IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2001 (Modelo 3) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

Transcripción

1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 200 (Modelo 3) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A ( puto) U establecimieto poe a la veta tres tipos de camisas A, B y C. Se sabe que la razó etre los precios de las camisas C y B es 9/8 y etre los de B y A es 6/5. Al comprar tres camisas, ua de cada clase, se paga 3000 pts. Platee el sistema de ecuacioes que permita coocer el precio de cada camisa (2 putos) Siedo A 2 0 y B 0, razoe si posee solució la ecuació matricial A X B 0 y, e caso afirmativo, resuélvala. Solució U establecimieto poe a la veta tres tipos de camisas A, B y C. Se sabe que la razó etre los precios de las camisas C y B es 9/8 y etre los de B y A es 6/5. Al comprar tres camisas, ua de cada clase, se paga 3000 pts. Platee el sistema de ecuacioes que permita coocer el precio de cada camisa. x Precio de camisas del tipo A. y Precio de camisas del tipo B. z Precio de camisas del tipo C. De la razó etre los precios de las camisas C y B es 9/8 z/y 9/8 8z 9y. De la razó etre los precios de las camisas B y A es 6/5 y/x 6/5 5y 6x. De Al comprar tres camisas 3000 pts x + y + z z 9y El sistema pedido es: 5y 6x x + y + z Siedo A 2 0 y B 0, razoe si posee solució la ecuació matricial A X B y, e caso 0 afirmativo, resuélvala. La matriz A es ua matriz triagular, por tato du determiate det(a) A es el producto de los elemetos de la diagoal pricipal, luego A 0, luego tiee matriz iversa A - de fórmula A - /( A ) Adj(A t ), y el sistema AX B tiee solució. Multiplicado la expresió A X B, por la izquierda por A - teemos A - A X A - B, I 2 X A - B, por tato X A - B Calculamos A - /( A ) Adj(A t ).; A ; A t 0 0, Adj(A t ) -2 0, por tato A - (/) , luego la matriz pedida es X A - B EJERCICIO 2_A U objeto se laza verticalmete hacia arriba de modo que la altura h (e metros) a la que se ecuetra e cada istate t (e segudos) viee dada por la expresió: h(t) -5t t (0 75 putos) E qué istate alcaza la altura máxima? Cuál es esa altura? ( puto) Represete gráficamete la fució h(t). c) (0 75 putos) E qué mometo de su caída se ecuetra el objeto a 60 metros de altura? d) (0 5 putos) E qué istate llega al suelo? Solució U objeto se laza verticalmete hacia arriba de modo que la altura h (e metros) a la que se ecuetra e cada istate t (e segudos) viee dada por la expresió: h(t) -5t t E qué istate alcaza la altura máxima? Cuál es esa altura? germa.jss@gmail.com

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 200 (Modelo 3) Solució Germá-Jesús Rubio Lua La gráfica de la fució h(t) -5t t es u parábola ( ) co las ramas hacia abajo, pues el º que multiplica a t 2 es egativo, por tato el máximo está e el vértice, y la abscisa es la solució de h (t) 0 h(t) -5t t; h (t) -0t + 40 De h (t) 0 teemos -0t , luego t 4 y h(4) -5(4) (4) 80, el vértice es V(4,80), es decir la altura máxima esde 80 metros y se alcaza e el istate t 4 segudos. Represete gráficamete la fució h(t). La gráfica de -5t t es u parábola ( ) co las ramas hacia abajo, pues el º que multiplica a t 2 es egativo, hemos visto que el vértice V era V(4,80). Putos de corte. Para t 0, h(0) -5(0) (0) 0, puto (0,0). Para h(t) 0-5t t t(-5t+40) 0, de dode t 0 y t 8, y los putos so (0,0) y (8,0). Teiedo e cueta la aterior u esbozo de la gráfica de h(t) es: c) E qué mometo de su caída se ecuetra el objeto a 60 metros de altura? Teemos que resolver la ecuació -5t t 60 5t 2-40t t 2-8t + 2 0, de dode t 2 y t 6, es decir el objeto se ecuetra a 60 metros a los 2 segudos y a los 6 segudos. d) E qué istate llega al suelo? Al calcular los putos de corte, es decir -5t t 0, hemos visto que t 0 y t 8, luego llega al suelo a los 8 segudos. EJERCICIO 3_A Parte I Sea A y B dos sucesos tales que p(a), p(b) /3 y p(a B) /4. Calcule: (0 5 putos) p(a/b) y p(b/a). (0 75 putos) p(a B). c) (0 75 putos) p(a C B). (A C idica el cotrario del suceso A). Solució Sea A y B dos sucesos tales que p(a), p(b) /3 y p(a B) /4. Calcule: p(a/b) y p(b/a). ( ) Sabemos que p(a B) p(a) + p(b) - p(a B); p(a/b) p A B ; p(b) - p(b C ); p(a C ) p(a) p(b) p(a C B C ) {Ley de Morga} p(a B) C {suceso cotrario} - p(a B); p(a B C ) p(a) - p(a B). ( ) Me pide p(a/b) p A B p(a B). p(b) ( ) (/4)/(/3) 3/4 0 75, y p(b/a) p A B p(a) (/4)/() 2/ Me pide p(a B) p(a) + p(b) - p(a B) + /3 - /4 7. germa.jss@gmail.com 2

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 200 (Modelo 3) Solució Germá-Jesús Rubio Lua c) p(a C B). (A C idica el cotrario del suceso A). Me dice p(a C B) p(b A C ) p(b) - p(a B) /3 /4. EJERCICIO 3_A Parte II Ua agecia de alquiler de automóviles ecesita estimar el úmero medio de kilómetros diarios que realiza su flota de automóviles. Se sabe que el úmero de kilómetros por día sigue ua distribució ormal co desviació típica de 6 Km/día. Se toma los recorridos de 00 vehículos de la flota, obteiédose que la media muestral es de 65 Km/día. ( puto) Costruya u itervalo de cofiaza para la media de dicha distribució a u ivel de cofiaza del 95%. ( puto) Cuál debería ser el tamaño de la muestra para asegurar al ivel de cofiaza del 90% que el error cometido es a lo sumo 0? Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. (µ) x z α,x + z α (a, dode z -α y z α - z -α es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,) que verifica p(z z -α ) - α Tambié sabemos que la media es x (a +, el error máximo de la estimació es E z α, para el itervalo de la media. Pero la amplitud del itervalo es b a 2 z α 2 E, de dode E (b, z - α. 2 z - α. por tato el tamaño míimo de la muestra es E b - a. Ua agecia de alquiler de automóviles ecesita estimar el úmero medio de kilómetros diarios que realiza su flota de automóviles. Se sabe que el úmero de kilómetros por día sigue ua distribució ormal co desviació típica de 6 Km/día. Se toma los recorridos de 00 vehículos de la flota, obteiédose que la media muestral es de 65 Km/día. Costruya u itervalo de cofiaza para la media de dicha distribució a u ivel de cofiaza del 95%. Datos del problema: 6, 00, x 65, ivel de cofiaza 95% α, de dode α 0 05, es decir α De p(z z -α ) - α Mirado e las tablas de la N(0,) vemos que la probabilidad viee, y que correspode a z -α 96, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: I.C.(µ) x z α,x + z α '96,65 + '96 (63 824, 66 76) Cuál debería ser el tamaño de la muestra para asegurar al ivel de cofiaza del 90% que el error cometido es a lo sumo 0? germa.jss@gmail.com 3

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 200 (Modelo 3) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Datos del problema: 6, error E 0, ivel de cofiaza 90% α, de dode α 0 0, es decir α De p(z z -α ) - α Mirado e las tablas de la N(0,) vemos que la probabilidad 0 95 o viee, las más próximas so y que correspode a 64 y 65, por tato z -α es la media es decir z -α ( ) 645. z - α. '645 6 De E 0' , teemos que el tamaño míimo es OPCIÓN B EJERCICIO _B ( puto) Represete gráficamete el recito defiido por el siguiete sistema de iecuacioes: 2x + y 8 2x + 3y 26. x + y x 0 ; 6 y 0 ( puto) Calcule los vértices de ese recito. c) ( puto) Obtega e dicho recito el valor máximo y el míimo de la fució F(x,y) 5x + 3y. Diga e qué putos se alcaza. Solució y c) Represete gráficamete el recito defiido por el siguiete sistema de iecuacioes: 2x + y 8; 2x + 3y 26; x + y 6, x 0, y 0. Calcule los vértices de ese recito. Obtega e dicho recito el valor máximo y el míimo de la fució F(x,y) 5x + 3y. Diga e qué putos se alcaza. Fució Objetivo F(x,y) 5x + 3y. Las desigualdades 2x + y 8; 2x + 3y 26; x + y 6, x 0, y 0, las trasformamos e igualdades, y ya sus gráficas so rectas, 2x + y 8; 2x + 3y 26; x + y 6, x 0, y 0. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y -2x + 8; y -2x/3 + 26/3; y -x + 6, x 0, y 0. Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, y el recito covexo limitado por las iecuacioes, que será la regió factible; e el cual estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito covexo, resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x 0 e y 0, teemos el puto de corte es A(0,0) De y 0 e y -2x+8, teemos 0-2x+8, luego x 9 y el puto de corte es B(9,0) De y -2x/3+26/3 e y -2x+8, teemos -2x/3+26/3-2x+8-2x+26-6x+54 4x 28, luego x 7 e y -2(7)+8 4, luego el puto de corte es C(7,4) De x 0 e y -2x/3+26/3, teemos y 26/3, y el puto de corte es D(0,26/3) Vemos que el polígoo covexo cerrado tiee por vértices los putos: A(0,0), B(9,0), C(7,4) y D(0,26/3). germa.jss@gmail.com 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 200 (Modelo 3) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Calculemos el máximo y el míimo de la fució F(x,y) 5x + 3y e dicha regió covexa. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió acotada covexa, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0,0), B(9,0), C(7,4) y D(0,26/3). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(0,0) 5(0) + 3(0) 0; F(9,0) 5(9) + 3(0) 45; F(7,4) 5(7) + 3(4) 47; F(0,26/3) 5(0) + 3(26/3) 26. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 47 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(7,4), y el míimo absoluto de la fució F e la regió es 0 (el meor mayor e los vértices) y se alcaza e el vértice A(0,0). EJERCICIO 2_B (3 putos) Determie los valores que ha de tomar a y b para que la fució: f(x) 4x + b si x < 2 ax + 6x - 7 si x sea derivable. Solució Determie los valores que ha de tomar a y b para que la fució: f(x) 4x + b si x < 2 ax + 6x - 7 si x sea derivable. Sabemos que si ua fució es derivable es cotiua. 4x + b es cotiua y derivable e R, e particular e x <. ax 2 + 6x - 7 es cotiua y derivable e R, e particular e x. Veamos la cotiuidad y la derivabilidad de f e x. Como f(x) es cotiua e x, teemos f() lim f(x) x f() lim x + De f(x) lim (4x b. x f(x) lim f(x) x lim f(x). x + lim ( ax 2 + 6x - 7 ) a. Igualado teemos 4 + b a. x + 4x + b si x < 2 ax + 6x - 7 si x, teemos f (x) 4 si x < 2ax + 6 si x Como f(x) es derivable e x, teemos que derivada. lim f (x) lim f (x) x lim (4) 4; lim f (x) x x x + de 4 + b a, teemos 4 + b -, luego b -6. lim f (x), estamos viedo la cotiuidad de la x + lim (2ax+6) 2a + 6, igualado 4 2a + 6 de dode a -, y por tato x + EJERCICIO 3_B Parte I E u cieclub hay 80 películas; 60 so de acció y 20 de terror. Susaa elige ua película al azar y se la lleva. A cotiuació Luis elige otra película al azar. ( puto) Cuál es la probabilidad de que tato Susaa como Luis elija películas de acció? ( puto) Cuál es la probabilidad de que la película elegida por Luis sea de acció? Solució E u cieclub hay 80 películas; 60 so de acció y 20 de terror. Susaa elige ua película al azar y se la lleva. A cotiuació Luis elige otra película al azar. Cuál es la probabilidad de que tato Susaa como Luis elija películas de acció? Llamamos S A, S T, L A, L T, a los sucesos Luis elige ua película de acció, Susaa elige ua película de terror, Luis elige ua película de acció y Luis elige ua película de terror. Recordamos que Susaa elige primero la película, luego los sucesos so depedietes. germa.jss@gmail.com 5

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 200 (Modelo 3) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Del problema teemos p(s A ) 60/80 6/8, p(s T ) 20/80 2/8, p(l A /S A ) 59/79, p(l T /S T ) 9/79, etc.. Todo esto lo vemos mejor e u diagrama de árbol (recordamos que las probabilidades que sale desde u mismo odo suma ) Me pide p(s A y L A ) p(s A L A ) p(s A ) p(l A /S A ) (60/80) (59/79) 77/ Cuál es la probabilidad de que la película elegida por Luis sea de acció? Por el Teorema de la Probabilidad Total p(l A ) p(s A L A ) + p(s T L A ) p(s A ) p(l A /S A ) + p(s T ) p(l A /S T ) (60/80) (59/79) + (20/80) (60/79) 3/ EJERCICIO 3_B Parte II Se desea estimar, co u error máximo de 0 2 horas, el tiempo medio de estudio diario de los alumos de primer curso uiversitario. Se sabe que la desviació típica es de hora y se toma ua muestra aleatoria de 00 alumos. ( puto) Calcule el ivel de cofiaza del itervalo que se obtedrá. ( puto) Calcule el úmero de idividuos que debe teer ua muestra para aseguraros ua cofiaza del 99%. Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. (µ) x z α,x + z α (a, dode z -α y z α - z -α es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,) que verifica p(z z -α ) - α Tambié sabemos que la media es x (a +, el error máximo de la estimació es E z α, para el itervalo de la media. Pero la amplitud del itervalo es b a 2 z α 2 E, de dode E (b, z - α. 2 z - α. por tato el tamaño míimo de la muestra es E b - a. germa.jss@gmail.com 6

7 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 200 (Modelo 3) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Se desea estimar, co u error máximo de 0 2 horas, el tiempo medio de estudio diario de los alumos de primer curso uiversitario. Se sabe que la desviació típica es de hora y se toma ua muestra aleatoria de 00 alumos. Calcule el ivel de cofiaza del itervalo que se obtedrá. Datos del problema: Error E 0 2,, 00, x 7 5. Sabemos que el ivel de cofiaza es - α De la fórmula del error E z α, teemos 0 2 z α, es decir z -α De p(z z -α ) - α p(z 2) , es decir α, luego α , y el ivel de cofiaza pedido es - α % Calcule el úmero de idividuos que debe teer ua muestra para aseguraros ua cofiaza del 99%. Datos del problema:, error E 0 2, ivel de cofiaza 99% α, de dode α 0 0, es decir α De p(z z -α ) - α Mirado e las tablas de la N(0,) vemos que la probabilidad o viee, las más próximas so y que correspode a 2 57 y 2 58, por tato z -α es la media es decir z -α ( ) z - α. 2'575 De E 0' , teemos que el tamaño míimo es 66. germa.jss@gmail.com 7