Slide 1. Slide 2. Slide 3. Universidad Diego Portales Facultad de Economía y Negocios. Capítulo 3 Estadística Descriptiva: Métodos Numéricos

Transcripción

1 Slide 1 Uiversidad Diego Portales Facultad de Ecoomía y Negocios Martes 30 de Marzo, 2010 Slide 1 Slide 2 Capítulo 3 Estadística Descriptiva: Métodos Numéricos Medidas de Localizació Medidas de Variabilidad Medidas de localizació Relativa y Detecció de Outliers Aálisis de Datos Exploratorio Medidas de Asociació etre dos Variables La Media Poderada y Datos Agrupados x Slide 2 Slide 3 Medidas de Localizació Media Mediaa Moda Percetiles Cuartiles Slide 3

2 Slide 4 Se preseta ua muestra de valores de arriedo mesual ($) para departametos de u ambiete. La muestra es de tamaño 70 e ua ciudad particular. Los datos so presetados e orde ascediete. Slide 4 Slide 5 Media La media de u cojuto de datos es el promedio de todos los valores de los datos. Si los datos so muestrales, deotamos a la media mediate x x x i Si los datos proviee de la població, deotamos a la media por m (mu). x i N Slide 5 Slide 6 Media x x i 34, Slide 6

3 Slide 7 Mediaa La mediaa es la medida de localizació más frecuetemete usada para igresos auales y todo tipo de datos de valores de propiedad. Si existe alguos datos extremadamete grades de igreso o valores de propiedad, esto puede iflar a la mediaa. Slide 7 Slide 8 Mediaa La mediaa de u cojuto de datos es el valor que se ecuetra justo e el medio cuado los datos se ordea e orde ascedete. Para u úmero impar de observacioes, la mediaa es tambié el valor de e medio. Para u úmero par de observacioes, la mediaa es el promedio de los dos valores cetrales. Slide 8 Slide 9 Ejemplo: Reta de apartametos Mediaa, Dóde se ecotrará? E i! Mediaa = 50th percetil i = (p/100) = (50/100)70 = 35.5 Promediado el valor 35vo y 36vo teemos ( par) : Mediaa = ( )/2 = 475 Slide 9

4 Slide 10 Moda La moda de u cojuto de datos es el valor que ocurre co mayor frecuecia. La mayor frecuecia puede ocurrir e dos o más valores diferetes Si el cojuto de datos tiee exactamete dos modas, los datos se deomia bimodales. Si el cojuto de datos tiee más de dos modas, los datos se deomia multimodales. Slide 10 Slide 11 Ejemplo: Reta de apartametos Moda 450 es el valor que más se repite (7 veces) Moda = 450 Slide 11 Slide 12 Percetiles U percetil provee iformació acerca de cómo se ecuetra esparcidos los datos sobre u itervalo, desde el valor más pequeño hasta el más grade. Los putajes de admisió a los colegios y uiversidades, por ejemplo, so comúmete expresados e térmios de percetiles. Slide 12

5 Slide 13 Percetiles El pth percetil de u cojuto de datos es u valor tal que al meos u porcetaje p de los elemetos toma dicho valor o meos, y al meos u porcetaje (100 - p) de los datos toma dicho valor o más. Primero hay que ordear los datos de maera ascedete. Después computar el ídice i, la posició del p-ésimo percetil. i = (p/100) Si i o es etero, redodear. El percetil p-ésimo es el valor que se ecuetra e la i-ésimo posició. Si i es u etero, el percetil p-ésimo es el promedio de los valores e las posicioes i-ésima y (i+1) -ésima. Slide 13 Slide 14 Ecotremos el percetil 90vo i = (p/100) = (90/100)70 = 63 Promediado los valores 63vo y 64vo: 90vo Percetil = ( )/2 = 585 Slide 14 Slide 15 Ahora es su turo! Calcule (Por ½ Putos e Cotrol) a) 10 percetil b) 30 Percetil c) 50 Percetil d) 60 Percetil e) 80 Percetil Recuerde, i = (p/100) Slide 15

6 Slide 16 Cuartiles Los Cuartiles so úicamete percetiles co valores específicos Primer Cuartil = 25th Percetil Segudo Cuartil = 50th Percetil = Mediaa Tercer Cuartil = 75th Percetil Slide 16 Slide 17 Tercer Cuartil Tercer Cuartil = 75th percetil i = (p/100) = (75/100)70 = 52.5 = 53 Tercer Cuartil = 525 Slide 17 Slide 18 Ahora es su turo! Calcule a) Primer Cuartil b) Segudo Cuartil Recuerde, i = (p/100) Slide 18

7 Slide 19 Medidas de Variabilidad Muchas veces es deseable cosiderar medidas de variabilidad o de dispersió, así como medidas de localizació. Por ejemplo, al escoger u proveedor A o u proveedor B, podríamos querer cosiderar o solo el promedio de tiempos de etrega de isumos que tiee cada uo, sio cuato varía, e promedio, sus etregas de isumos. Slide 19 Slide 20 Medidas de Variabilidad Rago Rago Itercuartil Variaza Desviació Estádar Coeficiete de Variació Slide 20 Slide 21 Rago El rago de u cojuto de datos es la diferecia etre el valor más grade y el valor más chico. Es la medida más simple de variabilidad. Es muy sesible e relació a los valores muy grades, o muy pequeños, de los datos. Slide 21

8 Slide 22 Ejemplo: Reta de apartametos Rago Rago = Mayor Valor Meor Valor Rago = = 190 Slide 22 Slide 23 Rago Itercuartil El Rago Itercuartil de u cojuto de datos es la diferecia etre el tercer y el primer cuartil. Es el rago para el 50% de los datos cetrales. Vetaja: supera la sesibilidad e relació a valores extremos. Slide 23 Slide 24 Rago Itercuartil 3er Cuartil (Q3) = 525 1er Cuartil (Q1) = 445 Rago Itercuartil = Q3 - Q1 = = 80 Slide 24

9 Slide 25 Variaza La variaza es ua medida de variació que utiliza toda la iformació proveiete de los datos. Se ecuetra basada e la diferecia etre el valor de cada observació (x i ) y media (x e ua muestra, para la població). Slide 25 Slide 26 Variaza La variaza es el promedio de las diferecias cuadradas etre cada valor de los datos y su media. Si los datos so muestrales, deotamos a la variaza mediate s ( x s i x ) 1 Si los datos so poblacioales, deotamos a la variaza mediate ( x ) i N Slide 26 Slide 27 Desviació Estádar La desviació estádar de u cojuto de datos es la raíz cuadrada positiva de la variaza. Se mide e las mismas uidades que los datos, lo que la hace más ituitiva y fácil de iterpretar, que la variaza. Si los datos so muestrales, la desviació estádar se deota mediate s. 2 s s Si los datos so poblacioales, la desviació estádar se deota mediate (sigma). 2 Slide 27

10 Slide 28 Coeficiete de Variació El coeficiete de variació idica que ta grade es la desviació estádar co relació a la media. Si los datos so muestrales, el coeficiete de variació se computa de la siguiete forma: s x ( 100) Si los datos so poblacioales, el coeficiete de variació se computa de la siguiete forma : ( 100) Slide 28 Slide 29 Ejemplo: Reta de apartametos Variaza xi x 2 2 s ( ) 2, Desviació Estádar 2 s s Coeficiete de Variació s x Slide 29 Slide 30 Su Turo!: Datos de Coeficiete Itelectual Variaza 2 s ( x 2 i x ) 1 Desviació Estádar s Coeficiete de Variació 2 s s 100 x Slide 30

11 Slide 31 Su Turo!: Datos de Coeficiete Itelectual Variaza 2 s ( x 2 i x ) 1 Desviació Estádar s Coeficiete de Variació 2 s s 100 x Slide 31 Slide 32 Medidas de Localizació Relativa y Detecció de Outliers Valores z Teorema de Chebyshev Regla Empírica Detecció de Outliers Slide 32 Slide 33 Valores z Los Valores z so llamados a veces valores estadarizados. Es u úmero que deota a cuátas desviacioes estádar se ecuetra u valor x i de la media. x x z i i s Si el valor del dato es Meor que la media muestral, tedrá u Valor z Meor a cero (Negativo). Si el valor del dato es Mayor que la media muestral, tedrá u Valor z Mayor a cero (Positivo). U valor igual a la media tedrá u Valor z de cero. Slide 33

12 Slide 34 Ejemplo: Reta de apartametos Valores z para el valor más pequeño (425) x x z i s Valores z para todos los datos de uestro ejemplo: Slide 34 Slide 35 Su Turo! Calcule los Valores Z para los valores marcados co Rojo de uestro ejemplo xi x z s Respuesta (-0.93, -0.01, 1.99, -0.56, -0.20) Slide 35 Slide 36 Teorema de Chebyshev Dice que por lo meos (1-1/k 2 ) de los elemetos e cualquier cojuto de datos se ecotrará a k desviacioes estádar de la media. Aquí, k es cualquier valor mayor a 1. Por lo meos el 75% de los elemetos se ecotrará alrededor de k = 2 desviacioes estádar de la media. Por lo meos el 89% de los elemetos se ecotrará alrededor de k = 3 desviacioes estádar de la media. Por lo meos el 94% de los elemetos se ecotrará alrededor de k = 4 desviacioes estádar de la media. Slide 36

13 Slide 37 Teorema de Chebyshev Sea k = 1.5 co x = y s = Por lo meos (1-1/(1.5) 2 ) = = 0.56 o 56% de los valores de arriedo debe estar alrededor de x - k(s) = (54.74) = 409 y x + k(s) = (54.74) = 573 Slide 37 Slide 38 Teorema de Chebyshev (cotiúa ) E realidad, el 86% (los primeros 60 valores co =70) de los valores de arriedo está etre 409 y 573. Slide 38 Slide 39 Regla Empírica Para datos co distribucioes e forma de campaa: Aproximadamete el 68% de los datos está alrededor de ua desviació estádar de la media. Slide 39

14 Slide 40 Regla Empírica Para datos co distribucioes e forma de campaa : Aproximadamete el 95% de los datos está alrededor de dos desviacioes estádar de la media. Slide 40 Slide 41 Regla Empírica Para datos co distribucioes e forma de campaa: Casi todos (99.7%) de los datos está alrededor de tres desviacioes estádar de la media. Slide 41 Slide 42 Ejemplo: Reta de apartametos Regla Empírica Itervalo % e Itervalo Alrededor +/- 1s a /70 = 69% Alrededor +/- 2s a /70 = 97% Alrededor +/- 3s a /70 = 100% Slide 42

15 Slide 43 Detectado Outliers U outlier es u valor iusualmete pequeño o grade e u grupo de datos. U dato co u valor z meor a -3 o mayor que +3 puede ser cosiderado u outlier. Puede tratarse de u dato que ha sido icorrectamete capturado, escrito o digitalizado. Puede ser u dato perteeciete a otro grupo de datos, y erróeamete icluido e el cojuto de datos e el que estamos trabajado. O puede ser u dato correcto que sí, efectivamete, correspode a uestro cojuto de datos de iterés! Slide 43 Slide 44 Detectado Outliers Los valores z más extremos so y Usado la regla de z > 3 como criterio para la detecció de outliers, o teemos outliers e uestro cojuto de datos Slide 44 Slide 45 Aálisis de Datos Exploratorio Resume de 5-úmeros Box Plot Slide 45

16 Slide 46 Resume de 5-úmeros Valor meor Primer Cuartil Mediaa Tercer Cuartil Valor Mayor Slide 46 Slide 47 Resume de 5-úmeros Valor Meor = 425 Primer Cuartil = 450 Mediaa = 475 Tercer Cuartil = 525 Valor Mayor = 615 Slide 47 Slide 48 Box Plot Se dibuja ua caja cuyas putas termia e el primer y tercer cuartil Se dibuja ua líea vertical e la caja e la localizació de la mediaa. Los límites se ecuetra (o se dibuja) usado el Rago Itercuartil (IQR). El límite iferior se localiza 1.5(IQR) debajo de Q1. El límite superior se localiza 1.5(IQR) arriba de Q3. Todos los datos que se ecuetra fuera de dichos límites so cosiderados outliers. cotiúa Slide 48

17 Slide 49 Box Plot (Cotiúa ) Se dibuja líeas putuadas desde las esquias de la caja y hasta el valor más pequeño y más grade que exista detro de los límites. La localizació de cada outlier se muestra co el símbolo *. Slide 49 Slide 50 Box Plot Límite Iferior: Q1-1.5(IQR) = (75) = Límite Superior: Q (IQR) = (75) = No existe Outliers mediaa er Fuera de Rago, o dibujado er Slide 50 Slide 51 Medidas de asociació etre dos Variables Covariaza Coeficiete de Correlació Slide 51

18 Slide 52 Covariaza La covariaza es ua medida de la asociació lieal etre dos variables. Valores positivos de la covariaza idica ua relació positiva etre las variables. Valores egativos de la covariaza idica ua relació egativa etre las variables. Slide 52 Slide 53 Covariaza Si los datos so muestrales, deotamos covariaza mediate s xy. ( x s i x )( yi y) xy 1 Si los datos so poblacioales, deotamos covariaza mediate xy. ( xi x )( yi y ) xy N Slide 53 Slide 54 Coeficiete de Correlació El coeficiete puede tomar valores etre -1 y +1. Valores cerca de -1 idica ua fuerte asociació lieal egativa. Valores cerca de +1 idica ua fuerte asociació lieal positiva. Si los datos so muestrales, deotamos al coeficiete mediate r xy. sxy rxy sxsy xy xy x y Si los datos so muestrales, deotamos al coeficiete Slide 54 mediate xy.

19 Slide 55 Ejemplos de Correlació Siusoide! Slide 55 Slide 56 La media poderada y cómo trabajar co datos agrupados Media Poderada Media para datos agrupados Variaza para datos agrupados Desviació Estádar para datos agrupados Slide 56 Slide 57 Media Poderada Ua Media Poderada es cuado la media es calculada asigado a cada dato u peso específico que refleja su importacia detro del grupo. El cálculo de ua promedio de grados (GPA e USA), es u ejemplo del cálculo de ua media poderado. E ese caso, los pesos asigados so los úmeros de horas-crédito gaados para cada ota. Cuado los datos varía e importacia, el aalista debe escoger el peso que mejor refleje la importacia de cada valor. Slide 57

20 Slide 58 Media Poderada Dode: x = w i x i w i x i = Valor de la observació i w i = Peso para la observació i Slide 58 Slide 59 Datos Agrupados El cálculo de Media Poderada puede ser usado para obteer aproximacioes para la media, la variaza y la desviació estádar de datos agrupados. Para calcular la media poderada, tratamos al puto medio de cada clase como si fuera la media de todos los elemetos de dicha clase. Calculamos ua media poderada de los putos medios de clase usado las frecuecias de clase como pesos. Similarmete, al calcular la variaza y la desviació estádar, las frecuecias de clase so usadas como pesos. Slide 59 Slide 60 Datos Muestrales Datos Poblacioales Dode: Media para Datos Agrupados x fi M fim i N f f i = Frecuecia de la clase i M i = Puto medio de la clase i i i Slide 60

21 Slide 61 Abajo se muestra los mismos datos de retas mesuales pero se preseta como datos agrupados e la forma de ua distribució de frecuecias. Reta ($) Frecuecia Slide 61 Slide 62 Media para Datos Agrupados Reta ($) f i M i f im i Total , 525 x Esta aproximació difiere $2.41 de la Media Real de $ x fi M f i i Slide 62 Slide 63 Variaza para Datos Agrupados Datos Muestrales 2 2 f M x s i ( i ) 1 Datos Poblacioales 2 2 f M i ( i ) N Slide 63

22 Slide 64 Variaza para Datos Agrupados s 2 3, Desviació Estádar para Datos Agrupados s 3, Esta aproximació difiere solo $0.20 de la desviació estádar efectiva de $54.74 que ecotramos ateriormete Slide 64