SESION 15 DISTRIBUCIONES DE MUESTREO

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1 SESION 15 DISTRIBUCIONES DE MUESTREO I. CONTENIDOS: 1. Distribució de muestreo. 2. Distribucioes de muestreo de la media 3. Media, mediaa y moda, así como su relació co la desviació estádar de las distribucioes de muestreo. 4. Teorema del límite cetral, métodos de iferecia estadística. II. OBJETIVOS: Al térmio de la Clase, el alumo: Comprederá co exactitud sesgos a la izquierda o derecha, leptocurtosis, platicurtosis y mesocurtosis. III. PROBLEMATIZACIÓN: Cometa las pregutas co tu Asesor y seleccioa las ideas más sigificativas. De qué tamaño debe ser ua muestra represetativa de la població de alumos de tu grupo? Cuátas posibles muestras de cico elemetos habrá e ua població de mil? IV. TEXTO INFORMATIVO-FORMATIVO: 1.1. Distribució de muestreo Las distribucioes de muestreo describe la probabilidad co que ocurre los valores de u estadígrafo que se ha medido e diferetes muestras. Forma la base de la estadística iferecial. Simbología de estadígrafos y parámetros: Idicador Parámetro Estadígrafo Tamaño N Media µ X Mediaa µ M e Moda µ M o Variaza 2 Desviació estádar S 2 S Además se tiee, los siguietes símbolos: µ x Media de la distribució muestral de medias. 2 x Variaza de la distribució muestral de medias. x Desviació estádar de la distribució muestral de medias. 61

2 MUESTREO CON REEMPLAZO Cosiste e extraer elemetos de la població, para registrar las categorías de sus variables, y luego reitegrarlos a la població. De este modo, absolutamete todos los elemetos de la població tiee la misma oportuidad de participar e la formació de la muestra. Para calcular el úmero de muestras posibles e el muestreo co reemplazo se eleva el tamaño de la població (N) a la potecia tamaño de la muestra () úmero de muestras diferetes N MUESTREO SIN REEMPLAZO E el muestreo si remplazo; cada elemeto, que se extrae para registrar las categorías de sus variables, o se reitegra a la població. De este modo, e cada ueva elecció participa u meor úmero de elemetos de la població. El cálculo del úmero de muestras posibles e el muestreo si reemplazo es la combiació de N elemetos tomados de e N! úmero de muestras diferetes!( N )! Ejemplo 1 Se tiee ua població de 50 objetos y se quiere extraer ua muestra de tamaño 3. a) Cuátas muestras diferetes se puede extraer co reemplazo? b) Cuátas muestras diferetes se puede extraer si reemplazo? Para el iciso a) úmero de muestras diferetes N Para el iciso b) úmero de muestras diferetes N! 50! 19600!( N )! 3!(50 3)! 2.1. Distribucioes de muestreo de la media (dmm) Las distribucioes de muestreo de la media cosiste e la descripció de todas medias de las muestras posibles, el úmero de éstas lo determia si el muestreo se hace co o si reemplazo. Ejemplo 2 Los datos siguietes represeta el úmero de hijos profesioistas por familia 1, 0, 2, 3, 2, 4, 1, 0 a) Bajo la codició de muestreo co reemplazo, determiar el total de muestras posibles de tamaño 2 y aotemos las muestras. b) Bajo la codició de muestreo si reemplazo, determiar el total de muestras posibles de tamaño 2 y aotemos las muestras c) Bajo la codició de muestreo co reemplazo, expresar la dmm d) Bajo la codició de muestreo si reemplazo, expresar la dmm Para el iciso a) Como el muestreo es co reemplazo se usa N 8 y 2 e la fórmula: 2 úmero de muestras diferetes N 8 64 Las muestras posibles se puede expresar formado bias de cada elemeto cosigo mismo y co todos los demás. E la tabla siguiete se describe las muestras: 62

3 (1, 1) (1, 0) (1, 2) (1, 3) (1, 2) (1, 4) (1, 1) (1, 0) (0, 1) (0, 0) (0, 2) (0, 3) (0, 2) (0, 4) (0, 1) (0, 0) (2, 1) (2, 0) (2, 2) (2, 3) (2, 2) (2, 4) (2, 1) (2, 0) (3, 1) (3, 0) (3, 2) (3, 3) (3, 2) (3, 4) (3, 1) (3, 0) (2, 1) (2, 0) (2, 2) (2, 3) (2, 2) (2, 4) (2, 1) (2, 0) (4, 1) (4, 0) (4, 2) (4, 3) (4, 2) (4, 4) (4, 1) (4, 0) (1, 1) (1, 0) (1, 2) (1, 3) (1, 2) (1, 4) (1, 1) (1, 0) (0, 1) (0, 0) (0, 2) (0, 3) (0, 2) (0, 4) (0, 1) (0, 0) Para el iciso b) Como el muestreo es si reemplazo la fórmula es: N! úmero de muestras diferetes!( N )! Si N 8 y 2 8! 2! (8 2 )! ( 720 ) 28 Las diferetes muestras se obtiee combiado cada elemeto co los demás que tiee a su derecha. No se debe hacer la combiació co elemetos a la izquierda. (1, 0) (1, 2) (1, 3) (1, 2) (1, 4) (1, 1) (1, 0) (0, 2) (0, 3) (0, 2) (0, 4) (0, 1) (0, 0) (2, 3) (2, 2) (2, 4) (2, 1) (2, 0) (3, 2) (3, 4) (3, 1) (3, 0) (2, 4) (2, 1) (2, 0) (4, 1) (4, 0) (1, 0) Para el iciso c) Se suma los elemetos de las muestras co reemplazo y el resultado se divide etre dos para obteer las medias de cada muestra Para el iciso d) Se suma los elemetos de las muestras si reemplazo y el resultado se divide etre dos para obteer las medias de cada muestra

4 3.1. Media, mediaa y moda, así como su relació co la desviació estádar de las distribucioes de muestreo E las distribucioes de muestreo de la media es posible calcular la media, la mediaa, la moda y la desviació estádar. Si se obtiee la media de la dmm el valor es igual al de la media de la població. Si el muestreo se hace co reemplazo, o cuado el tamaño de las muestras es meor al 5% del tamaño de la població, la desviació estádar de la dmm es igual a la desviació estádar de la població etre la raíz cuadrada del tamaño de las muestras. x Pero si el muestreo se hace si reemplazo, hay que agregar u factor de correcció que es igual a la raíz cuadrada del cociete de la diferecia del tamaño de la població y el de la muestra etre el tamaño de la població meos uo. x N N 1 La expresió aterior se cooce tambié como error de muestreo. Es la desviació e la distribució de muestreo de la media. La gráfica de esta distribució se aproxima a la distribució ormal coforme aumeta el tamaño de las muestras, y además co ello dismiuye el error de muestreo. Esto tiee grades aplicacioes e los estudios de poblacioes eormes, pues es ua medida de la precisió. Ejemplo 3 Para los datos del ejemplo 2, ecuetra la media, la mediaa, la moda y la desviació estádar de la dmm, para el muestreo si reemplazo. La dmm es: Ordeado los datos: 0, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 1, 1, 1, 1, 1, 1.5, 1.5, 1.5, 1.5, 1.5, 1.5, 2, 2, 2, 2, 2, 2.5, 2.5, 2.5, 2.5, 3, 3, 3.5 Segú los temas vistos e la clase 4 La mediaa es 1.5 La moda es 1.5 La media es Como se puede comprobar, la mediaa y la media de la població coicide co la media y la mediaa de la dmm. La desviació estádar de la dmm es La desviació estádar de la població es Sustituyedo esta última e la expresió del error de muestreo: x N N Los últimos dos ejemplos ha de ser útiles para compreder mejor el Teorema del límite cetral. 64

5 4.1. Teorema del límite cetral, métodos de iferecia estadística El Teorema del límite cetral establece que si se matiee u muestreo aleatorio y el tamaño de la muestra es mayor a 30, etoces la media de la distribució de muestreo de la media es igual a la media de la població y la desviació estádar de la distribució muestreo de la media es igual al error de muestreo. Además la distribució de muestreo de la media es aproximadamete ormal si el tamaño de la muestra es mayor a 30, por lo que es posible hacer cálculos de probabilidad como se estudió e la clase 13. Este Teorema es posiblemete el cocepto más importate de la teoría estadística, su aplicació se extiede al cálculo de los límites de cofiaza o al tamaño de ua muestra, etre otros. MÉTODOS DE INFERENCIA ESTADÍSTICA La estimació de parámetros a partir de los estadígrafos del muestreo, se puede dar como ua estimació de puto al asociar directamete el estadígrafo co el parámetro correspodiete. Se utiliza e la estimació de puto el error de muestreo para idicar lo precisa que es. Se puede hacer ua estimació utilizado la desviació estádar de la muestra e lugar de la desviació estádar de la població, pues a meudo se descooce. Tambié existe la estimació de itervalo, e dode se aprovecha la distribució ormal que tiee la dmm. Se da u ivel de cofiaza del 95%, por lo geeral, de que el valor del parámetro está etre u par de límites que forma el itervalo de cofiaza. Ua distribució puede teer sesgos, esto ya se explicó e la clase 5, pero la cutosis es el grado de distorsió e el setido vertical co respecto a la curva ormal. Se llama leptocurtosis si se tiee u pico elevado, mesocurtosis si la curva es poco elevada, y platicurtosis si la curva es más bie aplaada. Bie, termiamos! V. ESTRATEGIAS CENTRADAS EN EL APRENDIZAJE: A. Realiza las siguietes actividades. 1. Dado u uiverso de tamaño 20 determia el total de muestras de tamaño 5, 7, 10, 13 co reemplazo. 2. Los datos siguietes represeta el igreso mesual de 6 persoas. 5, 500, 3,800 12,000 4,500 3,000 a) Bajo la codició de muestreo si reemplazo, determia el total de muestras posibles de tamaño 2 y aótalas. b) Aota la distribució de muestreo de la media. c) Calcula la media y desviació estádar de la dmm. 3. Estima el error de muestreo de la media y efectúa ua estimació de puto apropiada a partir de los datos de las muestras dadas a cotiuació. a) b) c) d) x 37 S 3.7 x 75 S 1.6 x 50, 000 S 7500 x 1 S.05 65

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