Fracciones. Objetivos. Antes de empezar. 1. Fracciones...pág. 24 Fracciones Equivalentes Simplificación de Fracciones

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1 Fracciones Objetivos En esta quincena aprenderás a Ver si dos fracciones son equivalentes. Simplificar fracciones. Reducir fracciones a igual denominador. Sumar restar fracciones. Multiplicar dividir fracciones. Obtener la inversa de una fracción. Calcular potencias de una fracción. Hallar la raíz cuadrada de una fracción. Antes de empezar 1. Fracciones....pág. Fracciones Equivalentes Simplificación de Fracciones.Fracciones con igual denominador pág. Reducción a común denominador Comparación de fracciones.operaciones con fracciones... pág. Suma resta Producto Cociente Potencia Raíz cuadrada Operaciones combinadas. Problemas de aplicación... pág. Ejercicios para practicar Para saber más Resumen Autoevaluación Soluciones MATEMÁTICAS º ESO 1

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3 Antes de empezar El trabajo con fracciones a no es nuevo para ti. Ya sabes que una fracción puede verse desde una triple perspectiva. Puedes ver una fracción simplemente como un número. También como una parte de un total. O también puedes interpretar una fracción como un porcentaje. Recuerda Para trabajar con fracciones necesitarás en ocasiones obtener la descomposición factorial de un número, así como calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números. Para descomponer en factores un número lo dividimos por el primer número primo que podamos. Si podemos seguimos dividiendo sucesivamente el cociente por el mismo número primo. Cuando no podamos hacer la división por ese número primo lo hacemos por el siguiente primo que se pueda. Así sucesivamente hasta que el cociente final sea 1. Finalmente ponemos ese número como un producto de potencias de factores primos. El mínimo común múltiplo de varios números naturales es el número natural más pequeño que es múltiplo de todos esos números a la vez, exceptuando el número 0. MATEMÁTICAS º ESO

4 1. Fracciones Fracciones Equivalentes Halla el valor de.dan el mismo resultado. Son dos fracciones equivalentes. Si a b c d, a d reciben el nombre de extremos, b c se llaman medios. En el ejemplo los extremos son, los medios. Observa que si los multiplicamos se obtiene igual resultado. Vamos a comprobar si las fracciones siguientes son o no equivalentes. 1 1 Los extremos de las fracciones 1 Su producto vale 1 Los medios de las fracciones 1 Su producto es 1 Por lo tanto son equivalentes 1 1 Ejercicios Comprueba si las siguientes fracciones son o no son equivalentes Simplificación de fracciones Si divides por el numerador el denominador de 1 obtienes, que es equivalente. Ahora puedes 1 dividir entre. Obtienes que no se puede simplificar. Es irreducible. 1 Resumiendo 1 que es irreducible. PISTA 0? 01?? 1? Vamos a simplificar la fracción siguiente 1 Numerador denominador se pueden dividir por 1 Numerador denominador se pueden dividir por 1 Al dividir numerador denominador de una fracción por un mismo número, se obtiene una fracción equivalente. 1 es una fracción irreducible MATEMÁTICAS º ESO

5 . Fracciones con igual denominador Reducción a común denominador Fracciones Vamos a reducir a igual denominador las fracciones 0 Hallamos el m.c.m. de los denominadores m.c.m. (0,) 10 que será el nuevo denominador de las fracciones. Dividimos el m.c.m entre el primer denominador 10 0 multiplicamos el resultado por el primer numerador 1, que será el nuevo primer numerador. Ahora el m.c.m lo dividimos entre el segundo denominador 10 multiplicamos el resultado por el segundo numerador 10, que será el nuevo segundo numerador. Así, las fracciones quedan PISTA m.c.m.(1, 10) 0 m.c.m.(, 10) 10 1 Considera las fracciones. Para compararlas realizar cálculos podemos usar otras fracciones equivalentes con igual denominador. 1 Al dividir numerador denominador de una fracción por un mismo número, se obtiene una fracción equivalente. Ejercicios Reduce a común denominador Comparación de fracciones Vamos a comparar las fracciones 1 Hallamos el m.c.m. de los denominadores m.c.m. (1, ) Reducimos las dos fracciones a denominador común 1 1 Ahora a podemos comparar las fracciones 1 < luego < 1 PISTA m.c.m. (, ) m.c.m. (1, ) 1 m.c.m. (1, )? m.c.m. (, )? Qué fracción es maor, o Vamos a reducirlas a común denominador? La primera fracción es maor > Ejercicios Compara las siguientes fracciones Es conveniente que uses los símbolos maor que, >, menor que, < MATEMÁTICAS º ESO

6 . Operaciones con fracciones Suma resta Para sumar fracciones de denominador igual deja el denominador suma los numeradores. Si son fracciones de distinto denominador las reduciremos primero a común denominador. Es lo mismo 1 que Ejercicio resuelto Simplifica cada fracción calcula En primer lugar simplifico las fracciones 10 1 ; 1 1 Queda ; Ahora opero Calculo m.c.m. (,,) La solución es 1 Ejercicios Calcula el valor de PISTA Intenta simplificar primero cada fracción 1 Después calcula el m.c.m. de los Producto de fracciones denominadores. (Será el nuevo denominador) Divide el m.c.m. por cada denominador multiplícalo por su correspondiente numerador. (Obtendrás los nuevos numeradores) Ya puedes sumar o restar las fracciones. La figura representa a Vamos a hallar de.dividimos en tres partes tomamos dos Ejercicio resuelto Vamos a calcular el valor del siguiente producto 1 0 Si es posible simplificamos las fracciones 1 1 es irreducible 0 1 Multiplicamos los numeradores denominadores 1 1 Del total, tenemos Si es posible, simplificamos el resultado. 1 En este caso es irreducible. MATEMÁTICAS º ESO

7 . Operaciones con fracciones Ejercicio resuelto Vamos a calcular el valor del siguiente cociente 10 1 Si es posible simplificamos las fracciones Multiplicamos numeradores denominadores en cruz Si es posible, simplificamos el resultado PISTA Intenta simplificar primero cada fracción Multiplica numeradores denominadores en cruz Si es posible, simplifica el resultado Cociente de fracciones Dos fracciones son inversas si su producto es 1. Por ejemplo lo son pues 1 Y escribiremos 1. En general 1 d c c d Para dividir fracciones multiplica en cruz Ejercicios Calcula el valor de los cocientes Potencia de una fracción Cuánto vale? Desarrollemos la potencia Ejercicio resuelto Vamos a obtener el valor de Elevamos numerador denominador al exponente Calculamos la potencia 1 0 Para obtener la potencia de una fracción debes efectuar el cociente entre las potencias del numerador el denominador. Recuerda n a b a b n n a 0 1 b Ejercicios Calcula el valor de las potencias 1 MATEMÁTICAS º ESO

8 . Operaciones con fracciones Raíz cuadrada de una fracción Para obtener la raíz cuadrada de una fracción, haz la raíz del numerador el denominador. La razón es que también luego, habrá una raíz positiva una negativa. Recuerda a b a b a b Ejercicio resuelto Vamos a obtener el valor de 1 Hallamos la raíz del numerador denominador Por ser raíz cuadrada ha otra solución 1 1 Ejercicios Calcula el valor de Operaciones combinadas con fracciones Para realizar operaciones combinadas con fracciones ha una serie de cuestiones que conviene tengas en cuenta El orden de las operaciones es de izquierda a derecha. Las multiplicaciones divisiones se realizan antes que las sumas restas. Si aparecen paréntesis, sus operaciones tienen prioridad. Los paréntesis anidados se realizan de dentro a fuera. No suele ser conveniente que esperes al final del ejercicio para simplificar. Ejercicios Calcula el valor de Ejercicio resuelto Vamos a obtener el valor de Operamos por separado en el numerador denominador Dividimos, multiplicando en cruz Si es posible, simplificamos el resultado MATEMÁTICAS º ESO

9 . Problemas de aplicación PROBLEMA 1. La semana pasada he leído 1 de un libro. A lo largo de esta semana he podido leer del resto. En total he leído páginas del libro. Cuántas páginas en total tiene el libro? Solución 10 páginas PROBLEMA. Hemos vaciado agua contenida en un barril, en 1 recipientes de litros cada uno. Todos han quedado llenos salvo uno que se ha llenado por la mitad. En el barril han sobrado 1 litros. Cuántos litros de agua contenía el barril? Solución, litros PROBLEMA. Esta previsto destinar 1 de una finca a plazas de aparcamiento. Pero se han destinado de lo previsto a zonas ajardinadas. Qué fracción de la finca se ha destinado finalmente a zonas de aparcamiento? Solución para aparcamientos PROBLEMA. De un depósito de cereales se han extraído los 10. Al día siguiente se extrae 1 del resto. Qué fracción del total se ha extraído del depósito? 1 Solución del total 0 MATEMÁTICAS º ESO

10 1. Son equivalentes EJERCICIOS resueltos Fracciones equivalentes. Simplificación ? El producto de extremos vale 1 0 el producto de medios Los dos productos no coinciden, por lo tanto, no son equivalentes 10. Simplifica la fracción 0 Numerador denominador se pueden dividir por Numerador denominador se pueden dividir entre 1 Numerador denominador se pueden dividir entre 1 1 es irreducible. Fracciones con igual denominador 1 1. Reduce a igual denominador las fracciones 10 1 Hallamos el m.c.m. de los denominadores m.c.m. (10,1) 00 que será el nuevo denominador. Dividimos el m.c.m entre el primer denominador Multiplicamos el resultado por el primer numerador 1 1, que será el nuevo primer numerador. Ahora el m.c.m lo dividimos entre el segundo denominador 001. Y multiplicamos el resultado por el segundo numerador 1 0, que será el nuevo segundo numerador. 1 0 Así, las fracciones quedan, fracciones con igual denominador Reduce a igual denominador las fracciones, 1 Hallamos el m.c.m. de los denominadores m.c.m. (, 1,) que será el nuevo denominador de las fracciones. Dividimos el m.c.m entre cada denominador, multiplicando el resultado por el correspondiente numerador Así, las fracciones quedan,. 0 MATEMÁTICAS º ESO

11 EJERCICIOS resueltos (continuación). Simplifica cada fracción calcula Operaciones con fracciones 1 En primer lugar simplifico las fracciones Queda ; ; es irreducible Calcula el valor del siguiente producto Si es posible simplificamos las fracciones Multiplicamos los numeradores denominadores Si es posible, simplificamos el resultado. 100 Fracciones. Calcula el valor del siguiente cociente 1 0 Si es posible simplificamos las fracciones. En este caso ambas son irreducibles. Multiplicamos numeradores denominadores en cruz 1 0 Y, si es posible, simplificamos el resultado Calcula la siguiente potencia Elevamos numerador denominador al exponente Calculamos las potencias 1 MATEMÁTICAS º ESO 1

12 EJERCICIOS resueltos (continuación). Indica las dos soluciones de la raíz Operaciones con fracciones Hallamos la raíz del numerador denominador Por ser raíz cuadrada ha otra solución 10. Calcula Operamos por separado en el numerador denominador Dividimos, multiplicando en cruz Si es posible, simplificamos el resultado Calcula Operamos primero el paréntesis Hacemos la potencia Sumamos 10 1 En este caso no podemos simplificar el resultado. es una fracción irreducible. 1. Calcula 1 0 Simplificamos el resultado 1 0. Dividimos multiplicando en cruz. MATEMÁTICAS º ESO

13 Equivalencia de fracciones 1. Comprueba si son o no equivalentes las siguientes fracciones Simplificar fracciones. Simplifica las siguientes fracciones Reducir a común denominador. Reduce a común denominador las siguientes fracciones 1, 0 1 1, , 1 1, Producto de fracciones. Calcula el valor del producto de las siguientes fracciones simplifica el resultado cuando sea posible Cociente de fracciones. Calcula el valor del producto de las siguientes fracciones simplifica el resultado cuando sea posible 1 10 Potenciación. Calcula el valor de las siguientes potencias simplifica el resultado cuando sea posible Suma resta de fracciones. Realiza las operaciones siguientes simplifica el resultado cuando sea posible Raíz cuadrada. Halla el resultado de las siguientes raíces. Da las dos soluciones posibles MATEMÁTICAS º ESO

14 Operaciones combinadas. Realiza las operaciones siguientes simplifica el resultado cuando sea posible 1. En una ciudad de 0 habitantes, practican deporte regularmente. Qué fracción del total no practican deporte con regularidad? Qué tanto por ciento es? Problemas con fracciones 10. Cuántos botellines de refresco de 1 de litro podemos llenar con 1 litros de refresco?. Expresa en forma de fracción el área de un rectángulo cua base mide m cua altura mide m. 1. Un camión contiene 00 Kg. de 1 patatas. Descarga de su carga. Del resto descarga los. Cuántos Kg. de patatas quedan? 1. La semana pasada he leído 1 de un libro. A lo largo de esta semana he podido leer del resto. En total he leído páginas del libro. Cuántas páginas en total tiene el libro? 1. Hemos vaciado agua contenida en un barril, en recipientes de litros cada uno. Todos han quedado llenos salvo uno que se ha llenado por la mitad. En el barril han sobrado 10 litros. Cuántos litros de agua contenía el barril? 1. Esta previsto destinar de una finca a plazas de aparcamiento. Pero se han destinado de lo previsto a zonas ajardinadas. Qué fracción de la finca se ha destinado finalmente a zonas de aparcamiento? 1. De un depósito de cereales se han extraído los. Al día siguiente se extrae 1 del resto. Qué fracción del total se ha extraído del depósito? MATEMÁTICAS º ESO

15 El Ojo de Horus Una fracción interminable Mira como está escrita esta fracción, La imagen de arriba, de origen egipcio, es el ojo de Horus, el Udat. Horus había perdido el ojo en combate, pero fue sustituido por el Udat por intervención del dios Thot. Para los antiguos egipcios, el Udat simbolizaba el estado de perfección le atribuían cualidades sanadoras. También les servía para escribir números. Es posible escribir cualquier fracción positiva como suma de fracciones de numerador la unidad. Una suma de este tipo se llama una fracción egipcia. Son fracciones egipcias Los jeroglíficos usados por los egipcios para escribir las fracciones más frecuentes en medidas agrarias de capacidad volumen, eran partes del Ojo de Horus Y si seguimos el proceso indefinidamente? Se obtiene una fracción continua, cuo resultado, no es una fracción! Con fracciones continuas pueden escribirse números tan importantes en matemáticas como φ, el número de oro. Puedes encontrar más información en la wikipedia Número de oro http//es.wikipedia.org/wiki/número_áureo Fracción continua http//es.wikipedia.org/wiki/fracción_continua MATEMÁTICAS º ESO

16 Cuándo son equivalentes dos fracciones? Cuando su producto de extremos medios coincide. a c si cumple adcd b d Cómo se simplifican fracciones? Debes dividir numerador denominador entre un mismo factor. Si el m.c.d. del numerador el denominador es la unidad, la fracción a no se puede simplificar más, es irreducible. m.c.d.(0,1) Si sabes el mcd del numerador el denominador, lo mejor es dividir directamente por esa cantidad. La fracción resultante será irreducible. Cómo se reducen fracciones a igual denominador? Divide el m.c.m. de los denominadores entre el denominador multiplica por el numerador. Cómo se suman restan fracciones? Deben tener el mismo denominador. Cómo se multiplican fracciones? Multiplica numeradores denominadores. Cómo se dividen fracciones? Multiplica en cruz los numeradores denominadores. Cómo se obtiene la potencia de una fracción? Eleva el numerador el denominador. Cómo se extrae la raíz de una fracción? Extrae la raíz del numerador el denominador MATEMÁTICAS º ESO

17 1. Halla una fracción irreducible equivalente a. 1. Sin simplificarlas, reduce a común denominador 1.. Calcula. Calcula 1. El resultado debe ser irreducible. 1 0 (en forma irreducible). 1. Obtén la fracción irreducible equivalente a Halla 1 10, expresado de forma irreducible. 0. Calcula. Simplifica el resultado.. Halla el valor de simplificado. 10. El resultado debe estar. Una rueda avanza metros para dar una vuelta. Cuántas vueltas debe dar para avanzar metros? 10. Halla 1. MATEMÁTICAS º ESO

18 Soluciones de los ejercicios propuestos en los Contenidos Fracciones equivalentes No son equivalentes, puesto que el producto de medios extremos no coinciden. No son equivalentes, puesto que el producto de medios extremos no coinciden. Reducción a común denominador Comparación de fracciones > 1 1 < 1 < < Suma resta Cociente de fracciones Potencias Raíces Operaciones combinadas Problemas de aplicación PROBLEMA 1. La semana pasada he leído 1 del libro. Me quedan por leer. Esta semana he leído del resto, es decir de. Del total he leído 1 1. Es decir, del total resultan ser páginas. Luego el total será Total 10 páginas PROBLEMA. Se han llenado 0 recipientes de de litro. Es decir 0 0 litros de agua. Uno ha quedado por la mitad. Son 0, litros más. Por último han sobrado 1 litros. En total tenemos, litros de agua en el barril PROBLEMA Para aparcamientos se había reservado 1 de la finca. Se ha usado de para zonas 1 ajardinadas. Para aparcamientos nos quedará del total Solución se habrá reservado para aparcamientos. PROBLEMA El primer día se sacó 10 del total. El segundo día se extrajeron 1 de Es decir, el segundo día se 1 sacaron (1- ) del 10 0 total. Solución La fracción del total 1 extraída ha sido MATEMÁTICAS º ESO

19 Soluciones de los ejercicios para practicar Fracciones Equivalencia de fracciones 1. No. Los productos cruzados no coinciden. No. Los productos cruzados no coinciden No. Los productos cruzados no coinciden Si.. 1 Simplificar fracciones Reducir a común denominador 1 1., , 1 1, 1 0, Suma resta de fracciones Cociente de fracciones Potenciación Raíz cuadrada Operaciones combinadas. 1 Problemas con fracciones 10. Podemos llenar 0 botellines de refresco.. El área del rectángulo es m 1. Quedan en el camión 0 Kg. De patatas. 1. No practican deporte con regularidad un del total, lo que supone un 1%. 1. El libro tiene en total páginas. 1. Han sobrado, litros del barril. 1. Se ha destinado del total de la finca una fracción de del 1 total. 1. La fracción del total extraída ha sido Producto de fracciones MATEMÁTICAS º ESO

20 Soluciones AUTOEVALUACIÓN vueltas MATEMÁTICAS º ESO