UNIDAD 1. NÚMEROS. (Página 223 del libro) Nivel II. Distancia. Ámbito Científico Tecnológico.

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1 UNIDAD 1. NÚMEROS. (Página 22 del libro) Nivel II. Distancia. Ámbito Científico Tecnológico.

2 Clasificación de los números Números naturales son aquellos que utilizamos para contar. N = 0,1,2,,,5,6, Números enteros se representan por Z. Z = 0, +1, 1, +2, 2, +,, Números racionales se expresan en forma de fracción de enteros. Q = 7 2 ; 6;,12; Números irracionales son raíces no exactas, por ejemplo, 2. Números reales son los racionales junto con los irracionales y se representan por R.

3 Repaso de Números Enteros

4 Regla de Signos Multiplicación o producto División o cociente + += + = + + = += +:+= + : = + +: = :+=

5 Producto de número de enteros Para multiplicar dos números enteros: Se calcula el producto de ambos. El resultado de la multiplicación tiene el signo que indique la regla de signos. Ejemplos: 8 7 = = = = 6

6 División de números enteros Para dividir dos números enteros: Se calcula la división de ambos. El resultado de la división tiene el signo que indique la regla de signos. Ejemplos: 8 : 2 = : 7 = +21 : + = +7 5 : +6 = 9

7 Suma de números enteros I. Si ambos números tienen el mismo signo se suman y se pone al resultado el signo del mayor = = +8 Si tienen signos diferentes se restan y pone el signo del mayor = = +1

8 Suma de números enteros II. Otra forma de expresar las sumas: 12 1 = = = 1 +5 = +1 Si un número no tiene signo entonces es positivo: = 11, el 15 sería = 6, el 2 sería +2

9 Resta de números enteros 1. Eliminamos paréntesis aplicando la regla de signos cuando sea necesario. 2. Una vez eliminados los paréntesis se opera como en la suma números enteros. Ejemplos: 12 1 = = = +5 = = 5 = 9 +5 = +5 + = +9

10 Potencias de números enteros de exponente positivo. Una potencia tiene la forma: b n Siendo b la base de la potencia. Y n el exponente. El exponente indica el número de veces que hay que multiplicar la base por sí misma. Ejemplo: = = = = 16 1 = = 1

11 Indicaciones sobre las potencias de base entera y exponente positivo. Una potencia elevado a cero tiene valor 1. Ejemplos: 18 0 = 1; +7 0 = 1; 29 0 = 1. Si la base es un número positivo, el resultado es positivo siempre. Ejemplos: +8 2 = = +6; 5 = = 125 Si la base es negativa y el exponente par, el resultado es positivo. Ejemplos: 2 = = +9; = +1 Si la base es negativa y el exponente impar, el resultado es negativo. Ejemplos: = = 27; 1 87 = 1

12 Propiedades de las potencias I Producto de potencias con la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes: = 5 +6 = 5 9 Cociente de potencias con la misma base, se mantiene la base y se restan los exponentes: 8 6 : 8 = 86 8 = 86 = 8 2

13 Propiedades de las Potencias II En la potencia de otra potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes: 9 2 = 9 2 = 9 6 La potencia de un producto es el producto de las potencias de los factores: 7 = 7 La potencia de un cociente es la división de las potencias del dividendo y el divisor: 8: 5 = 8 : 5

14 Ejemplo cálculo con potencias = = = = 61 1 = 6 = = = = 9 1 = 9 =

15 ATENCIÓN! Si la base no tiene paréntesis, el signo que aparece junto a la base debe aparecer en el resultado. Ejemplos: = = +81 = = 81 2 = = 8 2 = = 8

16 Raíces cuadradas de números enteros No se puede calcular la raíz cuadrada de un número entero negativo. 9 no existe 16 no existe La raíz cuadrada de un número entero positivo posee dos soluciones: una positiva y otra negativa: 9 = ± 16 = ±

17 Los números primos Un número es primo cuando es divisible por dos números: Por 1. Por sí mismo. Ejemplos de números primos: 2,, 5, 7, 11, 1, 17, 19,

18 Criterios de Divisibilidad I Un número es divisible entre 2 cuando termina en cifra par (0, 2,, 6 y 8). Ejemplos: 560 es divisible entre 2, pues termina en 0 que es par. 22 no es divisible entre 2, pues el no es par. 108 es divisible entre 2, pues termina en 8 que es par.

19 Criterios de Divisibilidad II Un número es divisible entre cuando al sumar todas sus cifras el resultado es múltiplo de. Ejemplos: 561 es divisible entre, pues 5+6+1=12 y si dividimos 12 entre el resto es cero. 22 no es divisible entre, pues 2+2+=7 y si dividimos 7 entre el resto no es cero. 108 es divisible entre, pues 1+0+8=9 y si dividimos 9 entre el resto es cero.

20 Criterios de Divisibilidad III Un número es divisible entre 5 cuando termina en 0 o 5. Ejemplos: 560 es divisible entre 5, pues termina en no es divisible entre 5, pues no termina ni en 0 ni en es divisible entre 5, pues termina en 5.

21 Descomposición en factores primos Descomponer un número en factores primos es expresarlo como producto de números primos. Ejemplo: Descompón los números 5, 2, 2 y 75.

22 Máximo Común Divisor Para calcular el mcd de varios números: 1. Se descompone cada número en factores primos. 2. Se multiplican los factores comunes de menor exponente. NOTA: Si no hay factores comunes el máximo común divisor es 1.

23 Ejemplo de máximo común divisor I Calcula el mcd(5, 2)

24 Ejemplo de máximo común divisor II Calcula el mcd(5, 2, 2)

25 Mínimo Común Múltiplo Para calcular el mcm de varios números: 1. Se descompone cada número en factores primos. 2. Se multiplican los factores comunes y no comunes de mayor exponente.

26 Ejemplo de mínimo común múltiplo I Calcula el mcm(5, 2)

27 Ejemplo de mínimo común múltiplo II Calcula el mcm(5, 2, 75)

28 Números Racionales

29 Concepto de Número Racional Un número racional es un cociente entre dos números enteros que se escriben a b. Siendo a el numerador y b es denominador. Ejemplos: se lee <<un medio>> se lee <<cinco tercios>> se lee <<siete cuartos>> se lee <<tres doceavos>>

30 Representación de Fracciones Para representar fracciones: 1. Se divide cada unidad en partes iguales, tantas como indique el denominador. 2. Se toman tantas partes como indique el numerador. Ejemplos: 9

31 Fracciones Equivalentes Las fracciones equivalentes son fracciones que teniendo distinto numerador y denominador representan la misma cantidad. Ejemplo: 1 y 2 son equivalentes pues representan la 2 misma porción de la unidad

32 Cómo comprobamos que dos fracciones son equivalentes? Dadas dos fracciones decimos que son equivalentes si al realizar los productos cruzados obtenemos el mismo resultado. Ejemplo: 2 y son equivalentes pues 12 = 6 y 2 18 = 6. 5 y 7 6 no son equivalentes pues 6 = 2 y 5 7 = 5.

33 Obtener Fracciones Equivalentes Si tenemos una fracción que queremos obtener una fracción equivalente a ésta, disponemos de dos procedimientos: Por ampliación. Por reducción o simplificación.

34 Cálculo de Fracciones Equivalentes por Ampliación Dada una fracción, obtenemos otra equivalente por ampliación, multiplicando el numerador y el denominador por el mismo número. Ejemplo: Si multiplicamos la primera fracción por 2,,, obtenemos fracciones equivalentes = 6 8 = 9 12 = 12 16

35 Cálculo de Fracciones Equivalentes por Reducción o simplificación Dada una fracción, obtenemos otra fracción equivalente por simplificación, dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número. No siempre existirá un mismo número que divida al numerador y al denominador de una fracción. La fracción que no puede simplificarse más se denomina fracción irreducible.

36 Ejemplo de simplificación. Dada la fracción 12 vamos a dividir el numerador y el 6 denominador entre 2, y la fracción resultante será dividida entre = 6 18 = 9 = 1 En este caso la fracción irreducible es 1, pues no podemos continuar simplificando.

37 Cómo comparar fracciones? Para comparar fracciones se reducen a común denominador y se comparan los numeradores. Para reducir a común denominador: 1. Obtenemos el mínimo común múltiplo de todos los denominadores. 2. El mcm es el denominador de las nuevas fracciones.. Los nuevos numeradores resultan de dividir el mcm entre cada denominador multiplicado por su correspondiente numerador.

38 Ejemplo de reducción a común denominador. Reduce a común denominador las fracciones:, 7 6 y Calculamos el mcm de los denominadores; es decir,, 6 y. mcm(,6,)=2 2 = 12

39 2. El mcm es el denominador de las nuevas fracciones., 7 6, 1 12, 12, 12. Obtenemos los nuevos numeradores., 7 6, 1 12:, 12: , 12: , 1 12, 12

40 Ordenar de menor a mayor Si deseamos comparar las fracciones del ejemplo anterior ordenándolas de menor a mayor:, 7 6, , 1 12, 12 Comparando los numeradores: 12 < 9 12 < < < 7 6

41 OPERACIONES CON FRACCIONES Nota: En cualquier operación, el resultado final siempre se simplifica.

42 Suma y Resta de Fracciones Para sumar o restar fracciones debemos seguir los siguientes pasos: 1. Reducimos las fracciones a común denominador. 2. Operamos los numeradores.. Simplificamos el resultado final hasta obtener la fracción irreducible.

43 Ejemplos de sumas y restas con fracciones. a) + 1 = +1 = = 1 1 = 1 b) 1 2 = 2 = 2 c) = = 1 + = = = 19 6 d) = = = 17 12

44 Multiplicación de fracciones Para multiplicar fracciones: 1. Se multiplican los numeradores y dicho producto es el numerador de la fracción resultado. 2. Se multiplican los denominadores y dicho producto es el denominador de la fracción resultado.. Simplificamos el resultado final hasta obtener la fracción irreducible.

45 Ejemplos de Multiplicación de Fracciones a) 2 = 2 = 6 = b) 1 = 1 = ( 1) = c) = 1 = 1 = = d) = = 15 = 5 2 8

46 La fracción como operador En matemáticas la preposición de hace referencia a la multiplicación. Ejemplos: 2 de 6 = 2 6 = = 12 = 1 = 2 de 6 5 = = = = 9 5

47 División de fracciones Para dividir fracciones se multiplican en cruz : 1. Se multiplica el numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda fracción, siendo este producto el numerador de la fracción resultado. 2. Se multiplica el denominador de la primera fracción con el numerador de la segunda fracción, siendo este producto el denominador de la fracción resultado.. Simplificamos el resultado final hasta obtener la fracción irreducible.

48 Ejemplos de División de Fracciones a) : 2 5 = 5 2 = 15 8 b) : 1 2 = : 1 2 c) 1 : = 1 : = 1 1 = = 2 = 6 = ( 1) 2 d) 1 : : 5 = 1 : 5 = : 5 = ( ) = 12 = 6 = ( ) e) 5 2 = : 5 2 = 2 5 = 6 20 = 10

49 Operaciones combinadas con fracciones. Cuando aparecen varias operaciones debemos realizar las operaciones según la jerarquía: 1. Paréntesis. 2. Potencias y raíces.. Productos y divisiones.. Sumas y restas. * Si dos operaciones tienen igual preferencia se calcula de izquierda a derecha.

50 Ejemplo de Operaciones Combinadas = = = = = = 12 = 11

51 Ejemplo para resolver castillos Para resolver un castillo se calcula el numerador por un lado y el denominador por otro. Finalmente, se divide el resultado del numerador entre el resultado del denominador = = = = 7 6 : 1 = = 28 6 = 1

52 Fracciones y Números Decimales I Dada una fracción podemos obtener su correspondiente número decimal dividiendo el numerador entre el denominador: Ejemplos: 5 = 1, = 0,666 = 0, 6 = 0,1666 = 0,16

53 Fracciones y Números Decimales II Dada una fracción podemos obtener tres tipos de números decimales: Decimales exactos, aquellos que tienen un número finito de cifras decimales. Ejemplo: 5 = 1,25 Decimal periódico puro, todas sus cifras decimales se repiten infinitamente. Ejemplo: 2 = 0,666 = 0, 6 Decimal periódico mixto, tiene cifras decimales que se repiten infinitamente y otras no se repiten infinitamente. Ejemplo: 1 6 = 0,1666 = 0,16

54 Fracción generatriz Dado un número decimal exacto, periódico puro o periódico mixto es posible obtener su fracción. A dicha fracción se le llama fracción generatriz.

55 Paso de decimal exacto a fracción Ejemplos: 1, = ,05 = = ,002 = = 1 500

56 Paso de decimal periódico a fracción En numerador se considera el número sin la coma decimal y sin el arco y se resta la parte que no está bajo el arco. En el denominador se ponen tantos 9 como cifras tiene la parte periódica. Ejemplos: 1, = 1 1 9, 05 = = 12 9 = = , 002 = = 2 999

57 Paso de decimal periódico mixto a fracción En numerador se considera el número sin la coma decimal y sin el arco y se resta la parte que no está bajo el arco. En el denominador se ponen tantos 9 como cifras decimales hay bajo el arco y tantos ceros como cifras decimales hay fuera del arco. Ejemplos: ,0 = ,005 = 990 0,002 = = = 1 50 = 9 90 = 1 0 = =

58 Ejemplos de cálculo con fracciones generatrices 2 5 0, + 1,07 = = = = , 2 + 0,12 = = = = 1 90

59 Potencias de fracciones con exponente positivo Ejemplos: = 2 2 = = = = = 9 9

60 Potencias de fracciones con exponente negativo Ejemplos: = = 2 2 = 27 8 = 2 = = 16 1 = 16 = 7 2 = = 9 9

61 Potencias de enteros con exponente negativo Ejemplos: = 1 2 = 2 1 = 1 2 = 1 2 = 1 8 = 1 2 = = 1 = 1 = = = = 12 2 = 1 = 1 2 = 1 16

62 Ejemplos de cálculo con potencias de fracciones = = = = 9 27 = = = ( ) = 2 = 2 = 2

63 Radicales

64 Raíces Cuadradas que debes conocer = 2 9 = 16 = 25 = 5 6 = 6 9 = 7 6 = 8 81 = = = 11 1 = = 1

65 Elementos de un radical

66 Raíces con índice par Si el índice es par y el radicando positivo entonces hay dos soluciones. Ejemplos: 81 = ±9 81 = ± Si el índice es impar y el radicando negativo entonces no hay solución. 9 no tiene solución 6 1 no tiene solución

67 Raíces con índice impar Si el índice es impar siempre obtendremos una solución. Ejemplos: 5 27 = 27 = 5 2 = 2 2 = 2

68 Propiedades de los radicales I Producto de raíces con igual índice: 6 7 = 6 7 = = 2 5 = 0 Cociente de raíces con igual índice: 15: 5 = 15: 5 = 2: 5 = 2 5 Potencia de una raíz: 2 = 2 5 = 5

69 Propiedades de los radicales II Raíz de una raíz: 2 = 2 12 = = 5 2 = 5 Producto de raíces con el mismo radicando: 2 2 = = = = 2 7 Cociente de raíces con el mismo radicando: 2 : 2 = 2 6 : 2 = 2 6 : 2 1 = = 2 5

70 Suma y resta de radicales I Únicamente podemos sumar o restar términos que tengan la misma parte radical. Ejemplos: 8 + = 8 + = = = = = = = 2 + 2

71 Extraer factores en el radical Para extraer factores del radicando: 1. Factorizamos el radicando. 2. Agrupamos según el índice del radical.. Extraemos las potencias que coincidan con el índice. Ejemplo: 2 7 = = = 2 27 = = 2 1 = 2 = 2 5 = = = 5 = 2 = 2 = 9

72 Suma y resta de radicales II Ejemplos: = = = = = = = = = 15 2

73 Producto y división de radicales Para multiplicar o dividir radicales los índices deben ser iguales. Ejemplos: 5 2 = 5 12 = : = 27: 2 = = 2 = 27: 2 = = = 27: 9 = 5 12 = 2 =

74 Radicales y Potencias I Todos los radicales pueden expresarse como una potencia donde: La base es el radicando. El exponente es una fracción siendo: El numerador el exponente que posea el radicando. El denominador el índice del radical. Ejemplos: 5 = 5 7 = 7 1 = 7 1

75 Radicales y Potencias II Las potencias que tienen una fracción como exponente pueden expresarse como un radical de : Índice el denominador de la fracción. Y exponente de radicando el numerador de dicha fracción. Ejemplos: = = 6 1 = 6