Fórmulas Estadísticas. Recuerde: Hay k Categorías; n Datos en una muestra, N datos en una población.

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1 Uiversidad Diego Portales Facultad de Ecoomía y Negocios Fórmulas Estadísticas Capítulo 2 Recuerde: Hay k Categorías; Datos e ua muestra, N datos e ua població. Frecuecia Relativa de Clase (f) Cuátas Clases k? Acho de Clase (AC) Marca de Clase o puto medio (M) Frecuecia Acumulada (fa i) Frecuecia de Clase f = k = Dato Mayor Dato Meor AC = Número de Clases Límite Iferior + Límite Superior M = 2 fa i = i j =1 fr i Capítulo 3 Media (Població ; Muestra X) i-ésimo percetil (p) X = Rago (R) Variaza (Població S 2 y divida por N; Muestra 2 y divida por -1) Desviació Estádard (Població S 2 y divida por N; Muestra 2 y divida por -1) σ = Coeficiete de Variació (Població; Muestra) Coeficiete de Variació (Població; Muestra) Valores Z Outliers (Valores Atípicos) Media Poderada (Dode w i so los pesos) Media Datos Agrupados Variaza Datos Agrupados i=1 x i i = p 100 R = Dato Mayor Dato Meor σ 2 i=1 x i μ 2 = ; S 2 i=1 x i X 2 = N 1 i=1 x i μ 2 ; S = N σ μ 100; S X 100 σ μ 100; S X 100 i=1 x i X 2 1 z i = x i X S Cualquier valor más allá de ± 3S ó ± 3σ i=1 w i x i X = X = S 2 = i=1 w i i=1 f i M i i=1 f i M i X 2 1

2 Uiversidad Diego Portales Facultad de Ecoomía y Negocios Moda Datos Agrupados. Aquí: IM=Itervalo Modal, itervalo que registra la mayor frecuecia L i-1= Límite iferior del IM f i+1 = Frecuecia del itervalo imediato posterior al IM f i-1 = Frecuecia del itervalo imediato previo al IM a i = Amplitud del IM Percetiles Datos Agrupados. Aquí: P p=puto Percetil, p=percetil; IM=Itervalo Modal, itervalo que registra la mayor frecuecia, o aquel e dode hacemos u corte L i-1= Límite iferior del IM; N i-1= Frecuecia acumulada previa a IM; f i = Frecuecia del IM ; a i = Amplitud del IM Mo = L i 1 + P p = L i 1 + f i+1 f i+1 + f i 1 p 100 N i 1 f i a i a i Descomposició de Variaza: Itravariaza=σ detro = σ w Itervariaza=σ etre = σ b Ejemplo: Supoga que teemos dos grupos de datos: Grupo A Grupo B Y queremos calcular la variaza total usado las fórmulas de Itervariaza e Itravariaza. Procedemos como sigue:

3 Uiversidad Diego Portales Facultad de Ecoomía y Negocios PASO 1, Calcule las medias y las variazas para cada grupo: Grupo A Grupo B X 1=(7+9+11)/3 = 9 X 2=( )/3 = 14 S 1=[(7-9) 2 +(9-9) 2 +(11-9) 2 ]/3=2,7 S 2=[(11-14) 2 +(14-14) 2 +(17-14) 2 ]/3=6,0 1 =3 2 =3 PASO 2, Calcule la ItraVariaza PASO 3, Calcule la media global PASO 4, Calcule la IterVariaza PASO 5, La suma de: ItraVariaza + IterVariaza = Variaza Total. Compruebe usted mismo (Calculado la variaza total para todos los datos) que la Variaza Total = 4,35 + 6,25 = 10,6 EJERCICIOS A CUBRIR EN AYUDANTIA COVARIANZA == Problema # 1, Soleme 1, 2009 Iter + Itravariaza == Problema # 2, Soleme 1, 2009 Moda Agrupados == Problema # 3, Soleme 1, 2008 Covariaza y Dispersio Relativa == Problema # 1, Soleme 1, 2008

4 Uiversidad Diego Portales Facultad de Ecoomía y Negocios AYUDANTÍA ESPECIAL Problema # 1. TEMA: Covariaza (Problema # 1, Soleme 1, 2009). Se preseta la siguiete iformació relacioada a productividad y remueracioes e ua empresa: REMUNERACIONES (MILES) PRODUCTIVIDAD (PUNTOS) a) Determie si para los trabajadores de esta empresa la productividad y los sueldos preseta algua relació, y de qué tipo. b) Do José Moreo trabaja e dicha empresa, tiee u putaje de productividad de 78,35 putos y percibe u sueldo de $ Basada e ua correspodecia e térmios relativos etre las variables e estudio, la empresa decide bajar el sueldo al Sr. Moreo. Debe reclamar el Sr. Moreo por esta medida? RESPUESTA (a). Este es u problema típico de Covariaza, y lo que hay que hacer es calcularla y e base al resultado respoder. Lo primero que teemos que hacer es separar las Variables y calcular sus primeros mometos: Productividad fi Mi fimi fi*(mi-x) fi*(mi-x)^2 (fi*mi-x) SUMAS X S S COVARIANZA Remueracioes fi Mi fimi fi*(mi-x) fi*(mi-x)^ SUMAS X S S

5 Uiversidad Diego Portales Facultad de Ecoomía y Negocios Esto es para poder llegar a calcular los producto cruzados, compoete critico de la formula de covariaza: cov x, y = M X Y M(X) M(Y) E dode M se refiere a los primeros mometos, esperazas o medias. M Y = fimi fi Suma de Productos cruzados: /106^2=17, M[X,Y] La covariaza etoces es: 17, ( )*(63.774) = La covariaza es positiva, por lo que podemos argumetar que ambas variables se ecuetra relacioadas de maera directa, lo que e este cotexto sigifica: ROLLO PERSONAL. RESPUESTA (b). Teemos que calcular los putajes típicos e ambas distribucioes y decidir. E PRODUCTIVIDAD: Z i = x i x E SUELDOS: Z i = x i x s s = = = = IDEA: Se esperaría que las distribucioes típicas fuera las mismas tato para productividad como para sueldos (si supoemos que los sueldos está e fució de la productividad). E este caso, la distribució del Sr. Moreo es superior e productividad a la distribució e sueldos, por lo que la medida es ijusta y debería reclamar.

6 Uiversidad Diego Portales Facultad de Ecoomía y Negocios Problema # 2. TEMA: Iter e Itra Variaza (Problema # 2, Soleme 1, 2009). U estudio a 50 empresas exportadoras que ha firmado cotratos co carriers telefóicos provee los siguietes resultados: Facturacio Empresas Existe u uevo carrier iteresado e etrar al mercado telefóico y promocioa los siguietes descuetos por sobre su facturació actual (lo que le paga a otros carriers actualmete): a) Empresas que factura hasta 50 UF, descueto del 5% b) Empresas que factura etre 50 y 120 UF, descueto fijo de 2.5 UF más u descueto del 2.5% c) El resto (las que factura más de 120 UF) u descueto del 3.1% U ejecutivo de cueta asegura qué, segú dicha promoció, la mayor fuete de variabilidad e la facturació de larga distacia se debe a la diferecia observada etre los estratos. Es correcto? RESPUESTA. Estrategia: Cómo se preguta sobre variabilidad y estratos, se trata de ua preguta típica de Iter e Itravariaza. Lo primero que hay que hacer es idetificar los estratos de la promoció. Etoces, habrá 3 estratos: 1) 0-50; 2) ; y 3) 120 y más. Si embargo, hay que crearlos usado las categorías de la tabla: Estrato 1 Estrato 2 Estrato 2 Facturacio Empresas Facturacio Empresas Facturacio Empresas ? = ? = Para ello usamos uestra fórmula para calcular percetiles: Ahora solo hay que calcular las iterrogates de la tabla, de acuerdo a la iformació provista. P p = L i 1 + p 100 N i 1 f i a i ==> 50 = 40 + p ==> p = 15% Lo que sigifica que el 15% de las empresas factura hasta 50 UF. 15% de 50 empresas es 7.5, iformació que os sirve para llear la iterrogació. Prosiguiedo de la misma forma podemos calcular qué: El 15% de las Empresas Factura cómo máximo 50 UF El 37% de las Empresas factura etre 50 y 120 UF El 48% de las Empresas factura etre más de 120 UF Esos cortes os servirá posteriormete para calcular la itravariaza

7 Uiversidad Diego Portales Facultad de Ecoomía y Negocios Ahora que teemos lleas las tablas de los estratos, procedemos a calcular las variazas para cada ua de ellas. Ahora debemos calcular todos los elemetos para calcular la iter e itravariaza, como las medias y las desviacioes por estratos y la Media Global: X = X 1 Pp+X 2 Pp+X 3 Pp percetil = Estrato1 Estrato2 Estrato3 Xi S^ S Xtotal = Ates de proceder, si embargo, debemos recordar que e el estrato 1 hemos elimiado 2.5 empresas, es decir, el 2.5/50 = 5% del total de empresas, por lo que debemos ajustar tato las medias como las variazas para reflejar esta modificació. Además de las empresas elimiadas e el estrato 2, 2.5 de las cuales correspode al estrato 1, y además debemos restar parte de la media que correspode al estrato 1.Haciedo los cálculos correspodietes, uestra ueva tabla de Medias y Variazas es la siguiete: Estrato1 Estrato2 Estrato3 Xi 0.95*28.33= X1= *0.97X3= S^ S 0.95*11.785= *S2= *0.97S3=27.35 Xtotal σ detro = σ itra = S 1 2 Pp + S 2 2 Pp + S 3 2 Pp percetil acumulado = = σ etre = σ iter = (X 1 X) 2 Pp + (X 2 X) 2 Pp + (X 3 X) 2 Pp percetil acumulado = 15 ( ) ( ) ( ) = Dado que Itervariaza<Itravariaza, la afirmacio del ejecutivo es correcta.