CLASE SOBRE APLICACIONES LINEALES

Transcripción

1 Álgebra Mauel Hervás Curso 0-0 CLAS SOBR APLICACIONS LINALS. INTRODUCCIÓN l problema que se va a abordar es la forma de RLACIONAR los elemetos de dos espacios vectoriales, mediate expresioes matemáticas. stos coceptos se utiliza e diversas ramas de la ciecia como el procesado de imágees, las gráficas por ordeador, los circuitos electróicos, la vibració de cuerpos elásticos, la mecáica cuática, las cadeas de Markov los estudios de Fractales. Brevemete se revisa el CONCPTO D APLICACIÓN. Sea A B dos cojutos cualesquiera se dice que se ha defiido ua aplicació de A e B si todos los elemetos de A tiee image e B además ua SOLA image. f : A B x A! B / f ( x) f ( x ) f ( x ) x x Al cojuto A se deomia Cojuto Iicial al cojuto B, Cojuto Fial. A Los elemetos x A (del cojuto A) se les deomia ANTCDNTS los elemetos de B que se obtiee mediate la aplicació f so las IMÁGNS. l subcojuto de B que posee las imágees de los elemetos de A, se deomia cojuto IMAGN. Se represeta por Im f B / x A, f ( x) f ( A). Puede haber elemetos de B que o tega atecedete e A tambié puede existir elemetos de B que tega varios atecedetes e A. jemplo: Sea los cojutos A,, B,, 4 aplicació f : A B. Se defie la x A! ( f ) x x, tiee B por cuadrado. Los atecedetes so todos los elemetos de A. Las imágees está e el cojuto Image Im, 4 f. Se observa que el elemeto B o tiee atecedete e A por que o es cuadrado de iguo de los elemetos del cojuto A. el elemeto B tiee dos atecedetes e A, cuo cuadrado es.

2 Álgebra Mauel Hervás Curso 0-0 TIPO D APLICACIÓN Ua Aplicació puede ser SOBRYCTIVA: Todos los elemetos de B tiee al meos u atecedete e A. B x A / f ( x) INYCTIVA: A elemetos distitos del cojuto A correspode imágees distitas del cojuto B. f ( x ) f ( x ) x x BIYCTIVA: s ua aplicació que al mismo tiempo es iectiva sobreectiva. s decir todo elemeto de B tiee u sólo u atecedete e el cojuto A. B! x A / f ( x) No so aplicacioes a) f : R R x R x x 0 a que esta ecuació o tiee solució real. b) f R R x R x x a que esta ecuació tiee dos : 0 raíces reales x 0 x. Para evitar las dos imágees, e estos casos, se dice que existe la rama + que sí sería aplicació respectivamete la rama que tambié lo sería. c) el ejemplo usado al defiir la aplicació, si cambiamos el cojuto iicial: A,,, B,, 4 la correspodecia tiee por cuadrado o es aplicació porque el elemeto A o tiee image e el cojuto B a que etre sus elemetos o se ecuetra el 9.

3 Álgebra Mauel Hervás Curso 0-0. DFINICIÓN D APLICACIÓN LINAL Sea F dos k-ev (defiidos sobre el mismo cuerpo K) co elemetos eutros respectivos 0 0 F F. De dimesioes dim( ), dim( F) m f : F es ua APLICACIÓN LINAL de e F o tambié Homomorfismo de espacios vectoriales, si verifica dos codicioes. x, f ( x ) f ( x) f ( ) La aplicació f coserva la SUMA.. x, K f ( x) f ( x) La aplicació f coserva el PRODUCTO POR SCALAR. jemplos que o so aplicació lieal La aplicació coserva la suma NO es aplicació lieal f : R R f ( x) x coserva el producto por escalar NO es aplicació lieal a que o se f ( x) f ( ) x f ( x ) ( x ) x x f : R R f ( x, ) ( x,) porque o se (, ),, f x x x f x f x x,,, stas dos codicioes se suele codesar e ua SÓLA que expresa: La image de ua combiació lieal de dos vectores de es tambié ua combiació lieal de sus imágees., K, x, f ( x ) f ( x) f ( ) Habitualmete evitaremos escribir el puto para expresar la le de composició extera: Producto de escalar por vector. jemplos:. La proecció de u vector del espacio geométrico sobre el plao XY es ua aplicació lieal. f : R R f ( x,, z) ( x,,0). efecto, R, u, v R u ( x,, z ), u ( x,, z ) dos vectores de Sea (,, ) (,, ),, f x z x z f x x z z R

4 Álgebra Mauel Hervás Curso 0-0 x x,,0 ( x,,0) ( x,,0) f ( x,, z ) f ( x,, z ). La traslació e el plao geométrico NO es aplicació lieal. f : R R f ( x, ) x, Traslació a (,) u ( x, ), u ( x, ) dos vectores de Sea R (, ) (, ), f u u f x x f x x ( x x, x ) Por otra parte f ( u) f ( u) ( x, ) ( x, ) ( x x, ) La image de la suma NO es suma de imágees.. la geometría vectorial de dimesió so aplicacioes lieales: Simetrías Rotacioes Homotecias Proeccioes 4. el Aálisis so aplicacioes lieales: Derivació Itegració Trasformacioes itegrales o Trasformada de Fourier o Trasformada de Laplace. TIPO D APLICACIONS LINALS. Si f : F es INYCTIVA es u MONOMORFISMO.. Si f : F es SOBRYCTIVA es u PIMORFISMO.. Si f : F es BIYCTIVA es u ISOMORFISMO. 4. Si F es u NDOMORFISMO. 5. U edomorfismo biectivo es u AUTOMORFISMO. 4

5 Álgebra Mauel Hervás Curso Si F K, f : K es ua FORMA LINAL. Siedo K el cuerpo de escalares que es espacio vectorial. Alguos ejemplos: La IDNTIDAD x id ( x) x es Automorfismo. l domorfismo NULO x f ( ) 0 0 x 4. SPACIO VCTORIAL D LAS APLICACIONS LINALS l cojuto de las aplicacioes lieales de dos espacios vectoriales L(, F ) co las operacioes f, g L ( f g)( x) f ( x) g( x) f L, K ( f )( x) f ( x) se comprueba que tiee estructura de espacio vectorial de dimesió m. particular el espacio vectorial de las Formas Lieales se deomia spacio Dual. 5. XPRSIÓN MATRICIAL Sea F dos k-ev de dimesioes respectivas dim( ) dim( F) m. Co bases B e, e,, e, B,,, Se cosidera la aplicació lieal f : F. Las imágees de los vectores de la base de : j j j mj m ij i i F f ( e ) a a a a ; j.. m f ( e ) a a am m f ( e ) a a am m f ( e ) a a am m U vector cualquiera de : u u xe xe xe. f ( u) m m. Su image es u vector de F: m 5

6 Álgebra Mauel Hervás Curso 0-0 f ( u) f ( xe xe xe ) x f ( e ) x f ( e) x f ( e) x ( a a a ) x ( a a a ) m m m m x ( a a a ) m m m m Igualado coordeadas resulta la XPRSIÓN MATRICIAL a a a x a a a x am am a m m x f ( e) f ( e) f ( e ) A x ;, i m j i.. m j.. OBSRVACIONS a x a x a x a x i ij j i i i j. Para obteer la image de u vector de, basta co realizar el producto de dos matrices. Ua es la matriz A que defie la aplicació lieal la m otra es ua matriz columa e la que figura las coordeadas del vector de, respecto a la base B.. Coviee saber que el úmero de filas de la matriz A m coicide co la dimesió del espacio fial F, dim(f) = m. l úmero de columas coicide co la dimesió del espacio iicial, dim() =.. Las columas de la matriz A m, asociada a la aplicació lieal so las imágees de los vectores de la base de, B. 4. Si las dimesioes de los espacios vectoriales so iguales dim( ) dim( F), la matriz A es cuadrada de orde. Si la aplicació lieal es u isomorfismo la matriz A es regular existe su iversa A. 5. Dado u vector de F para obteer su atecedete basta resolver u sistema lieal de ecuacioes. Habrá solució si el vector elegido perteece al cojuto Image e otro caso el sistema resulta icompatible. 6

7 Álgebra Mauel Hervás Curso IMAGN Y NÚCLO IMAGN l subespacio image se expresa: Im f F / x, f ( x). ste subespacio se egedra mediate las columas de la matriz A, a que éstas so las imágees de los vectores de la base de. Se verifica que Im f F Si el rago de la matriz A es rg( A) estará formado por las r columas de idepedietes. dim(im f) r ua base del subespacio Image r A que sea liealmete NUCLO l úcleo de u homomorfismo está compuesto por aquellos vectores de cua image es el 0 F F. Se expresa: ker f u / f ( u) 0 F Se verifica que f (0 ) 0. efecto x f ( x 0 ) f ( x) f (0 ) f ( x) f (0 ) 0 Además f ( x) f ( x) x ( x) / x ( x) 0 F F f x ( x) f ( x) f ( x) f (0 ) 0 f ( x) f ( x) Si el rago de la matriz A es rg( A) r. Para obteer ua base del úcleo se parte de u sistema de ecuacioes lieal homogéeo de m ecuacioes co icógitas que siempre admite la solució trivial (0,...,0), es decir el vector ulo. ai x ai x ai x 0 i... m F 0 a a a x 0 a a a x 0 am am a m x 7

8 Álgebra Mauel Hervás Curso 0-0 Al ser r el úmero de filas de la matriz A liealmete idepedietes, resulta sólo r ecuacioes libres co icógitas, es decir u sistema idetermiado que so las ecuacioes implícitas del úcleo. Dado que ha r icógitas libres se puede afirmar que la dimesió del úcleo es dim(ker f ) r Por tato se puede despejar r icógitas e fució de las r restates, obteiedo así uas ecuacioes paramétricas del úcleo co r parámetros, de modo que al dar valores adecuados a los parámetros se puede obteer ua base del úcleo. el caso r ker f 0 dim(ker f ) 0. La aplicació es Iectiva, la úica solució del sistema es la trivial. Se verifica dim(ker f ) dim(im f ) dim( ) r r jemplo: Sea el edomorfismo Defiido Solució x x f : R R referido a la base B e, e Obteer el Núcleo la Image. Como el rg( A) se verifica que dim(ker f ) r. La ecuació implícita del úcleo es xx 0 Las ecuacioes paramétricas del úcleo so Ua base del úcleo es B ker f x x u e e Ua base del subespacio image: BIm f que es ua columa de la matriz A. dim(im f) r v e e 7. PROPIDADS. l NUCLO es u subespacio vectorial de. Se utiliza el Criterio de subespacio vectorial, K u, v kerf Comprobar que u v kerf 8

9 Álgebra Mauel Hervás Curso 0-0 f ( u) f ( v) 0 F a que ambos vectores so del úcleo f ( u v) f ( u) f ( v) F F F Luego u v kerf por tato es subespacio vectorial. Además se verifica que f(0 ) 0 0 ker f. F. LA IMAGN es u subespacio vectorial de F. Se utiliza el Criterio de subespacio vectorial, K, u, vim f Comprobar que u v Im f u, vim f x, / u f ( x), v f ( ) u v f ( x) f ( ) f ( x ) u v Im f a que x es su atecedete.. Ua aplicació f es INYCTIVA si sólo si ker f 0 Directo: f es iectiva ker f 0 Partir de que f es iectiva comprobar que ker f 0 f ( x) f ( ) x Si f es iectiva se verifica: x ker f f ( x) f (0 ) x 0 Luego el úcleo SOLO tiee el vector 0 Recíproco: Si ker f 0 f es iectiva Partir de que el úcleo solo tiee el vector 0 comprobar que la aplicació es iectiva. s decir f ( x) f ( ) x Sea dos vectores, x co imágees f ( x), f ( ) F f ( x) f ( ) f ( x) f ( ) 0 F f ( x ) 0 F. Si se verifica Si f ( x ) 0 x ker f x 0 x dado que e el úcleo sólo está el vector 0. F 9

10 Álgebra Mauel Hervás Curso Dos K-ev so ISOMORFOS dim( ) dim( F) Directo: f : F es Isomorfismo dim( ) dim( F) Por ser Isomorfismo la aplicació es biectiva, por tato iectiva sobreectiva. Si se verifica dim( ). Ha que comprobar que dim( F) Si f es iectiva dim(ker f ) r 0 r. Si f es sobreectiva Im f F dim(im f ) r dim( F). Por tato ambos espacios vectoriales tiee la misma dimesió. Recíproco: Si dim( ) dim( F) xiste ua aplicació lieal f que es u isomorfismo. Para probar que f es isomorfismo ha que demostrar que es ua aplicació iectiva sobreectiva por tato biectiva. Sea B e, e,, e ua base de B,,, F. Se cosidera la aplicació lieal : F ua base de f F u u e e e ;. La aplicació así defiida es sobreectiva porque defiida por f( u). f ( u) f ( e e ) f ( e ) f ( e ) Luego f ( e),, f ( e ). s decir las imágees de los vectores de la base de forma ua base de F: Im f F.. La aplicació así defiida es iectiva porque si se verifica: f ( u) 0F u 0 ; f( u) F F por ser i ua base de F. Si f ( u) 0 F u kerf, como u e e e u 0 a que so ulos los i por tato ker f 0 f es iectiva. NOTA: Se cosidera la aplicació lieal f : M, que asocia a cada vector de ua matriz columa, e la que sus elemetos so las coordeadas del vector. Se trata de u Isomorfismo que posibilita trabajar co matrices e vez de vectores. 0

11 Álgebra Mauel Hervás Curso CAMBIO D BAS Utilizado las fórmulas de cambio de base e espacios vectoriales: : ( u ) ( e ) P ; F: ( v) ( ) Q. P Q so las matrices de cambio de i i i... i i i... m base e cada espacio vectorial. Las coordeadas se relacioa: : x P x' ; F: Q ' Atiguas Nuevas Atiguas Nuevas xpresió matricial: Ax, tras el cambio ' A' x' Sustituedo x e la expresió matricial resulta: Ax Q' A Px' ' Q A Px' ' A' x' ' Q A Px' Por tato A' Q A Pque es la fórmula que relacioa las matrices A A de la aplicació lieal asociadas a las respectivas bases de F. jercicio de cambio de Base Dada la aplicació lieal f : R R defiida por su expresió: x 5 x 4 6 x referida a las respectivas bases caóicas: fectuar el cambio de base: e, e, e, ( u u u) ( e e e) 0 ( vv ) ( ) ; SOLUCIÓN Se utiliza la fórmula deducida ateriormete A' Q A P, siedo

12 Álgebra Mauel Hervás Curso 0-0 A ; P 0 ; Q Se obtiee Q al aplicar la fórmula aterior Q A 0 P Comprobació: = A' 4 f( u) 6 que al expresarlo e la base ueva resulta f ( u ) 4 6 4( v v ) 6( v v ) 4v 0v que es la primera columa de la matriz A de la aplicació lieal. Aálogamete para los demás vectores de la ueva base. f ( u ) 4 ( v v ) 4( v v ) 0v 7v f ( u ) 6 6( v v ) ( v v ) 54v 8v 9. APLICACIÓN COMPUSTA Dados tres K-ev, F, G. Se cosidera las aplicacioes lieales: f : F, g : F G. Sea A la matriz asociada a f B la matriz asociada a g. Se cosidera la aplicació compuesta h g f defiida f g h : G, F G ; h( x) g( f ( x)). h: G La matriz asociada a h es B A. La composició de aplicacioes tiee la propiedad asociativa pero e geeral o tiee la propiedad comutativa. JRCICIO D APLICACIÓN Se da los R-ev: P ( ) x espacio vectorial de los poliomios de coeficietes reales de grado meor o igual a. M espacio vectorial de las matrices cuadradas de orde.

13 Álgebra Mauel Hervás Curso 0-0 Se cosidera la aplicació lieal f : P( x) M defiida a b d f ( ax bx cx d) bc 0. Defiir las bases caóicas de P( x ) M.. xpresió matricial asociada a las bases caóicas.. cuacioes implícitas del subespacio de M : Im f 4. Base del subespacio de P( x ) : ker f 5. Hallar la matriz de la Aplicació Lieal si cambia la base de P( x ). SOLUCIÓN B x x x ' P ( x),,,. Las base caóicas de P( x ) M so respectivamete P ( x),,, B x x x ; B M ,,, Para hallar la matriz de la aplicació lieal ha que obteer las imágees de los vectores de la base caóica de f ( x ), f ( x ), f ( x), f () x x A ; x x 4 4. Ua base del subespacio image se forma co las columas de la matriz que so liealmete idepedietes. B Im f ,, ; cuacioes Paramétricas 4 0 Al elimiar los tres parámetros etre las cuatro ecuacioes paramétricas, resulta ua cuació Implícita del subespacio Im f

14 Álgebra Mauel Hervás Curso La dimesió del subespacio image es el rago de la matriz A. Por tato se verifica que dim(im f) r 4. Las ecuacioes implícitas de ker f, se obtiee al igualar al vector 0 M las ecuacioes de la aplicació lieal. Implícitas x 0 x x4 0 x x 0 dim(ker f ) r 4 x 0 0 x a Paramétricas Bker f x a x4 a p( x) p( x) ker f ; p( x) x x. 0 0 f ( x x ) P es la matriz de cambio de base e P( x ) : P Habiedo escrito por columas las coordeadas de los vectores de la base ueva B' P ( x), x, x, x caóica de P( x ). expresados los vectores e la base La matriz de cambio de base e M : Q I Q I Por tato A' Q A P I A P A P A P

15 Álgebra Mauel Hervás Curso A' Tambié podría obteerse la matriz A mediate las imágees de los vectores de la ueva base que so las columas de A f (), f ( x), f ( x ), f ( x )

16 Álgebra Mauel Hervás Curso 0-0 MOVIMINTOS N L PLANO. SIMTRÍA D J X x ' x x ' 0 x ' ' 0 0 x 0 Im f ; ker f ; ker f SOBRYCTIVA Por tato es Biectiva. SIMTRÍA D J Y INYCTIVA x ' x x ' 0 x ' ' 0 0 x 0 Im f ; ker f ; ker f SOBRYCTIVA INYCTIVA Por tato es Biectiva. SIMTRÍA RSPCTO AL ORIGN x ' x x ' 0 x ' ' 0 0 x 0 Im f ; ker f ; ker f SOBRYCTIVA INYCTIVA Por tato es Biectiva 4. HOMOTCIA D CNTRO L ORIGN Y RAZÓN K x ' kx x ' k 0 x ' k ' 0 k k 0 x 0 Im f ; ker f ; ker f 0 0 k 0 SOBRYCTIVA INYCTIVA Por tato es Biectiva 5. TRASLACIÓN: NO S APLICACIÓN LINAL, S APLICACIÓN AFIN. x ' a x x ' a x ' b ' b a Guía: vector que se suma a todos los vectores b 6

17 Álgebra Mauel Hervás Curso 0-0 JRCICIO ROTACIÓN Obteer la matriz de la rotació e setido ati horario. R : R R, siedo R la rotació de águlo P(x, ) SOLUCIÓN P(x,) x rcos( ) rse( ) x' rcos( ) ' rse( ) x' r cos( )cos( ) rse( ) se( ) xcos( ) se( ) x' rse( )cos( ) r cos( ) se( ) xse( ) cos( ) Como cos( ) se( ) se( ) cos( ) x' cos( ) se( ) x ' se( ) cos( ) cos ( ) se ( ) ; ker 0 f e cosecuecia la aplicació es iectiva al ser sobreectiva resulta biectiva por tato existe matriz iversa. particular para. cos( ) se( ) A se( ) cos( ) x' 0 x ' 0 ; x 0 x' 0 ' 7