Teoría de la conmutación. Álgebra de Boole

Transcripción

1 Álgebra de Boole Defiicioes y axiomas Propiedades Variables y fucioes booleaas Defiicioes Propiedades Formas de represetació Fucioes booleaas y circuitos combiacioales Puertas lógicas Puertas lógicas fudametales Puertas lógicas derivadas

2 Álgebra de Boole 2

3 Defiició de Álgebra de Boole U cojuto es u álgebra de Boole se verifica: a) Es u cojuto fiito B co al meos dos elemetos, N (elemeto ulo), U (elemeto uiversal), y tres operacioes: dos biarias y ua uaria ( B, *, +, ) N B U B b) Cumple los 6 axiomas de HUNTINGTON 3

4 Axiomas de HUNTINGTON. Las operacioes *, +,, debe ser cerradas x*y B x,y B x + y B x B 2. Operacioes co N,U x * N = N x * U = x x + N = x x + U = U 3. Comutatividad x * y = y * x x + y = y + x 4

5 4. Distributiva. x * (y + z) = (x * y) + (x * z ) x + (y * z) = (x + y) * (x + z) 5. Complemetatividad. x * x = N x B, x B / x + x = U 6. Hay por lo meos dos elemetos distitos e B. 5

6 Propiedades del Álgebra de Boole. Propiedad de Idempotecia x * x = x x + x = x 2. Propiedad Asociativa x * ( y * z ) = ( x * y ) * z x + ( y + z ) = ( x + y ) + z 6

7 3. Propiedad de Absorció x + ( x * y ) = x x * ( x + y ) = x 4. Ley del coseso x + ( x * y ) = x + y x * ( x + y ) = x * y 5. Ley de ivolució (x) = x 7

8 Se puede demostrar que B={,}, N=, U=, juto co las operacioes *, +,, defiidas por las siguietes tablas de verdad, forma u álgebra de boole. + * OR AND NOT 8

9 Variables y fucioes booleaas 9

10 Defiicioes Defiimos costate sobre B, a todo elemeto de B Defiimos variable de B, todo símbolo x que represeta a cualquier elemeto de B Defiimos literal de B, a toda costate ó variable Defiimos fució booleaa a la aplicació: f : B B dode: B = B B... B / x = (x,x 2,...,x ) B

11 Defiimos fució costate a la fució f a : f : B B / (x,x,...,x ) B, f (x,x,...,x ) = a B a 2 a 2 Defiimos fució proyecció f p : f : B B / (x,x,...,x ) B, f (x,x,...,x ) = x p 2 p 2 i dode x es ua variable de B i Defiimos fució degeerada a la fució f d : f : B B / x,z B, f (x) = f (z) d d d Defiimos fució parcialmete especificada a la aplicació: f : B B dode B =,,# d 3 3 { }

12 Defiimos térmio producto a todo literal o producto de literales, e los que cada variable aparece como máximo ua vez. Defiimos mitérmio o producto caóico al térmio producto de ua fució, que está formado por las variables de dicha fució, apareciedo éstas ua sola vez de forma complemetada o si complemetar. Defiimos forma ormal disyutiva de ua fució, a su represetació algebraica, que costa de u sólo térmio producto o de la suma de varios de ellos. Defiimos térmio suma a todo literal o suma lógica de literales, e las que cada variable aparece como máximo ua vez. Defiimos maxtérmio o suma caóica al térmio suma de ua fució, que está formado por las variables de dicha fució, apareciedo éstas ua sola vez de forma complemetada o si complemetar. Defiimos forma ormal cojutiva de ua fució, a su represetació algebraica, que costa de u sólo térmio suma o del producto de varios de ellos. 2

13 Para variables podemos formar 2 mitérmios y 2 maxtérmios. Notació para mitérmios y maxtérmios: x * x *... * x * x = m x + x x + x = M x * x *... * x * x = m x + x x + x = M x * x *... * x * x = m x + x x + x = M x * x 2 *... * x - * x = m x + x x + x = M x * x *... * x * x = m x + x x + x = M Defiimos vector asociado a u mitérmio m i de variables, al obteido colocado e las posicioes correspodietes a las variables NO complemetadas, y colocado e las posicioes correspodietes a las variables complemetadas. Ejp: m 5 = x * x 2 * x 3 * x 4 Defiimos vector asociado a u maxtérmio M i de variables, al obteido colocado e las posicioes correspodietes a las variables NO complemetadas, y colocado e las posicioes correspodietes a las variables complemetadas. Ejp: M = x + x 2 + x 3 + x 4 3

14 Propiedades Dadas las fucioes booleaas, f, g, las siguietes fucioes f*g, f+g, g, tambié so booleaas. f*g(x) = f(x) * g(x) x = (x,x,...,x ) B Teorema de Dualidad. 2 f+g(x) = f(x) + g(x) x = (x,x,...,x ) B 2 g(x) = g(x) x = (x,x,...,x ) B 2 Si a ua idetidad o teorema de comutació se sustituye {+,*,,} por {*,+,,} respectivamete, se obtiee otra idetidad o teorema dual al origial. Teorema de DeMORGAN. x + x x = x * x *... * x 2 2 x * x *... * x = x + x x 2 2 4

15 Teorema de SHANON (Teorema geeralizado de DeMorga). f(x,x 2,..., x,*, +,,) = f(x,x 2,..., x, +,*,,) Teorema de los mitérmios para variables. 2 i= m (x,x,...,x ) = i 2 Teorema de los maxtérmios para variables. 2 i= M (x,x,...,x ) = i 2 5

16 Teorema del desarrollo de Shao, para mitérmios, para ua fució f(x) = f(x,x 2,...,x ), de variables. [ 2 ] [ 2 ]... [(x * x 2 *...* x ) * f(,,...,)] = [ m * f(,,...,)] +[ m * f(,, ] f(x) = (x * x *...* x ) * f(,,...,) + (x * x *...* x ) * f(,,...,) =...,) m * f(,,...,) 2 - Teorema del desarrollo de Shao, para maxtérmios, para ua fució f(x) = f(x,x 2,...,x ), de variables. [ 2 ] [ 2 ] *... * [(x x 2... x ) f(,,...,)] [ M f(,,...,)]* [ M f(,,...,)]*... * M + f(,,...,) f(x) = (x + x x ) + f(,,...,) * (x + x x ) + f(,,...,) * = =

17 Como cosecuecia del teorema del desarrollo de Shao para mitérmios, teemos que toda fució f(x), admite ua represetació, que deomiaremos forma caóica disyutiva, formada por la suma de los mitérmios cuyos vectores asociados V K verifica que f(v K )=. f(x) = m dode f(v ) = k k Como cosecuecia del teorema del desarrollo de Shao para maxtérmios, teemos que toda fució f(x), admite ua represetació, que deomiaremos forma caóica cojutiva, formada por el producto de los maxtérmios cuyos vectores asociados V K verifica que f(v K )=. f(x) = M dode f(v ) = k k 7

18 Teorema para obteer la fució complemetada de ua dada e forma caóica disyutiva. Dada ua fució g(x), expresada e forma caóica disyutiva, su fució complemetada g(x), estará dada por la suma de los mitérmios que o aparece e g(x). Teorema para obteer la fució complemetada de ua dada e forma caóica cojutiva. Dada ua fució g(x), expresada e forma caóica cojutiva, su fució complemetada g(x), estará dada por el producto de los maxtérmios, que o aparece e g(x). 8

19 Formas de represetació a) Esquemas de Circuitos U circuito electróico, descrito a ivel de dispositivos, puede ser cosiderado como ua forma de represetar a la fució booleaa que implemeta b) Diagrama de puertas lógicas Cosiste e represetar ua fució, mediate su implemetació utilizado puertas lógicas c) Expresió algebraica Permite ua represetació más compacta, pero la iformació se preseta más oculta 9

20 d) Métodos de eumeració d.)tabla de verdad. Listado que de forma explícita represeta el resultado de la fució, para cada ua y todas las combiacioes de las etradas d.2) Vector de valores. Vector formado por el resultado de la fució, e el orde creciete de las combiacioes e las variables de etrada d.3) Mitérmios. La fució e forma caóica disyutiva d.4) Maxtérmios. La fució e forma caóica cojutiva e) Mapas de Karaugh Es ua represetació gráfica de la tabla de verdad mediate ua matriz bidimesioal, dode cada posible combiació de los valores biarios de las variables de etrada, está represetada por ua celda ó casilla. Las etradas está ordeadas e código Gray, de forma que dos casillas adyacetes (horizotal ó verticalmete), sólo tiee distito valor e ua de las etradas 2

21 Mapas de Karaugh de 3 variables y de 4 variables x, x 2 x x, x 2 x 3, x

22 Mapa de Karaugh de 5 variables x 2, x 3 x 2, x 3 x 4, x 5 x 4,x x = x = 22

23 Mapa de Karaugh de 6 variables x 3, x 4 x 5, x x x 2 = x 3, x 4 x 5, x x x 2 = x 3, x 4 x 3, x 4 x 5, x 6 x 5, x x x 2 = x x 2 = 23

24 Fucioes booleaas y circuitos combiacioales x z x 2 z 2 x m z Para implemetar u circuito digital combiacioal de m etradas y salidas, será ecesario implemetar fucioes booleaas cada ua de ellas depediete de m variables. f (x, x 2,..., x m) f 2(x, x 2,..., x m)... f (x, x,..., x ) 2 m 24

25 Puertas lógicas 25

26 Puertas lógicas fudametales x NOT z z = x NOT x y AND z z = x y AND x y OR z z = x + y OR 26

27 Puertas lógicas derivadas x y XOR z z = x y = x y + x y XOR x y NAND z z = x y NAND x y NOR z z = x + y NOR x y XNOR z z = x y XNOR 27

28 Ejemplo de fució booleaa 28

29 Diagrama de circuitos v x v x2 v x3 v x4 v z 29

30 Diagrama de puertas lógicas 3

31 Expresió algebraica f(x,x 2,x 3,x 4) = (x *x 2) + (x 3 *x 4) Tabla de verdad x x 2 x 3 x 4 z 3

32 Vector de salida f(x,x 2,x 3,x 4 ) = (,,,,,,,,,,,,,,,) Forma caóica disjutiva f(x,x,x,x) = m(,,2,4,5,6,8,9,) Forma caóica cojutiva f(x,x,x,x) = M(3,7,,2,3,4,5) Mapa de Karaugh. x,x 2 x 3,x 4 32