Ejercicios de Geometría Plana

Transcripción

1 jercicios de Geometría lana 1. n la (, ),,,, y son puntos de la circunferencia, =. rueba que: y diámetros a) GH es isósceles. b) HG es un trapecio isósceles. c) GH. 2. n la figura y paralelogramos, y puntos medios de y respectivamente. a) rueba que:. b) Si = 7,5 cm 2, calcula el área del 3. n la figura = e isósceles de bases y respectivamente. rueba que: a) = b) es un paralelogramo. 4. n la (; ),,, los arcos y son iguales y los puntos,,, y alineados. rueba que: a) = b) alcula el área sombreada si = 50º y = 6,0 cm. 5. n la figura es un paralelogramo, : punto medio de, isósceles de base,. a) rueba que:

2 b) s =? undamenta. c) Si = 6,0 cm y = 2, calcula el área sombreada. 6. n la circunferencia (; ), y respectivamente, diámetro. a) rueba que: - - = y y = 60º, b) Si = 8,0 cm, calcula el área sombreada 7. n la figura es un cuadrado, y las distancias de los vértices y a la recta. Si = 8,0 cm y = 6,0 cm, calcula el área sombreada al trazar el arco con centro en. 8. n la figura es un paralelogramo, : paralela media del, : mediana del, Q : mediana del. emuestra que: a) Q. b) Q. tangentes a la circunferencia en 9. n la figura G: isósceles de base, G: punto medio del,, G = G. emuestra que: a) G = G. b).

3 10. n la (; ), : diámetro, y tangentes a la circunferencia en y respectivamente,. a) rueba que:. b) Si = 60º y = 4,8 cm ; calcula el área sombreada. 11. n la figura,, y puntos alineados, G, G,. rueba que: a) =. b) G. c) : trapecio. 12. n el rombo Q, es punto medio del Q, : bisectriz del. a) rueba que: Q. b) rueba que: =. c) emuestra que es un rombo. d) alcula el área sombreada si Q = 22,5º y = 3,6 cm 13. emuestra que el área de un rombo se calcula por la expresión =a 2 sen con: 0 180º y a: lado del rombo. 14. alcula el área sombreada sabiendo que: : punto medio del G,

4 (; G ) '('; )= H, G = = 6,0 cm,, 15. n la circunferencia (; ), : mediatriz del, : diámetro, los arcos y son iguales y : punto medio del. emuestra que: a) b) rectángulo. c) equilátero d) alcula el área del si = 6,0 cm 16. n trapecio rectángulo en, ; H ; G ; G: punto medio de. a) rueba que: H y GH. b) alcula el área sombreada sabiendo que: = 4,0 cm; = 7,0 cm y = 3,0 cm c) emuestra que: Hes bisectriz del. 17. n el cuadrado G, : mediatriz del, H G, H: punto medio de. a) emuestra que: H G y H es un trapecio rectángulo. b) Son los triángulos H y G iguales? undamenta. c) Si = 12 cm, halla el área de H.

5 18. n la (; ) los arcos y ; y son iguales; G ; G =. emuestra que: a) = G b) G 19. n el H, : punto medio del, : punto medio del, : punto medio del, G : paralela media del H y,, y puntos de emuestra que: a) H G b) H G c) G : paralela media del H 20. n la figura, : isósceles de base : punto medio de y G a) rueba que: G =,. b) emuestra que el es isósceles. c) emuestra que G es un trapecio isósceles. d) Qué otros triángulos son iguales? undamenta. e) Halla el área de la figura si = 45º, = 4,0 cm y 2 cm. f) Si existe alguna recta notable en la figura identifícala y fundamenta tu respuesta.

6 21. n la (; ), G,, y son puntos de la circunferencia, : diámetro,, G, G, G =, H: punto medio del G a) emuestra que: HG. b) Si H = 5,0 dm 2, calcula el área del. c) rueba que: G 22. n la figura el es rectángulo e isósceles de base, : punto medio del, 2 a) rueba que:.. y b) alcula el área del si, = 67,3º; = 4,8 dm y = 24 cm. 23. l cuadrado Q tiene 60 mm de lado y R = 2 R. alcula el área sombreada. 24. n la figura y G son rectángulos, = 4,0 cm ; = 3,0 cm ; = 1,8 cm ; ;. alcula el área sombreada. 25. Sea el circuncentro del ;, a) rueba que:.. b) Si = 50º, calcula la amplitud del

7 26. Sea el isósceles de base, : mediana, = a) rueba que: isósceles, : trapecio, y circuncentro del. b) Si = 45º y = 3,0 cm, calcula la longitud del. 27. n el triángulo, es el incentro. alcula el área sombreada si, = 8,1 cm; = 7,2 cm; = 5,4 cm y = 37,4º a) alcula la longitud de la circunferencia inscrita. 28. n la figura, isósceles de base bisectriz del, = y,. a) rueba que:. b) isósceles. 29. n la figura, y son diámetros de la circunferencia de centro. es tangente en, los puntos, y están alineados, al igual que, y. a) emuestra que: b) alcula el área sombreada si: 2 3 cm y = 30º.

8 30. n el isósceles de base, es una paralela media. punto medio de, mediatriz de y, y puntos alineados. a) rueba que: y =. b) Halla el área del, conociendo que = 30º y = 8,0 cm. 31. emuestra que todo segmento que pasa por el centro de un paralelogramo y tiene sus extremos en los lados opuestos, el centro del paralelogramo es su punto medio. 32. n el, altura. isósceles de base, : altura del e igual a,. a) rueba que:. b) emuestra que:. c) s? undamenta. d) Son los triángulos y semejantes? undamenta. 33. n un cuadrado de lado a, es el punto medio del lado y el punto medio del lado. alcula el área del. 34. Un vértice de un triángulo equilátero de lado a es el centro de una circunferencia tangente al lado opuesto. Qué porciento representa el área del sector circular así determinado del área del triángulo dado?

9 35. n la (; ),, Q y R son puntos de la circunferencia, R : diámetro, y S : mediana del. Q a) emuestra que: QR S y Q S b) Si R Q = 5,0 cm; calcula el área sombreada. 36. n la (; ),,,, y son puntos de la circunferencia: diámetro los arcos y son iguales y los puntos G,,, y H alineados. emuestra que: a) G = H b) G H c) G H d) los arcos y son iguales e) odemos decir que el cuadrilátero GH es un paralelogramo? undamenta. 37. alcula el área de la figura sabiendo que: es un cuadrado,,,, G semicircunferencia de centro y = 4 2 cm. a) rueba que: emuestra que en todo paralelogramo las bisectrices de dos ángulos consecutivos son perpendiculares. 39. n la figura es un paralelogramo, G isósceles de base G,

10 H G,, H h G, : bisectriz del, : bisectriz del,, y G alineados a) rueba que G es un rectángulo y que es el punto medio de b) Si H = 4,0 cm, = 8,0 cm y = 73,8º ; calcula las diagonales del paralelogramo. 40. La base de un triángulo mide 27,3 unidades, los ángulos en la base miden 30º y 45º respectivamente. on centro en el vértice opuesto a la base del triángulo y con radio igual a la altura trazada desde dicho vértice se construye un círculo. Halla el área de la parte del triángulo fuera del círculo. 41. n la (; ) se tiene: diámetro, tangente a la circunferencia en,,, punto medio de. a) emuestra que: =. b) rueba que el es isósceles. c) Si = 3,0cm, calcula el área del. 42. n la figura es un rectángulo y un rombo. emuestra que el área del rectángulo es el doble de la del rombo.

11 43. n la (; ) se tiene: diámetro, trapecio rectángulo en y de bases y. Si = 30º, = 3.0 dm y = 2,0 dm ; a) prueba que:, b) calcula el área sombreada. 44. n el isósceles de base, h, por el vértice se ha trazado una perpendicular a que corta en a la prolongación de y H es la mediana correspondiente al lado del. a) emuestra que: H. b) Si = 24 cm 2 y = 60 mm, calcula el perímetro del. 45. n la figura S es la mediana correspondiente al lado del, R es el punto medio del lado. l RS es isósceles de base S QS. a) robar que: S S QS b) Si el = 75º y R = 12 dm, calcula el área del SR. y

12 46. La figura muestra los triángulos y isósceles de bases iguales y respectivamente de altura común. rueba que GH es un rombo. 47. Sea el equilátero, H y GHI paralelogramos, altura del. a) emuestra que: H HG. b) rueba que: H = IH. c) s el IH equilátero? undamenta. d) Si = 6,0 cm y = 2,0 cm. alcula el área de los triángulos formados y de los paralelogramos. 48. n una circunferencia de centro y 15 cm de diámetro se tienen dos uerdas y de forma tal que la cuerda es perpendicular al diámetro de extremo y dista 4,5 cm del centro, halla las longitudes de las cuerdas. 49. n una circunferencia de 25 cm de radio se han trazado dos cuerdas paralelas de 14 y 4,0 cm de longitud respectivamente. alcula la distancia entre las cuerdas. 50. rueba que el TQ SR sabiendo que el cuadrilátero Q es un cuadrado, S y T bisectrices de los ángulos y respectivamente, RS, y R T como se muestra en la figura. a) Si = 25 cm y S = 25º, calcula el área sombreada.

13 51. La figura muestra el isósceles de base donde es la mediana relativa a ese lado, y, y se a) rueba que:. intersecan en. b) s = 2? undamenta. 1 c) Si y = 7,5 cm 2, calcula el área rayada n un triángulo equilátero de lado 6,0 cm se han inscrito tres círculos iguales tangentes dos a dos. etermina el radio de los círculos y qué por ciento ocupan del área del triángulo. 53. n la figura isósceles de base, es un cuadrado cuya diagonal es altura del y. rueba que: a) b) =. c) si. 54. n la circunferencia (; 5,0cm),,, y son puntos de la circunferencia, = 135º,, prolongación de y los arcos y son iguales. a) rueba que es un paralelogramo y que es un cuadrado. b) s un trapecio? undamenta. c) alcula la amplitud del y la longitud, tangente a la circunferencia en

14 del. 55. n la circunferencia (; ),,, y son puntos de la circunferencia, diámetro, tangente a la circunferencia en,, a) emuestra que es un trapecio. b) rueba que:. c) stablece la proporcionalidad entre los lados homólogos. d) etermina la razón de semejanza. e) alcula el área de n la circunferencia (; ), es un diámetro, el arco mide 120º, = 6,0 cm y es un rombo. alcula el área sombreada. 57. n la circunferencia (; ),,, y son puntos de la circunferencia, = 5,0 cm, diámetro, tangente en, y, = 30º,, y puntos alineados. a) rueba que: b) alcula el área sombreada. 58. La sección transversal de una pieza tiene forma de triángulo equilátero con una perforación circular en el centro. l lado del triángulo es de 6,0 cm y el radio del hueco es la mitad de la distancia del centro del triángulo al lado. calcula el área de la sección transversal.

15 59. n el cuadrado con centro en y se trazan los arcos de radio 6,0 dm. alcula el área formada entre los arcos. 60. n el cuadrado Q con centro en y se trazan los arcos Q y de radio = 4,2 cm. alcula el área sombreada. 61. Haciendo centro en un vértice de un triángulo equilátero de 4,0 cm de lado se trazó una circunferencia de radio igual a la distancia del vértice al centro de gravedad del triángulo. alcula el área de la figura así formada 62. n la figura rectángulo en, Q y cuadrados, R RS, QS RS, R,, y S puntos alineados. rueba que: R QS 63. n un vértice de un triángulo equilátero de lado a se construye una circunferencia de radio igual a la mitad del lado. alcula el área así formada. 64. n una circunferencia de centro y radio se trazan con centro en los extremos del diámetro los arcos y Q tangentes en como se muestra en la figura. Si,, Q y son puntos de la circunferencia, demuestra que el área sombreada es igual al área de cada uno de los sectores circulares y Q. 65. n la circunferencia (; ), y Q son puntos de la circunferencia, es un diámetro y RS es tangente es ; R S.

16 a) rueba que los siete triángulos que se forman son semejantes. b) emuestra que Q es un rectángulo. c) alcula el área del SQ sabiendo que S = 2,4 dm y R = 22,6º. 66. emuestra que en todo triángulo equilátero de lado a, las alturas, medianas mediatrices y bisectrices del triángulo miden 3a n una circunferencia al trazar la mediatriz de un radio se forman dos triángulos equiláteros entre los extremos del radio y los puntos que la mediatriz determina en la circunferencia. undamenta esta afirmación. 68. La figura muestra una circunferencia (; ) donde es un diámetro y los arcos Q y son iguales, es mediatriz de, R tangente en y R. a) emuestra que: Q =. b) s Q un trapecio isósceles? undamenta. c) rueba que: Q R. d) Si = 8,0 dm, halla el área sombreada. 69. La figura muestra una circunferencia de diámetro que determina un a) rueba que: =. círculo de 50,24 cm 2 de área donde es tangente en a la circunferencia, es un paralelogramo. b) emuestra que es un rectángulo. c) alcula la amplitud del Q y el área Q y

17 del cuadrilátero, si tan = 0, n el paralelogramo, y K son bisectrices de los ángulos y respectivamente y R. a) emuestra que: R K b) Si R 1 3 y R= 18 cm 2. alcula el área sombreada. 71. La circunferencia de centro y radio tiene como diámetro Q y se le Ha inscrito el Q isósceles de base, es punto medio de y Q. a) rueba que: Q Q Q. 2 b) Si = 22,5º y la longitud de la circunferencia es de 31,4 cm, calcula la longitud del arco y la cuerda que determina el Q. 72. n la circunferencia de centro y radio donde es un diámetro, es tangente en a la circunferencia y el es equilátero de área 9 2 cm 2. Los puntos y pertenecen a la circunferencia, y, y. a) emuestra que:. b) alcula el área sombreada. 73. n la figura, es un diámetro de la (; ), punto de la

18 b) Si K = 6 3 cm y circunferencia, los arcos y miden 60º respectivamente y K es la distancia del punto al. a) emuestra que: K. 4 3, calcula el área sombreada. 74. n una circunferencia de centro y radio r = 4,0 cm se tiene que los puntos, y Q pertenecen a ella, es un diámetro y y son tangentes a la circunferencia en y respectivamente. a) rueba que: - 0 b) alcula el área sombreada si 1. 3 Q = 4,0 cm y 75. n la figura el cuadrilátero es un rombo, : isósceles de base y paralela media del. a) rueba que: es isósceles. b) emuestra que:. c) Si el lado mide 9,8 cm y el es de 50º, calcula el área del. 76. emuestra que si dos triángulo isósceles tienen respectivamente iguales las bases y las alturas relativas a ellas, entonces estos triángulos son

19 iguales. 77. n el, : punto medio de, : punto medio de y : punto medio de. rueba que: a) = b) c) es un paralelogramo. 78. n la (; ),, Q, : diámetro, : tangente en a la circunferencia y Q. b) emuestra que: Q. a) rueba que: Q es isósceles. c) Si = 5,0 cm y Q = 120º; calcula Q y el área sombreada. 79. n el rectángulo en se traza una circunferencia de centro y radio que corta a la hipotenusa en su punto medio. Si = 6,0 cm, calcula el área sombreada. 80. n la (; ), diámetro, =, tangente a la circunferencia en. a) s punto medio de? undamenta. b) emuestra que: =. c) Si = 8,2 cm, calcula el área sombreada.

20 81. n el paralelogramo, con centro en punto medio del lado se traza el arco tangente a el = 60º, calcula el área sombreada. 82. n la figura es un cuadrado, G un trapezoide simétrico, y =. a) rueba que:. b) Si = 6,0 cm y 3 G = 2, calcula el. 83. Sea el isósceles de base, altura relativa a la base, y distancias del punto a los lados y respectivamente. a) rueba que:. b) emuestra que: =. c) Si = 6,4 cm y = 4,8 cm, calcula el área sombreada. en. Si el lado = 2 3 cm y 84. n el trapecio QRS de bases Q y RS tenemos: S SQ, RS = RQ, R SQ y ST altura del trapecio. a) rueba que: RQ ST. b) rueba que la distancia del punto al Q es igual a R. c) emuestra que: S = Q +.

21 85. n la (; ) se tiene que es un diámetro, punto medio de y respectivamente. a) rueba que:. b) emuestra que: es equilátero. c) Si = 3,0 dm, calcula el área del. 86. n la figura, es un rectángulo, =,, G, = G y los puntos, y G están alineados. a) rueba que: G. b) Si = 50 cm 2, G = 12,5 cm, = 4 y 5 = 6,0 cm, calcula G. 87. n la circunferencia de centro, y son diámetros, = 32 cm,,, y son puntos de ella. es un rombo tal que y son puntos medios de y respectivamente. alcula el perímetro del rombo y el área sombreada. 88. ara qué valor de el área sombreada en el cuadrado es la mitad del área del cuadrado, sabiendo que los triángulos y son iguales e isósceles de bases y

22 Respectivamente? 89. Sean las circunferencias de centros, y, y diámetros, y respectivamente tangentes dos a dos, Q tangente común a las circunferencias de Q centros y, Q, R = R. a) emuestra que: a.1) Q R. R a.2) Q = 2 R 2 b) Si = 10 cm, calcula el área rayada. 90. emuestra que en todo triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c, el radio de la circunferencia inscrita se obtiene por : r = a b c n la figura,, y (; ), es un paralelogramo, los arcos y son iguales, mediatriz de, y diámetro. a) rueba que: = = b) emuestra que: = c) Si = 6,0 cm, calcula el área de. 92. n la figura Q es un rombo, y paralelogramos, y son los puntos medios de los segmentos y respectivamente, Q,

23 Q = y los puntos,,, y están alineados. a) rueba que: Q 1. =, 2. Q y son paralelogramos, y 3. : trapecio isósceles. b) Si = 10 cm, Q = 2,0 cm y Q= 9 3 cm 2, calcula el área del trapecio y el área sombreada. 93. l trapecio isósceles está inscrito en la circunferencia (; ), G y G tangentes a la circunferencia en y respectivamente, = y GH. a) emuestra que: G G es isósceles. =. H n el G, GH = h. b) Si = 6,0 cm ; = 9,8 cm y la altura del trapecio es de 5,2 cm, calcula su área. 94. n la circunferencia (; ) tenemos: Q rectángulo inscrito en la

24 circunferencia, y tangentes en y respectivamente, Q Q = 30 0 y,,, Q y puntos alineados. a) rueba que: = Q, isósceles, y paralelogramo. b) Si = 4,0 dm; calcula el área del paralelogramo. 95. n el paralelogramo, bisectriz del y bisectriz del. rueba que: a) y son isósceles. b) =. 96. n la circunferencia (; ); = ; = a) rueba que: =. b) Si rectángulo en, = y = 6 3 cm, calcula el área del. 97. rueba que es un n la figura =, mediatriz de y.

25 paralelogramo. 98. La figura muestra un isósceles de base y un rombo Q con centro en el punto, Q, y R = S R Q S a) rueba que: R = QS. R = S. R SQ. b) Si Q = 10 cm, = 13 cm, calcula el área del rombo. 99. Sea un rectángulo, mediana del, mediana del y punto medio de. a) rueba que es isósceles. b) Si = 2 y = 30 cm, halla el área y el perímetro del La circunferencia (; ) tiene diámetro, R es un cuadrado R = {Q}, y Q son puntos de la R circunferencia y R = RQ = 5,0 cm Q a) rueba que: R = Q; R R;

26 RQ: Trapecio y R=2RQ. b) alcula el área del trapecio R y del cuadrado R n la circunferencia (; ), diámetro, = 2, y Q tangentes a la Q circunferencia en y respectivamente, Q rectángulo, Q = 60 0 y Q = 10 cm. a) rueba que: Q ; =. b) alcula el área del círculo y del pentágono Q n el rectángulo tenemos que: : punto medio de, Q: punto medio de, : punto medio de, : punto medio de, R: punto medio de, S: punto medio de. emuestra que: Q S R a) Q = RQ = S =. b) S y QR son rombos iguales. c) Si = 30 0, QRS es un exágono regular.

27 103. n la figura y son rectángulos iguales. emuestra que: a) = Q = Q =. Q b) Q es un rombo n la figura se muestran los cuadrados y Q, y el trapecio isósceles, Q teniendo que es punto medio de, punto medio de y = 1. rueba que todos 2 los triángulos formados son iguales n la figura es un rectángulo donde y son los puntos medios de y respectivamente, G H, G = G H =, =2 y G = 2 G. a) rueba que: G = H y H equiláteros. b) Si = 12 dm, calcula el área sombreada n la figura, y son puntos de la circunferencia (; ),

28 diámetro y mediatriz de que es tangente a la circunferencia en, y =. a) emuestra que: a.1) = a.2) b) Si = 10 cm, halla el área del pentágono n la figura Q es un cuadrado y un trapecio isósceles tal que la prolongación de los lados no paralelos se cortan en un punto formando el = 90 0, ; Q ; = 2 y Q. Q a) rueba que: a.1) Q. a.2) = Q. b) Si Q = 8,0 cm; calcula el área del trapecio y el perímetro de la figura dada n el cuadrado la diagonal es la mediatriz del segmento y. a) emuestra que: =. b) Si el área del pentágono es de 3,0 dm 2 y = 20 cm, calcula el área sombreada.

29 109. n la (; ) se tiene que T es tangente a Q T la circunferencia en, y Q diámetros, Q =, Q = R, R Q = {S}, S = 6,0 dm. R a) emuestra que: a.1) S TQ a.2) S = SR b) alcula el área sombreada n la circunferencia (; ) se tiene que, y son tangente a la circunferencia en los puntos, y respectivamente, y diámetros,, punto medio de y los puntos, y están alineados. a) rueba que: a.1) a.2) es un cuadrado. a.3) es un trapecio isósceles. b) Si = 1,2 dm calcula el área del cuadrado de lados consecutivo y. c) alcula el área del trapecio.

30 111. n la figura Q y Q son rombos iguales,, Q y son puntos alineados. Q R rueba que: a) Q = Q y rectángulos b) trapecio isósceles. c) Si Q = 60 0 y = 1,5 dm, calcula el área de la figura 112. La figura muestra una circunferencia de centro y radio 4,0 cm donde es tangente a esta en el punto que a su vez es el punto medio de y del, =. a) emuestra que: = b) Halla el área sombreada. c) rueba que es un trapecio n la circunferencia (; ), es mediatriz de, punto medio de y los, y son puntos de la circunferencia. a) rueba que: a.1) es un rombo. a.2) G: baricentro del. G a.3) G. a.4) G. b) Si = 1,3 dm, calcula el área sombreada y

31 la razón de semejanza entre los triángulos y G n la figura y son trapecios, H GH un paralelogramo, y mediatrices G de G y H respectivamente y H = G. rueba que: a) H = G b) H es un rectángulo. c) es un paralelogramo n la circunferencia (; ), y diámetros, tangente en, = 3,0 cm y = 2,4 cm. a) emuestra que: = b) alcula el área del triángulo n la figura es un cuadrado, y bisectriz del. a) emuestra que: = b) Si = 15 dm, calcula el área del triángulo.

32 117. n la figura rectángulo en, y =. área del triángulo. a) rueba que: = b) Si es isósceles de base, = 3,0 cm y = 4,0 cm, calcula el c) Si, calcula la amplitud del n la circunferencia (; ) se tiene: =, = y. a) emuestra por dos vías diferentes que: = b) Si = 2,5 cm y = 3,0 cm, calcula el y la sombreada 119. La circunferencia (Q;Q ) es tangente interior a la circunferencia (; ) como se muestra en la figura. y son diámetros de las circunferencias respectivas,, y los puntos, y están alineados. Q a) emuestra que: b) Si los arcos y miden 60º y = 4 3 cm, calcula:

33 b.1) la altura del relativa al lado b.2) el área sombreada Sea la circunferencia (; ), diámetro, = y Q. a) emuestra que: = Q Q b) Si = = 6,28 cm, calcula el área sombreada n la figura, G y QR son rombos, R, G Q =, punto medio de y R = 2. 3 a) emuestra que: QR b) etermina en cada caso anterior la razón de semejanza. c) Si = 12 cm y G = 120 0, calcula el G R Q área de la figura n la figura y son rombos, y son los puntos medios de y respectivamente. a) emuestra que: =

34 b) Si = 36,9 0 y = 10,2 cm calcula el área del n la circunferencia de centro y radio, es un diámetro, tangente a la circunferencia en, mediatriz del segmento, = 2, = 8,2 cm y los puntos,, y están alineados. a) rueba que: a.1) = a.2) a.3) es un trapecio. b) alcula el área del trapecio y el área sombreada n la circunferencia (; ), G es tangente en, = 2, =, 3 diámetro. Los puntos,, y están alineados, y baricentro del G equilátero. G a) rueba que: b) Si G y G = 16 3 dm 2, calcula el área del. c) alcula la amplitud del.

35 125. n el triángulo, Q es el baricentro, mediana relativa al lado. Q es un paralelogramo y es punto medio de y GH. a) rueba que: H. Q G H b) Si en el, h = 2,7 cm y = 4,0 cm, calcula el área del paralelogramo Q y del triángulo H n la figura, y Q son paralelogramos, R y puntos medios de y respectivamente y R = 1 Q. 3 R Q a) rueba que: a.1) RQ a.2) Q a.3) mediana del Q. b) etermina el baricentro del RQ y calcula su distancia al vértice si = 9,6 cm n la figura, es un rectángulo,,,, Q y puntos medios Q T R de, y Q respectivamente. a) rueba que: S QT es isósceles, R es circuncentro del SQ,

36 = QS y b) Si = 30 0 y = 6 3 cm, calcula el área del rectángulo n la (; ), diámetro, y tangentes en y respectivamente. mediatriz de y. a) emuestra que: a.1) es un rombo, a.2) equilátero, a.3) = a.4) y establece la G proporcionalidad entre los lados homólogos. b) Si = 3,0 cm calcula el área de los triángulos y. c) s el punto el circuncentro del? undamenta tu respuesta n la (;G ), H y tangentes en H y a la circunferencia respectivamente y diámetro. l triángulo es isósceles de base, y puntos medios de y respectivamente, G baricentro del triángulo y = 12 cm. H G a) emuestra que: a.1) G =. a.2) H y establece la proporcionalidad de los lados homólogos. b) alcula el área sombreada.

37 130. n la circunferencia (; ), diámetro, tangente a la circunferencia en, mediatriz de y es un punto de la circunferencia. a) rueba que: a.1) es paralela media del, a.2) isósceles, a.3), a.4) = =. b) Si = 16 cm alcula el área sombreada n la figura, un rombo, (; ) (; ) =, y centro del rombo. tangente común a las circunferencias, Q, (; ) y Q (; ). a) rueba que: a.1) Q. a.2) Q: trapecio isósceles. Q b) alcula el área sombreada si el área de cada círculo es de 78,5 cm 2 y el = 45,2º 132. n la circunferencia de centro y radio ;, y tangentes a la

38 circunferencia en, y respectivamente. bisectriz del, mediatriz de y trapecio isósceles. a) rueba que: a.1). a.2) punto medio de. a.3) equilátero. a.4) rombo. b) Si = 12 cm, calcula el área de la figura Sea la circunferencia de centro y diámetro R, Q tangente a la circunferencia en, S QT = R. QR y RST paralelogramos. a) rueba que: R R a.1) T = R T R S a.2) ST = 6 RT b) s el triángulo RT rectángulo? undamenta. c) Si R = 90º y R = 4,0 dm, calcula: c.1) el área sombreada, c.2) la amplitud del TQ, c.3) la distancia del punto T al segmento Q. Q 134. or el baricentro G del triángulo equilátero de 12,0 cm de lado se trazan las paralelas G, G y G a los lados, y respectivamente, dividiendo al triángulo en tres trapecios iguales. G a) alcula las dimensiones de estos trapecios. b) emuestra que:

39 b.1) los trapecios son isósceles, b.2) G G l triángulo S isósceles de base S tiene en su interior una circunferencia de centro tangente a los lados S y S en los puntos G y respectivamente. Si sabemos que:, y están alineados, cos S = 1, = 3 3 cm, y = 1 S. 3 3 alcula: G a) el radio de la circunferencia. b) el área sombreada l triángulo equilátero está inscrito en la circunferencia de centro y radio. y tangentes a la circunferencia en y G respectivamente, =,,, G y. a) rueba que: a.1) =. a.2). b) alcula el área sombreada si = 8,0 cm n la figura el equilátero está inscrito en la circunferencia (; ).

40 , y son tangentes a la circunferencia en, y respectivamente. =,, y puntos medios de, y respectivamente,, y. a) emuestra que: a.1) = = e isósceles. a.2) y determina la razón de semejanza. b) alcula el área sombreada n una circunferencia de centro y diámetro sitúa dos puntos y de forma tal que sea bisectriz del y demuestra que el cuadrilátero tomados en ese orden es un trapecio isósceles. a) Si el = 60º y = 20 cm, calcula el área del trapecio.