Pre-PAES 2016 Media aritmética, moda y mediana.

Transcripción

1 Pre-PAES 016 Media aritmética, moda y mediaa. Nombre: Secció: Las medidas de tedecia cetral (MTC) so ciertos valores alrededor de los cuáles tiede a cocetrarse los datos de ua població, esto se debe a que si todos los datos se ordea de meor a mayor, etoces estos valores tiede siempre a ocupar las posicioes cetrales. Podemos difereciar dos tipos de medidas de tedecia cetral: Las medidas de posició: media aritmética, moda y mediaa. Las calculadas: cuartiles, deciles y percetiles. Media aritmética La media aritmética, promedio o simplemete media, es el valor que se obtiee al sumar todos los datos y dividir etre el total de ellos. Por ejemplo: 1) Las otas de Damy, de 5 laboratorios durate el año fuero: 4.5, 8.6, 7.8, 9.5, 5.8 Su promedio fue = ) Para calcular la media aritmética de u cojuto de datos e ua tabla, pero NO agrupados e clases, se calcula dividiedo la sumatoria de los productos de los valores de la variable por su frecuecia, etre el total de los datos. Utilizaremos la siguiete fórmula: x f x para datos e tabla pero si agrupar Ejemplo: E la siguiete tabla se le muestra los datos correspodietes a las otas de los exámees del primer periodo e Matemática de los alumos de ua secció: Promedio f x.f S e le pide calcular la media aritmética: _ Total 1

2 3) Para calcular la media aritmética de u cojuto de datos agrupados, utilizaremos al puto medio como represetate del itervalo, recordado que las marcas de clase o putos medios se ecotrará como la semisuma de los extremos de cada itervalo, es decir de la semisuma de sus límites iferiores y superiores: Li Ls Pm Para calcular el valor de la media aritmética para datos agrupados, utilizaremos la siguiete fórmula: x P m f para datos agrupados e clases y e tablas Ejemplo: E ua fábrica el jefe de recursos humaos tiee e registro la edad de todos los empleados la cual es: Itervalos f Pm Pm. f Totales Co la iformació aterior se le pide calcular la media aritmética de las edades. x P m f Moda Llamaremos moda al dato que más se repite e ua serie de datos ordeados; es decir el dato que aparece co mayor frecuecia. Veamos alguos ejemplos: Ejemplo 1: 0, 0, 1, 1,,,, 3, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 6, 7, 7 Mo = Ejemplo : 0, 6, 6, 6, 9, 9, 9, 9,,, 11, 11, 11, 11, 13, 13, 15 Mo = Ejemplo 3: 11, 11, 1, 1, 13, 13, 14, 14, 15, 15 Mo = Esta serie NO tiee moda algua porque NO hay u valor q tega mayor frecuecia que los otros.

3 Ejercicio: Ua señora preguta e el mercado el precio, de u tomate y los resultados so: 0.0, 0.15, 0.18, 0.0, 0.18, 0.15, 0.18, 0.19, 0.18, 016, 0.18, 0.0 Si los precios está e dólares, Cuál es la moda? Mo = Porqué? Mediaa El valor que divide a u cojuto ordeado de datos, de tal maera que resulte igual úmero de datos arriba y abajo de él, le llamaremos mediaa (Md) del cojuto de datos dados. El procedimieto para ecotrar la mediaa es secillo: 1) Se ordea los datos (e forma creciete o e forma decreciete) ) Se busca el valor cetral (elimiado al mismo tiempo los extremos, hasta llegar al valor cetral). Veamos su aplicació e alguos ejemplos: Ordeado y elimiado a) Md = b) Md = c) Md = d) E la serie ordeada: como hay dos valores cetrales, la mediaa la calculamos así: Se puede observar que quedaro 15 datos, ates y después de: Ejercicio: Los salarios, e dólares, de empleados so: 850, 160, 180, 730, 0, 00, 150, 00, 175, 00 Ecotrar la mediaa, para ello recuerde que primero debe ordear los datos Luego calcule la mediaa: 3

4 Refuerzo PRE-PAES 016 Labomate: Medidas de tedecia cetral. Idicació: a cotiuació ecotrará pregutas co 4 respuestas cada ua, 1) Cuado e u cojuto todos los datos so diferetes, se puede afirmar que: a) Hay ausecia de moda. b) Existe ua moda úica. c) Es u cojuto bimodal. d) Nigua de las ateriores. ) Dado el cojuto de datos 1, 3, 4, 5, 5, 5, 7,. Si hablamos de que 5 es su promedio A cuál promedio os referimos? a) Media aritmética. c) Moda. b) Mediaa. d) A todas las ateriores. 3) Se sabe que e ua oficia el sueldo medio mesual es de 500 coloes. Si etre todos los empleados, gaa 4,500 coloes; co esta iformació es posible decir que: a) Todos los empleados gaa 500 coloes. b) Hay u total de 17 empleados. c) So meos de 17 empleados. d) La moda es,500 coloes. 4) E ua ecuesta aplicada a jóvees, se pregutaba sobre el úmero de horas que dedicaro a la lectura la semaa aterior a la etrevista. Las respuestas dadas por cico jóvees a esa preguta fuero las siguietes: 3, 8, 3, 0, 6. Cuál es la media aritmética del úmero de horas semaales que dedicaro a la lectura los jóvees? a) 5 horas b) 4 horas c) 3 horas d) 0 horas 5) Cuáles so respectivamete la media, la mediaa y la moda de los siguietes datos: 30,, 0, y 50? a) 4, 0 y c) 4, 15 y 0 b), 0 y 30 d) 0, 0 y 4

5 6) E ua semaa se registra e Sa Salvador temperaturas medias de C, 0 C, 5 C, 3 C, 4 C, 4 C y 3 C. Cuál fue la temperatura media? a) C b) 5 C c) 0 C d) 3 C 7) El úmero de horas libres de 1 estudiates es 6, 4, 5, 8,, 7, 5, 4, 6, 8, 5, 3 al día. El valor de la moda es: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 8) El valor de x para que se obtega ua mediaa igual a 19 e los datos: 50, 79, 1, 18, x, 158, 161, 175, es: a) 18 b) 19 c) 130 d) 131 9) Si se tiee cuatro secretarias co sueldo medio mesual de $300; dos trabajadores de limpieza co sueldo medio mesual de $150. Cuál es el sueldo medio mesual e total de los seis empleados? a) $150 b) $5 c) $50 d) $300 por ser el que más se repite ) El peso e libras de 5 señoritas es 98 libras, y el peso medio de 15 varoes es 1 libras. Cuál es el peso medio del grupo? a) 87 libras c) 1 libras b) 7 libras d) 4 libras 5

6 Medidas de Dispersió Desviació media, Variaza y Desviació típica. Las medidas de dispersió tiee relació co la media aritmética y que al igual que la media, tiee propiedades algebraicas que les permite iterveir e relacioes matemáticas que so la base estructural de los aálisis estadísticos. Por sus propiedades algebraicas las medidas de dispersió más importates y de más frecuete aplicació so: la desviació media, la variaza y la desviació típica. Al estudiar propiedades de la media aritmética ecotramos que e toda distribució la suma de las desviacioes de sus variables respecto a la media es cero. Lo que sigifica que: La suma de las desviacioes ( x x ) de las variables mayores que la media es igual y de sigo cotrario a la suma de las desviacioes de las variables meores que la media. De aquí que para obteer la desviació media se utilice los valores absolutos de las desviacioes. El símbolo x expresa el valor absoluto de x y este valor correspode al valor positivo de x o importado que x sea positivo o egativo. Por ejemplo: =, - = si x = 0 etoces x = 0 La "desviació media es la media aritmética de las desviacioes; es decir la media aritmética de los valores absolutos de las desviacioes de las variables respecto a la media aritmética. Desviació media = DM x x Cuado la distribució de frecuecias sea e forma agrupada, la fórmula que ocuparemos será: F x x DM 6

7 La desviació media es ua medida de la dispersió bastate objetiva: cuato mayor sea su valor mayor es la dispersió de los datos; si embargo, o proporcioa ua relació matemática precisa etre su magitud y la posició de u dato detro de la distribució. Por otra parte, al tomar los valores absolutos mide de la desviació de ua observació si mostrar si está por ecima o por debajo de la media aritmética. Ejercicios sobre Desviació Media. 1. Hallar la DM de la serie de úmeros:, 1,, 9, 15, 6, 7, 8, 1, 9 Se recomieda primero ordear los datos:,,,,,,,,, x x DM x x DM 7 3 LA VARIANZA Para calcular la desviació media, fue ecesario prescidir de los sigos egativos tomado los valores absolutos de las desviacioes respecto a la media aritmética. Si elevamos al cuadrado las desviacioes, logramos co esta operació que todas las desviacioes de resultados positivos, sumado los cuadrados de las desviacioes y dividiedo etre se obtiee el estadístico llamado variaza, que sirve de base para calcular la desviació estádar que es la más importate de todas las medidas de dispersió. La variaza (S ) es la media aritmética de los cuadrados de las desviacioes respecto a la media aritmética. Para datos o agrupados: x x S Para datos agrupados: F x x S 7

8 Ejercicios sobre Variaza. 1. E la siguiete serie de úmeros, ecuetre la variaza., 1,, 9, 15, 6, 7, 8, 1, 9 Primero será ecesario ecotrar el valor de la media. x Luego ecotremos la variaza, aplicado: x x S y obtedremos: S = ( ) +( ) +( ) + ( ) + ( ) +( ) +( ) +( ) +( ) +( ) S = Desviació típica o estádar y dispersió relativa. "La desviació típica o estádar es la raíz cuadrada de la variaza" Desviació típica o estádar = S S, de dode Desviació típica o estádar = x x S ; para datos NO agrupados Ejercicios sobre Desviació Típica o estádar. 1. Hallar la desviació estádar de la serie:, 1,, 9, 15, 6, 7, 8, 1, 9 Primero será ecesario ecotrar el valor de la media. x Luego ecotremos la variaza, aplicado: x x S y obtedremos: S = ( ) +( ) +( ) + ( ) + ( ) +( ) +( ) +( ) +( ) +( ) S = Ahora ecotremos la desviació estádar sacádole raíz cuadrada a variaza S S 8

9 Refuerzo PRE-PAES 016 Labomate: Medidas de dispersió Idicació: a cotiuació ecotrará pregutas co 4 respuestas cada ua, 1) Ua máquia embotelladora, despacha líquido co ua desviació típica de 1.5 oz. Cuál es la variaza co la que trabaja esa máquia? a).5 b) 1.5 c) 1.5 d) (.5) ) U etreador desea saber la variació etre los pesos y las alturas de los itegrates de su equipo. Calcule el coeficiete de variació y coteste cuál medida tiee más variació? Peso(lbs) Altura (m) a) No hay variació b) Tiee la misma variació c) Altura d) Peso 3) E ua empresa la media aritmética de los salarios de los trabajadores es $400, y la desviació estádar es de $5. Si a cada trabajador se le da u aumeto de $50, etoces la ueva media y la ueva desviació estádar será respectivamete a) 400 y 5 dólares b) 450 y 5 dólares c) 400 y 75 dólares d) 450 y 75 dólares 4) Las catidades de diero que cico persoas carga e sus carteras so: $3, $5, $8, $9 y $. La desviació típica de éstas catidades es: a) 7.00 dólares b) 6.80 dólares c).61 dólares d).40 dólares 9

10 5) La media aritmética de los salarios de los trabajadores de ua empresa es de 300 dólares y la variaza de 0 dólares. Si a cada trabajador se le da u aumeto del 5% de su salario, cuáles será, respectivamete, la ueva media y la ueva desviació típica? a) $375; $1.50 b) $35; $0 c) $375; $0 d) $35; $15 6) La siguiete tabla muestra las otas e u curso de literatura de los 60 estudiates participates. Cuál es la desviació media? Notas N de alumos 1 0 Pm P m. f pm x x p. f m total 60 a) 0.06 b) 0.6 c).6 d).6