1. Teorema del Límite Central. Como se dijo varias clases atras si tenemos n variables aleatorias, cada una de. X i = X. n = 1 n.

Transcripción

1 1. Teorema del Límite Cetral Teorema: ea Y 1, Y,..., Y variables aleatorias idepedietes idéticamete distribuidas co EY i = µ y V Y i = <. Defiamos U = Y µ dode Y = 1 i=1 Y i. Etoces, la fució de distribució de U coverge a la fució de distribució ormal estádar coforme. Como se dijo varias clases atras si teemos variables aleatorias, cada ua de ellas X i Berp, etoces Y = X i Bi, p, esto co el coocimieto i=0 de que las X i so idepedietes, todas ellas co E[X i ] = p y V [X i ] = p1 p. Cuado ese es grade, etoces [ Y Es claro que E Y p1 p = y esa ueva variable tiee distri- bució Y N p, ] = p y V p1 p Y = 1 X i = X i=0. Distribucioes muestrales relacioadas co la distribució ormal Defiició: U estadístico es ua fució de las variables aleatorias que puede observarse e ua muestra y las costates coocidas. Teorema: i Y 1, Y,..., Y es ua muestra aleatoria de tamaño de ua distribució ormal co media µ y variaza, etoces Ȳ = 1 i=1 Y i tiee ua distribució ormal co media µ Ȳ = µ y variaza Ȳ = /. Es claro etoces que Z = Ȳ µȳ = Ȳ µ Ȳ / = Ȳ µ 1

2 Que como sabemos por teorema del límite cetral coverge a ua distribució ormal estádar. Ejemplo. La Agecia para la Protecció del Ambiete de EE.UU. desea establecer ormas que regule la catidad de químicos tóxicos arrojados e río y lagos de agua dulce. Ua medida comú de la toxicidad de cualquier cotamiate es la cocetració de éste que mataría a la mitad de los especímees de prueba e determiado tiempo por lo geeral, 96 horas e el caso de los peces. Esta medida recibe el ombre de CL50 cocetració letal que mata 50 % de los especímees de prueba. E muchos estudios los valores del logaritmo atural de las medicioes de CL50 adopta ua distribució ormal, por lo que el aálisis se basa e los datos del lcl50. Los estudios de los efectos del cobre e cierta especie de peces A demuestra que la variaza de las medicioes del lcl50 está alrededor de 0.4, co las medicioes de la cocetració expresadas e miligramos por litro. i se va a realizar 10 estudios de CL50 para el caso del cobre, ecuetre la probabilidad de que la media muestral y la media real de lcl50 o difiera e más de 0.5. Teemos como datos que = 0,4 y = 10. Queremos calcular P Ȳ µ < 0,5. Como los datos proviee de ua distribució ormal, etoces podemos aproximar co el TLC P Ȳ µ < 0,5 = P 0,5 < Ȳ µ < 0,5 = P 0,5 10 Ȳ µ 0,5 10 < < 0,4 0,4 = P,5 < Z <,5 = 0,9876. Ejemplo. Ahora supoga que los efectos del cobre e otra especie B de peces idica que la variaza de las medicioes del lcl50 es 0.8. i las medias de las poblacioes del lcl50 de las dos especies so iguales, calcule la probabilidad de que la media muestral de la especie A sea mayor a la media muestral de la especie B por lo meos ua uidad, si se toma muestras aleatorias de 10 medicioes de cada especie. e tiee que µ A = µ B, ya del ejercicio aterior sabiamos que A = 0,4 y ahora que B = 0,8. Tambié teemos que A = B = 10. Queremos coseguir P ȲA Ȳ B > 1. Como es la resta de dos variables co distribució ormal, etoces la resta de ellas dos tambié será ormal. Como las medias poblacioales so iguales, etoces µ A µ B = 0, y como so especies distitas, asumiremos que los efectos so idepedietes, por lo cual V ȲA ȲB = V ȲA + V ȲB = A A + B B = 0, ,8 10 = 1, 10. Luego

3 3 P ȲA ȲB > 1 = P ȲA ȲB 0 V Ȳ A ȲB > 1 1, = P Z >,88 = 0, Teorema: i Y 1, Y,..., Y se defie como e el teorema aterior, etoces Z i = Y i µ so variables aleatorias ormales estádar e idepedietes, dode i = 1,,..., y Zi = i=1 i=1 Yi µ tiee ua distribució χ co grados de libertad. Teorema: i Y 1, Y,..., Y es ua muestra aleatoria de ua distribució ormal co media µ y variaza, etoces 1 = 1 Yi Ȳ i=1 tiee ua distribució χ co 1 grados de libertad. De la misma maera, Ȳ y so variables aleatorias idepedietes. Ejemplo. Para el mismo ejemplo aterior, supoga que se toma = 0 observacioes respecto a las medicioes de lcl50 y que =. ea la variaza muestral de las 0 medicioes. a Ecuetre u úmero b para el cual P b = 0,975. b Ecuetre u úmero a tal que P a = 0,975. c i a y b so los valores ateriores, calcule P a b. a P b = 0,975 P 1 1b = 0,975 P χ > 19b = 0,05 e busca e la tabla para χ 0,05 co 19 grados de libertad, que es 3.9, luego 19b = 3,9 b =,4. b P a = 0,975 P 1 1a = 0,975 P χ 19a = 0,975

4 4 e busca para χ 0,975 co 19 grados de libertad, y se obtiee 8.91, por lo tato 19a = 8,91 a = 0,65. c Ahora queremos P 0,65,4 = P 8,91 χ 3,9 = 0,975 0,05 = 0,9500. Defiició: ea Z ua variable aleatoria ormal estádar, y W ua variable co ua distribució χ co ν grados de libertad. Etoces, si Z y W so idepedietes, T = Z W/ν se dice que tiee distribució t co ν grados de libertad g.l.. Ahora supogamos que Y 1, Y,..., Y es ua muestra aleatoria de ua població ormal de media µ y variaza, etoces Z = Ȳ µ/ se distribuye ormal estádar y W = 1 / se distribuye χ co 1 grados de libertad. Como Z y W so idepedietes sigue que T = Z Ȳ µ/ = W/ν [ 1 / ]/ 1 = Ȳ µ. tiee distribució t co 1 grados de libertad. Defiició: i W 1 y W so variables aleatorias idepedietes que tiee ua distribució χ co ν 1 y ν grados de libertad, respectivamete, etoces F = W 1/ν 1 W /ν se dice que tiee distribució F co ν 1 grados de libertad e el umerador y ν grados de libertad e el deomiador. i W 1 = 1 1 1/ 1 y W = 1 / tiee distribucioes χ idepedietes co ν 1 = 1 1 y ν = 1 grados de libertad, respectivamete; etoces F = W 1/ν 1 = [ 1 11/ 1]/ 1 1 W /ν [ 1 / ]/ = 1/1 /. tiee distribució F co 1 1 grados de libertad e el umerador y 1 grados de libertad e el deomiador.

5 5 Ejemplo. ea 1 la variaza muestral de ua muestra aleatoria de 10 valores del lcl50 para el cobre y sea la variaza muestral de ua muestra aleatoria de 8 valores de lcl50 para el plomo. e utilizaro muestras de la misma especie de peces. upoga que la variaza de la població de medicioes respecto al cobre es el doble de la variaza de la població de medicioes correspodiete respecto al plomo. upoga, además, que 1 y so idepedietes. a Ecuetre u úmero b tal que P 1 b = 0,95. b Ecuetre u úmero a para el cual P a 1 = 0,95. a Queremos coseguir P 1 b = 0,95 P 1 /1 / b 1 = 0,95 P F b = 0,95 P F > b = 0,05. Buscamos e la tabla de la distribució F para 0,05 co 9 grados de libertad e el umerador y 7 grados de libertad e el deomiador, luego b = 3,68 b = 7,36. b Usaremos que P X/Y k = P Y/X 1/k. P 1 a = 0,95 P 1 < a = 0,05 P 1 1 = 0,05 P / a 1 / 1 = 0,05 a e busca e la tabla de la distribució F para 0,05 co 7 grados de libertad e el umerador y 9 grados de libertad e el deomiador, etoces a = 3,9 a = 3,9 a = 0,61.