudio fue de 500 persoas, cuátas de ellas deseaba la costrucció del cetro comercial? (1 puto) Se desea repetir el estudio para obteer u itervalo de cofiaza co u error máximo de 0 03 y el mismo ivel de cofiaza. Cuátas persoas, como míimo, debe teer la ueva muestra aleatoria? Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUESTRAL p ɵ sigue 6

7 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo 5 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua ua ormal N( ɵ pɵ qɵ p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode ɵ q = 1- ɵ p, y geeralmete escribimos p N( ɵ pɵ qɵ p, ) o p N( ɵ pɵ qɵ p, ). Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: p q ˆ ˆ p q ˆ ˆ I.C.(p) = p ˆ - z ˆ 1 α /.,p + z 1 α /. = (a, dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )=1-α/. Del itervalo vemos que ˆp = (a + / El error cometido es E < z 1 /. α p(1 ˆ p) ˆ = (b-/, de dode el tamaño de la muestra es > ˆ ˆ. (z 1-α/ ).p.q E Para estimar la proporció de habitates que es favorable a la costrucció de u cetro comercial e u muicipio, se ha obteido el itervalo de cofiaza (0 31, 0 39), al 94%. Cuál ha sido el valor de la proporció muestral? El valor de la proporció muestral es: ˆp = ( )/ = Si la muestra aleatoria elegida de esa població para el estudio fue de 500 persoas, cuátas de ellas deseaba la costrucció del cetro comercial? Persoas desea la costrucció = total persoas de la muestra x proporció de la muestra = = = 175 persoas. Se desea repetir el estudio para obteer u itervalo de cofiaza co u error máximo de 0 03 y el mismo ivel de cofiaza. Cuátas persoas, como míimo, debe teer la ueva muestra aleatoria? Datos del problema: Error = E < 0 03, p ɵ = 0 35, q ɵ = = 0 65, ivel de cofiaza 1 α = 94% = 0 94, de dode α= 0 06= = 6% = 0 06, como ivel de sigificació. De α = 0 06 teemos α/ = 0 03 De la igualdad p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = 0 97, que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/. Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 0 97 o viee e la tabla y el valor más próximo es , que correspode a z 1-α/ = 1 88 (Iterpolado z 1-α/ = ). p(1 ˆ p) ˆ De E < z 1 α /., teemos tamaño de la muestra > tato el tamaño míimo de la muestra es = 894 persoas. ˆ ˆ = , por E (0 03) (z 1-α/ ).p.q (1 88)