CAP ITULO I ALGEBRA LINEAL. 1

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1 CAPÍTULO I ÁLGEBRA LINEAL 1

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3 Tema 1 Espacios Vectoriales Notaremos por R al cuerpo de los úmeros reales Defiició 11 Sea E u cojuto o vacío e el que se tiee defiida ua ley de composició itera (llamada suma): que verifica las siguietes propiedades: + E E E (α,β) α + β 1 Asociativa: (α + β) + γ = α + (β + γ) para cualesquiera α,β,γ E 2 Comutativa: α + β = β + α para cualesquiera α,β E 3 Existecia de elemeto eutro: Existe u elemeto e E, llamémoslo 0, tal que α + 0 = α para todo α E 4 Elemeto opuesto: Para todo α E, existe u elemeto e E, llamémoslo α, tal que α + ( α) = 0 Se dice etoces que (E,+) es u grupo aditivo comutativo o abeliao Defiició 12 Dado E u cojuto o vacío, E es u espacio vectorial sobre R si existe ua ley de composició itera + respecto de la cual (E,+) es u grupo comutativo, y existe ua ley de composició extera verificado las siguietes propiedades: 1 α(x + y) = αx + αy, α R, x,y E R E E (α, x) αx 2 (α + β)x = αx + βx, α,β R, x E 3 α(βx) = (αβ)x, α,β R, x E 4 1x = x, x E A los elemetos de E se les llamará vectores y a los elemetos de R escalares 3

4 4 Capítulo I Álgebra Lieal Ejemplos 13 1 E = R 2 E = R, co la siguietes operacioes: Para cada x = (x 1,,x ), y = (y 1,,y ) R, α R, x + y = (x 1 + y 1,,x + y ), αx = (αx 1,,αx ) El siguiete resultado se deduce de maera imediata de la defiició de espacio vectorial Proposició 14 (Propiedades elemetales) Sea E u ev Etoces: 1 0x = 0 para todo x E 2 α0 = 0 para todo α R 3 Si αx = 0, etoces α = 0 ó x = 0 4 ( α)x = (αx) = α( x) para cualesquiera α R, x E Defiició 15 Sea E u ev y F E Se dice que F es u subespacio vectorial de E si, co las operacioes suma y producto (por escalar) heredadas de E, F es u espacio vectorial, esto es, para cualesquiera x,y F, α R, se tiee que x + y F, αx F La siguiete caracterizació de subespacio vectorial es imediata Proposició 16 Dado E u ev y F E, F es u subespacio vectorial de E si, y sólo si, αx + βy F, para cualesquiera α,β R, x,y F

5 Tema 1 Espacios Vectoriales 5 Defiició 17 Sea E u ev, {x 1,,x } ua familia fiita de vectores de E y x E Se dice que x es ua combiació lieal de la familia aterior si existe λ 1,,λ R tales que x = λ 1 x λ x Ejemplos 18 1 El 0 de u ev es siempre combiació lieal de cualquier familia de vectores 2 E R 2 cualquier vector es combiació lieal de los vectores (1,0),(0,1): (a,b) = a(1,0) + b(0,1) Defiició 19 Sea E u ev y {e 1,,e } ua familia fiita de vectores de E Cosideremos el siguiete subcojuto de E: F := {x E : x es combiació lieal de {e 1,,e }} F es u subespacio vectorial de E, y se le llama subespacio (vectorial) egedrado o geerado por {e 1,,e } Se ota así: F = e 1,,e ó F = li{e 1,,e } A la familia {e 1,,e } se le llama sistema de geeradores de F Defiició 110 Sea E u ev y {e 1,,e } ua familia de vectores de E Se dice que los vectores e 1,,e so liealmete idepedietes (li) si λ 1 e λ e = 0 λ i = 0, i = 1,, Se dice que e 1,,e so liealmete depedietes (ld) si o so liealmete idepedietes, es decir, existe λ 1,,λ R, co alguo distito de cero, tales que λ 1 e λ e = 0 Presetamos a cotiuació ua secilla caracterizació de la depedecia lieal

6 6 Capítulo I Álgebra Lieal Proposició 111 Sea E u ev y {e 1,,e } ua familia de vectores de E Los vectores e 1,,e so ld si, y sólo si, existe i 1,, tal que x i es combiació lieal de {e 1,,e i 1,e i+1,e } DEMOSTRACIÓN Supogamos que e 1,,e so ld Sea λ 1,,λ R, co λ i 0, tal que λ 1 e λ e = 0 Etoces, se tiee que e i = 1 λ i (λ 1 e λ i 1 e i 1 + λ i+1 e i λ e ) Recíprocamete, supogamos que e i = λ 1 e λ i 1 e i 1 + λ i+1 e i λ e Etoces, λ 1 e λ i 1 e i 1 + λ i+1 e i λ e e i = 0 Ejemplos E R 3, los vectores (1,0,0),(0,1,0) so li 2 E R 3, los vectores (1,0,0),(0,1,0),(2,2,0) so ld Defiició 113 Sea E u ev Ua base de E es u sistema de geeradores de E cuyos vectores so li Teorema 114 Sea E u ev y B = {e 1,,e } ua base de E Etoces, para cada x E, existe x 1,,x R, úicos, tales que x = x 1 e x e DEMOSTRACIÓN Dichos escalares existe, por ser B u sistema de geeradores de E Veamos ahora la uicidad E efecto, sea y 1,,y R tales que x = y 1 e y e Etoces, (x 1 y 1 )e (x y )e = 0 Luego, por ser e 1,,e li, se tiee que x i = y i, i = 1,

7 Tema 1 Espacios Vectoriales 7 Defiició 115 Sea E u ev y B ua base de E Para cada x E, a los coeficietes (úicos) que se obtiee del teorema aterior se les llama coordeadas de x respecto de la base B Ejemplo 116 E R 2, los vectores (1,0),(0,1) forma ua base de R 2 Así mismo, {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} es ua base de R 3 E geeral, la familia de vectores {e 1,,e }, co e i = (0,,0,1,0,0), i = 1,,, costituye ua base de R }{{} A estas i 1 bases se les llama bases caóicas Teorema 117 Sea E u ev y B ua base de E formada por u úmero fiito de vectores Etoces todas las bases de E tiee el mismo cardial, esto es, el mismo úmero de vectores A ese cardial se le llama dimesió de E, y se ota dim(e) Como cosecuecia, se tiee que, para cada N, dim(r ) = Teorema 118 Sea E u ev y F u subespacio vectorial de E Etoces dim(f) dim(e) Dados U, V subespacios vectoriales de u ev E, es imediato comprobar que los cojutos U V = {x E : x U, x V }, U +V = {u + v : u U, v V } so subespacios vectoriales de E El siguiete resultado os muestra la relació existete etre las dimesioes de dichos subespacios Teorema 119 Sea U, V subespacios vectoriales de u ev E Etoces: dim(u +V ) = dim(u) + dim(v ) dim(u V ) Defiició 120 Dado E u ev y U, V dos subespacios vectoriales suyos, se dice que E es suma directa de U y V, y se ota E = U V, si E = U +V y U V = {0} Equivaletemete, si para cada x E existe u U, v V, determiados de forma úica, tales que x = u + v

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9 Tema 2 Aplicacioes lieales Defiició 21 Sea E,F dos ev y f : E F ua aplicació Se dice que f es ua aplicació lieal si: 1 f (x + y) = f (x) + f (y) para cualesquiera x,y E 2 f (λx) = λ f (x) para cualesquiera λ R, x E A las aplicacioes lieales se les llama tambié homomorfismos Ua aplicació lieal e iyectiva recibe el ombre de moomorfismo U epimorfismo es ua aplicació lieal y sobreyectiva Toda biyecció lieal se llama isomorfismo Dos espacios vectoriales E, V se dice isomorfos si existe u isomorfismo etre ambos, y se ota E = V Ejemplos 22 Sea E u ev Las siguietes aplicacioes f : E E so lieales: 1 f (x) = 0, x E 2 f (x) = λx, x E (λ es u úmero real fijo) Los resultados que sigue os muestra propiedades elemetales de las aplicacioes lieales Proposició 23 Sea E,F ev y f : E F 1 f es lieal si, y sólo si, f (λx + µy) = λ f (x) + µ f(y) para cualesquiera λ,µ R, x,y E 2 Si f es lieal, etoces: a) f (0) = 0 b) f ( x) = f (x) para todo x E c) f (x y) = f (x) f (y) para cualesquiera x,y E d) f trasforma vectores ld de E e vectores ld de F 9

10 10 Capítulo I Álgebra Lieal Proposició 24 Sea E, F ev, f, g : E F aplicacioes lieales y λ R Etoces las aplicacioes f + g,λ f : E F defiidas por: ( f + g)(x) := f (x) + g(x), (λ f )(x) := λ f (x), x E, so tambié lieales Además, co estas operacioes, el cojuto L(E, F) de aplicacioes lieales de E e F es u ev Proposició 25 Sea E,F,G ev y f : E F,g : F G aplicacioes lieales Etoces la aplicació g f : E G defiida por: es tambié lieal (g f )(x) := g( f (x)), x E, Proposició 26 Sea E, F ev y f : E F ua aplicació biyectiva y lieal Etoces f 1 tambié es lieal El resultado aterior os dice que la aplicació iversa de u isomorfismo es tambié u isomorfismo Asociados a ua aplicació lieal existe subespacios vectoriales espaciales, que presetamos a cotiuació Defiició 27 Sea E, F, ev y f : E F u aplicació lieal Se defie el úcleo de f como La image de f se defie: Ker( f ) := {x E : f (x) = 0} Im( f ) := {y F : x E, y = f (x)} Es trivial demostrar que Ker( f ) es u subespacio vectorial de E y que Im( f ) es u subespacio vectorial de F

11 Tema 2 Aplicacioes Lieales 11 Teorema 28 Sea E, F ev y f : E F ua aplicació lieal Etoces: 1 f es iyectiva si, y sólo si, Ker( f ) = {0} 2 f es sobreyectiva si, y sólo si, Im( f ) = F DEMOSTRACIÓN 1 Supogamos que f es iyectiva Sea x Ker( f ) Etoces, f (x) = 0 = f (0) Luego, por ser f iyectiva, x = 0 Recíprocamete, supogamos que Ker( f ) = {0} y sea x,y E co f (x) = f (y) Etoces, f (x y) = 0 Luego, x y = 0 2 Se deduce de la defiició de aplicació sobreyectiva Teorema 29 Sea E, F ev y f : E F ua aplicació lieal Etoces: 1 f trasforma subespacios vectoriales de E e subespacios vectoriales de F, esto es, si U es u subespacio vectorial de E, etoces f (U) es u subespacio vectorial de F 2 f trasforma sistemas de geeradores de E e sistemas de geeradores de Im( f ) E particular, f es sobreyectiva (epimorfismo) si, y sólo si, trasforma sistemas de geeradores de E e sistemas de geeradores de F 3 f es iyectiva (moomorfismo) si, y sólo si, f trasforma vectores li de E e vectores li de F 4 Si f es iyectiva, etoces f trasforma bases de E e bases de Im( f ) E particular, si f es biyectiva, etoces f trasforma bases de E e bases de F DEMOSTRACIÓN 1 Es imediato 2 Sea {e 1,,e } u sistema de geeradores de E Dado y Im( f ), existe x E tal que f (x) = y Por otra parte, existe λ 1,,λ R tales que x = f lieal, y = λ 1 f (e i ) λ i e i Luego, por ser

12 12 Capítulo I Álgebra Lieal 3 Supogamos que f es iyectiva, y cosideremos ua familia de vectores li {e 1,,e } Sea λ 1,,λ R tales que λ i f (e i ) = 0 Etoces λ i e i Ker( f ) Por el Teorema 28, λ ie i = 0 Por ser los vectores e 1,,e li, se tiee que λ i = 0, i = 1,, Recíprocamete, Por el Teorema 28, hay que probar que Ker( f ) = 0 E efecto, sea x Ker( f ) ( f (x) = 0) Ya que {0} es ld, se tiee que {x} es tambié ld, luego se ha de cumplir que x = 0 4 Es cosecuecia imediata de los apartados 2 y 3 Observació Como cosecuecia del apartado 2 del teorema aterior, teemos que toda aplicació lieal queda determiada cuado se cooce las imágees de los vectores de ua base del domiio Teorema 210 Sea E u ev Etoces dim(e) = si, y sólo si, E es isomorfo a R (E = R ) DEMOSTRACIÓN Supogamos que dim(e) = y sea {u 1,,u } ua base de E Defiimos f : E R de la siguiete maera: dode x = f (x) = (x 1,,x ) ( = x i e i ), x i u i y {e 1,,e } es la base caóica de R (Obsérvese que f está bie defiida, por la uicidad de las coordeadas de x) Es trivial demostrar que f es lieal Veamos que f es iyectiva E efecto, sea x Ker( f ) Etoces, por la defiició de f, x i = 0, i = 1,, Luego, x = 0 y f es iyectiva por el Teorema 28 Para demostrar la sobreyectividad, dado (x 1,,x ) R, basta tomar x = defiició de f x i u i y teer e cueta la Recíprocamete, sea f : R E u isomorfismo Ya que dim(r ) = y f lleva bases de R a bases de E (Teorema 29), se tiee que dim(e) =

13 Tema 2 Aplicacioes Lieales 13 Teorema 211 Sea E, F ev y f : E F ua aplicació lieal Etoces dim(e) = dim((ker( f )) + dim((im( f )) DEMOSTRACIÓN Supogamos que dim(e) = Sea {e 1,,e m } ua base de Ker( f ) (es claro que m ) y sea {y 1,,y p } ua base de Im( f ) Por la Proposició 29, p Sea ahora x 1,,x p E tales que f (x i ) = y i, i = 1,, p Vamos a demostrar que {e 1,,e m,x 1,,x p } es ua base de E E efecto, veamos primero que dichos vectores so li: supogamos que Etoces, 0 = f m λ i e i + ( m λ i e i + p µ j x j = 0 j=1 ) p µ j x j = j=1 p µ j y j j=1 Ya que y 1,,y p so li, se tiee que µ i = 0, i = 1, p Por tato, m λ i e i = 0 Luego, por la idepedecia lieal de e 1,,e m, obteemos que λ i = 0, i = 1,,m Fialmete, veamos que {e 1,,e m,x 1,,x p } es u sistema de geeradores de E E efecto, sea x E Etoces, existe µ 1,,µ p R tales que Por tato, x como queríamos demostrar f (x) = ( p p ) µ j y j = f j x j j=1 j=1µ p µ j x j Ker( f ) Por cosiguiete, existe λ 1,λ m R tales que j=1 x p µ j x j = j=1 m λ i e i,

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15 Tema 3 Matrices Defiició 31 Llamaremos matriz A de m filas y columas: a 11 a 12 a 1 A = a 21 a 22 a 2 = (a i j) a m1 a m2 a m A m se le llama orde de la matriz Notaremos M m (R) al cojuto de todas las matrices de orde m de úmeros reales A cotiuació establecemos las operacioes que se puede realizar co matrices: 1 Suma: Dadas A = (a i j ),B = (b i j ) M m (R), se defie A + B = (a i j + b i j ) 2 Producto por escalar: Dada A = (a i j ) M m (R) y λ R, se defie λa = (λa i j ) 3 Producto: Dadas A M m (R), B M p (R), se defie A B = (c i j ) M m p (R) así: c i j = a ik b k j, i = 1,m, j = 1, p k=1 Observació: E geeral, el producto de matrices o es comutativo Basta cosiderar, por ejemplo: ( ) ( ) A =, B = A toda aplicació lieal se le puede asociar ua matriz E efecto, sea E,F ev, B = {e 1,,e } ua base de E, B = {e 1,,e m} ua base de F y f : E F ua aplicació lieal Supogamos que f (e 1 ) f (e 2 ) f (e ) = a 11 e 1 + a 21e a m1e m = a 12 e 1 + a 22e a m2e m = a 1 e 1 + a 2e a me m 15

16 16 Capítulo I Álgebra Lieal Dado x E, x = f (x) = x i e i, f (x) = x i f (e i ) = m y j e j Por otra parte, se tiee j=1 ( m ) i a i j e x m j = a i j x i )e j=1 j=1( j Por tato, y 1 y 2 y m = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1 x = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2 x = a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m x Llamaremos matriz de f asociada a las bases B y B, M( f,b,b ) = a 11 a 12 a 1 a 21 a 22 a 2 a m1 a m2 a m Etoces, la expresió matricial de f queda así: Y = M( f,b,b )X, dode X = x 1 x 2 x, Y = y 1 y 2 y m La demostració de los dos siguietes resultados la omitimos por trivial Proposició 32 Sea E, F ev, B, B bases de E y F, respectivamete, y f,g : E F aplicacioes lieales Etoces: M( f + g,b,b ) = M( f,b,b ) + M(g,B,B )

17 Tema 3 Matrices 17 Proposició 33 Sea E, F, G ev, B, B, B bases de E, F, G, respectivamete, y f : E F, g : F G aplicacioes lieales Etoces: M(g f,b,b ) = M(g,B,B ) M( f,b,b ) Presetamos e el siguiete listado alguos tipos de matrices importates: Ejemplos 34 1 Matriz cuadrada: m = (el mismo úmero de filas que de columas) Se llama al orde de la matriz y se ota M (R) al cojuto de matrices cuadradas de orde 2 Matriz uidad: Dado, se defie I = E otras palabras, I = (a i j ) M (R), dode { 1 si i = j a i j = 0 si i j 3 Matriz escalar: Es de la forma ai, es decir, a a a dode a R 4 Matriz diagoal: Es de la forma a a a dode a 1,α 2,,a R

18 18 Capítulo I Álgebra Lieal 5 Matriz triagular a) Superior: Esto es, a i j = 0, para i > j a 11 a 12 a 1 0 a 22 a a a b) Iferior: Es decir, a i j = 0, para i < j a a 21 a 22 0 a 1 a 2 a 6 Matriz iversible o regular: A M (R) es iversible o regular si existe B M (R) tal que A B = B A = I La matriz B es úica y se llama matriz iversa de A, y se ota B = A 1 Sea E u ev y B = {e 1,,e } y B = {e 1,,e } dos bases de E Dado x E, supogamos coocidas las coordeadas x 1,,x de x respecto de la base B Nos pregutamos etoces cuáles será las coordeadas de x respecto de la base B Notemos x 1,,x a esas coordeadas y supogamos que coocemos las coordeadas de cada e i respecto de la base B : e 1 = a 11 e 1 + a 21e a 1e e 2 = a 12 e 1 + a 22e a 2e E tal caso, x = x j e j = j=1 e = a 1 e 1 + a 2e a e ( ) j a i j e j=1x i = a i j x j )e ( i j=1 Por lo tato, se tiee x i = a i j x j, i = 1, j=1

19 Tema 3 Matrices 19 dode Si llamamos P = (a i j ), matricialmete os quedaría lo siguiete: X = x 1 x 2 x X = P X,, X = x 1 x 2 x La matriz P se llama matriz de cambio de base de B a B El cambio de base tambié se puede tratar desde el puto de vista de aplicacioes lieales E efecto, sea I : E E la aplicació idetidad, esto es, I(x) = x, para todo x E Etoces se tiee que P = M(I,B,B ) Para calcular ahora la matriz Q de cambio de base de B a B, basta teer e cueta que la matriz P es iversible, por ser I ua aplicació biyectiva, y tedríamos que Q = P 1 = M(I,B,B) Tratamos a cotiuació el cambio de base para aplicacioes lieales Sea E,F ev, B,B bases de E, C,C bases de F y f : E F ua aplicació lieal Queremos saber la relació etre M = M( f,b,c) y M = M( f,b,c ) Para ello, otemos P y Q a las matrices de cambio de base de B a B y de C a C, respectivamete Teemos el siguiete diagrama comutativo: Etoces, por la Proposició 33, f (E,B) (F,C) I E I F (E,B f ) (F,C ) M = Q M P 1 Defiició 35 Dada A = (a i j ) M m (R), se llama matriz traspuesta de A a la matriz A t = (b i j ) M m (R), dode b i j = a ji Obsérvese que se trata simplemete de cambiar filas por columas

20 20 Capítulo I Álgebra Lieal Proposició 36 1 (A + B) t = A t + B t, para cualesquiera A,B M m (R) 2 (A B) t = B t A t, para cualesquiera A M m (R), B M p (R) 3 Si A M (R) es iversible, etoces A t tambié es iversible co (A t ) 1 = (A 1 ) t Defiició 37 Sea A = (a i j ) M (R) Se defie el determiate de A, y se ota A, como sigue: 1 = 2: A = a 11 a 22 a 12 a 21 2 = 3 (regla de Sarrus): A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 3 cualquiera: LLamemos A i j a la matriz de orde 1 que se obtiee de A elimiado la fila i y la columa j Se defie el cofactor del elemeto a i j como i j = ( 1) i+ j A i j Etoces, A = a i j i j j=1 Eumeramos a cotiuació las propiedades de los determiates Proposició 38 Sea A,B M (R) 1 El determiate de A o depede de la fila respecto a la que se desarrolle, esto es, A = a i j i j, i = 1,, j=1 2 El determiate de A se puede calcular desarrollado por columas, es decir, 3 A = A t 4 A B = A B A = a i j i j, j = 1,,

21 Tema 3 Matrices 21 5 Si A tiee ua fila o ua columa de ceros, etoces A = 0 6 Si e A se multiplica ua fila o ua columa por u escalar, etoces el determiate obteido es el siguiete: a 11 a 1 λa i1 λa i a 1 a = λ A 7 Si A tiee dos filas o dos columas iguales o proporcioales, etoces A = 0 8 Si e ua fila o e ua columa de A aparece la suma de dos térmios, etoces se obtiee el siguiete determiate: a 11 a 1 b i1 + c i1 b i + c i a 1 a a 11 a 1 a 11 a 1 = b i1 b i + c i1 c i a 1 a a 1 a 9 Si la matriz B se obtiee de A sumado a ua fila (o columa) de ésta los elemetos de otra fila (o columa) multiplicados por u escalar, etoces B = A Defiició 39 Dada A M (R), se llama matriz adjuta de A, y se ota A, a la matriz de cofactores de A Teorema 310 Dada A M (R), A es iversible si, y sólo si, A 0 E caso afirmativo, A 1 = 1 A (A ) t

22 22 Capítulo I Álgebra Lieal DEMOSTRACIÓN Supogamos que A es iversible Etoces, A A 1 = I Luego, A A 1 = 1 Por lo tato, A = 0 Recíprocamete, supogamos que A = 0 Es fácil comprobar que a 11 a A (A ) t = = a 1 a 1 = A A 0 = A I 0 0 A

23 Tema 4 Sistemas de ecuacioes lieales Defiició 41 Dada A M m (R), u meor de orde k (1 k mí{m,}) de A es el determiate de ua matriz cuadrada (de orde k) costruida itersecado k filas y columas de A Al mayor de los órdees de los meores o ulos se le llama rago de la matriz A, y se ota r(a) Teorema 42 El rago de ua matriz coicide co el úmero de filas (o columas) liealmete idepedietes Defiició 43 U sistema de ecuacioes lieales se defie así: a 11 x 1 + a 12 x a 1 x = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2 x = b 2 (1) a m1 x 1 + a m2 x a m x = b m La omeclatura usada es la siguiete: x i, i = 1,,, se llama icógitas del sistema a i j, 1 i m, 1 j, so los coeficietes del sistema b j, j = 1,,m, so los térmios idepedietes del sistema 23

24 24 Capítulo I Álgebra Lieal Defiició 44 Ua solució del sistema (1) es u vector (x 1,,x ) R que verifique las m ecuacioes Resolver el sistema (1) es ecotrar el cojuto S de todas las solucioes de dicho sistema Puede ocurrir varias cosas: 1 S = /0 E tal caso, el sistema se dice icompatible (SI) 2 S /0 Etoces el sistema se llama compatible E esta situació existe dos alterativas: a) S es u cojuto uitario (el sistema tiee ua úica solució) Etoces teemos u sistema compatible determiado (SCD) b) S tiee más de u elemeto (el sistema tiee más de ua solució) Etoces se tiee u sistema compatible idetermiado (SCI) Presetamos ahora la iterpretació matricial de u sistema de ecuacioes lieales Para ello, dado el sistema (1), se llama matriz asociada a este sistema a la matriz de coeficietes A = (a i j ) Si ahora otamos X = x 1 x, B = b 1 b m el sistema (1) quedaría así: A X = B A cotiuació damos la iterpretació vectorial de u sistema de ecuacioes lieales Sea E,F ev, co dim(e) = y dim(f) = m, B y B bases de E y F, respectivamete, y f : E F ua aplicació lieal Notemos A = M( f,b,b ) Dado x E, sea x 1,,x sus coordeadas respecto de la base B, y dado b F, sea b 1,,b m sus coordeadas respecto de la base B Etoces, resolver el sistema (1) es ecotrar x E tal que f (x) = b Puede ocurrir las siguietes cosas: 1 b / Im( f ) Etoces teemos u SI 2 b Im( f ) Etoces se tiee u sistema compatible Observacioes:

25 Tema 4 Sistemas de ecuacioes lieales 25 1 Si f es sobreyectiva, etoces el sistema es compatible, ya que Im( f ) = F 2 Si f es iyectiva, teemos dos casos: a) Si b Im( f ), etoces se tiee u SCD b) Si b / Im( f ), etoces teemos u SI 3 Si f es biyectiva, etoces estamos ate u SCD Defiició 45 El sistema (1) es llamado u sistema de Cramer si m = (mismo úmero de ecuacioes que de icógitas) y A 0 Damos ahora u método para resolver u sistema de Cramer Proposició 46 (Regla de Cramer) Supogamos que (1) es u sistema de Cramer Etoces, (1) es u SCD y su solució es: b 1 a 12 a 1 a 11 b 1 a 13 a 1 a 11 a 1 1 b 1 b a 2 a a 1 b a 3 a a 1 a 1 b x 1 =, x 2 =,,x = A A A DEMOSTRACIÓN 310 se tiee que Sea A X = B la expresió matricial de (1) Etoces, por el Teorema X = A 1 B = 1 A (A ) t B Ahora, uos secillos cálculos os permite obteer el resultado deseado Estudiamos ahora la resolució de u sistema de ecuacioes lieales e geeral E el sistema (1), llamamos matriz ampliada a la matriz a 11 a 1 b 1 Ã = a m1 a m b m Esto es, añadimos a la matriz A la columa de térmios idepedietes

26 26 Capítulo I Álgebra Lieal Teorema 47 (Teorema de Rouché-Frobeius) El sistema (1) es compatible si, y sólo si, r(a) = r(ã) = r E tal caso, puede ocurrir dos cosas: 1 Si r <, etoces estamos ate u SCI 2 Si r =, etoces se tiee u SCD Pasamos a cotiuació a la resolució de u sistema compatible Para facilitar la otació, supoemos que las r primeras filas y las r primeras columas de la matriz A so liealmete idepedietes (estamos teiedo e cueta el Teorema 42), esto es, a 11 a 1r 0 a r1 a rr Puede ocurrir dos cosas: 1 r = m (recordemos que m es el úmero de ecuacioes del sistema (1)) 11 r = m = Teemos u sistema de Cramer 12 r = m < Las icógitas x 1,,x r se llama icógitas pricipales y x r+1,,x se llama icógitas depedietes (parámetros) Ahora el sistema (1) queda covertido e el siguiete Sistema de Cramer: a 11 x a 1r x r = b 1 (a 1r+1 x r a 1 x ) a r1 x a rr x r = b r (a rr+1 x r a r x ) La solució queda e fució de r parámetros 2 r < m Ya que las r primeras filas so liealmete idepedietes, etoces el sistema (1) queda reducido al sistema formado por las llamadas ecuacioes pricipales: a 11 x a 1 x = b 1 a r1 x a r x Co lo cual estamos e el caso aterior = b r Pasamos a estudiar u caso particular de sistemas de ecuacioes lieales: los sistemas homogéeos

27 Tema 4 Sistemas de ecuacioes lieales 27 Defiició 48 U sistema de ecuacioes lieales se dice homogéeo si todos los térmios idepedietes so ulos: a 11 x a 1 x = 0 a m1 x a m x = 0 ( ) Al ser ulos los térmios idepedietes, es claro que r(a) = r(ã), co lo cual todo sistema homogéeo es compatible Además, es claro que (0,,0) es ua solució de dicho sistema, llamada solució trivial Llamado r = r(a), se tiee: 1 Si r =, etoces ( ) es u SCD y la úica solució es la trivial 2 Si r <, etoces ( ) es u SCI Pasamos a la resolució de sistemas compatibles La idea es trasformar el sistema dado e otro sistema equivalete (esto es, u sistema co las mismas solucioes) más secillo de resolver El método más clásico es el llamado método de Gauss, que cosiste e pasar de u sistema a otro cuya matriz de coeficietes sea ua matriz triagular superior Veámoslo co varios ejemplos: Ejemplos 49 1 Discutir y resolver el siguiete sistema: x + y + z = 11 2x y + z = 5 3x + 2y + z = 24 Sea A la matriz de coeficietes Etoces, A = 5 0 Luego, teemos u sistema de Cramer (SCD) El sistema e coeficietes quedaría así: Multiplicamos la 1 a fila por 2 y la sumamos a la 2 a fila Así mismo, multiplicamos la 1 a fila por 3 y la sumamos a la 3 a fila, quedádoos lo siguiete:

28 28 Capítulo I Álgebra Lieal Ahora itercambiamos la 2 a y la 3 a fila: Si multiplicamos la 2 a fila por 3 y la sumamos a la 3 a fila, os queda: Por lo tato, el sistema resultate es el siguiete: x + y + z = 11 y 2z = 9 5z = 10 Luego, 5z = 10 z = 2, 2 Discutir y resolver el siguiete sistema: y 4 = 9 y = 5, x = 11 x = 4 2x 4y + 6z = 2 y + 2z = 3 x + 3y + z = 4 Sea A la matriz de coeficietes y à la matriz ampliada Es fácil comprobar que r(a) = r(ã) = 2 < 3, luego teemos u SCI co 3 2 = 1 parámetro El sistema e coeficietes es el siguiete: Dividimos por 2 la 1 a :

29 Tema 4 Sistemas de ecuacioes lieales 29 Ahora multiplicamos por -1 la 1 a y la sumamos a la 3 a : Observemos que la 3 a se obtiee simplemete cambiado de sigo la 2 a fila Por tato, os queda el siguiete sistema: x 2y + 3z = 1 y + 2z = 3 Etoces, llamado z = λ, teemos: y = 3 2λ, x 2( 3 2λ) + 3λ x = 7λ 5 Sea E u ev co dim(e) =, F u subespacio suyo co dim(f) = r, B ua base de E y {u 1,,u r } ua base de F Para cada i = 1,,r, sea (a 1i,,a i ) las coordeadas de u i respecto de la base B Dado x F, otemos (x 1,,x ) a las coordeadas de x respecto de la base B, y (λ 1,,λ r ) a sus coordeadas respecto de la base {u 1,,u r } Etoces, x 1 = a 11 λ 1 + a 12 λ a 1r λ r x 2 = a 21 λ 1 + a 22 λ a 2r λ r x = a 1 λ 1 + a 2 λ a r λ r Las ecuacioes ateriores recibe el ombre de ecuacioes paramétricas de F Llamemos A = (a i j ) Observamos que r(a) = r (u 1,,u r so li) Por otra parte, por el Teorema de Rouché-Frobeius, x F si, y sólo si, r(a) = r(ã) Supogamos que r(a) = r(ã) = r y que las r primeras columas de A so liealmete idepedietes, esto es, a 11 a 1r 0 a r1 a rr Etoces, todos los meores de orde r + 1 de la matriz à so ulos E particular, teemos que a 11 a 1r x 1 a 11 a 1r x 1 a 11 a 1r x 1 = 0, = 0, = 0 a r1 a rr x r a r1 a rr x r a r1 a rr x r a r+11 a r+1r x r+1 a r+21 a r+2r x r+2 a 1 a r x

30 30 Capítulo I Álgebra Lieal Aparece etoces r ecuacioes, llamadas ecuacioes características o implícitas de F Para calcular las ecuacioes paramétricas a partir de las ecuacioes características, sólo hay que resolver el sistema homogéeo formado por estas últimas ecuacioes Ejemplos Calcular las ecuacioes cartesiaas del subespacio de R 4 geerado por los siguietes vectores: (1, 1,0,0), (0,1,1,0), (2, 1,1,0), (3, 3,0,0) Cosideremos la matriz x x x x 4 }{{} } A {{ } Ã Se comprueba de maera imediata que r(a) = 3 Luego, x x x 3 = x 4 Calculado el determiate aterior, la ecuació característica es: x 4 = 0 2 Calcular las ecuacioes paramétricas y ua base del subespacio de R 5 de ecuacioes cartesiaas: x 1 + x 2 x 3 = 0 x 3 + x 5 = 0 x 4 2x 1 = 0 LLamado x 1 = λ y x 3 = µ, obteemos las siguietes ecuacioes paramétricas: x 1 = λ x 2 = λ + µ x 3 = µ x 4 = 2λ x 5 = µ

31 Tema 4 Sistemas de ecuacioes lieales 31 Ahora, tomado λ = 1, µ= 0, obteemos el vector (1, 1,0,2,0) y para λ = 0, µ= 1, (0,1,1,0, 1) Dichos vectores forma ua base del subespacio

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33 Tema 5 Espacios vectoriales euclídeos Defiició 51 U producto escalar e u espacio vectorial E es ua aplicació, : E E R que verifica las siguietes propiedades: 1 x,y 0 para cualesquiera x,y E 2 x,x = 0 si, y sólo si, x = 0 3 x,y = y,x para cualesquiera x,y E 4 x,y + z = x,y + x,z para cualesquiera x,y,z E 5 x,λy = λ x,y, para todo λ R, para cualesquiera x,y E Al par (E,, ) se le llama espacio vectorial euclídeo De la aterior defiició se deduce las siguietes propiedades imediatas: Proposició 52 Sea (E,, ) u espacio vectorial euclídeo Etoces: 1 0,x = 0 para todo x E 2 Dado x E, si x,y = 0 para todo y E, etoces x = 0 Ejemplo 53 La aplicació, : R R R defiida por x,y = x i y i x,y R, dode x = (x 1,,x ),y = (y 1,,y ), es u producto escalar e R, llamado producto escalar usual (Nótese que para = 1, este producto escalar o es otra cosa que el producto de úmeros reales) 33

34 34 Capítulo I Álgebra Lieal Sea (E,, ) u espacio vectorial euclídeo co dim(e) = y sea B = {e 1,,e ) ua base de E Dados x,y E, si x = x ie i, y = j=1 y je j, etoces teemos x,y = x i e i, j=1 y j e j x i e i, y j e j = j=1 ( ) i y j e i,e j = x j=1 x i y j e i,e j i, j=1 Si ahora cosideramos la matriz de orde, A = (a i j ), dode a i j = e i,e j para i, j = 1,, etoces teemos que a ii > 0, i = 1,, y que a i j = a ji,i, j = 1,, (esto es, la matriz A es simétrica) y el producto escalar quedaría: x,y = (x 1,,x ) A Añadiedo ua pequeña hipótesis a la matriz A, el recíproco tambié es cierto, como vemos a cotiuació y 1 y Teorema 54 Sea E u espacio vectorial -dimesioal, B = {e 1,,e } ua base de E y A = (a i j ) M (R) verificado las siguietes propiedades: 1 a ii > 0, i = 1,, 2 A es simétrica 3 A i > 0, i = 1,, dode, para cada i {1,,}, A i es la submatriz de A formada por las i primeras filas y columas Etoces la aplicació, : E E R defiida por x,y = (x 1,,x ) A y 1 y x,y E, dode x = x ie i, y = j=1 y je j, es u producto escalar e E

35 Tema 5 Espacios vectoriales eucĺıdeos 35 Ejemplo 55 Si cosideramos R 3 co la base caóica, comprobar que la matriz A = defie u producto escalar y dar su expresió Defiició 56 Sea (E,, ) u espacio espacio vectorial euclídeo Se defie la orma de u vector x E, x := x,x Ejemplo 57 E R co el producto escalar usual, la orma de u vector x = (x 1,,x ) sería x =? x1 2 + x2 Recogemos e el siguiete resultado alguas propiedades de la orma Proposició 58 Sea (E,, ) u espacio vectorial euclídeo Se verifica las siguietes afirmacioes: 1 x 0 para todo x E 2 x = 0 si, y sólo si x = 0 3 λx = λ x para todo λ R, para todo x E 4 Desigualdad de Schwarz: x, y x y para cualesquiera x, y E 5 Desigualdad triagular: x + y x + y para cualesquiera x, y E E lo que sigue, E deotará u espacio vectorial euclídeo Defiició 59 U vector x E se dice uitario si x = 1 Defiició 510 Dos vectores x,y E se dice ortogoales si x,y = 0, y se otará x y

36 36 Capítulo I Álgebra Lieal Ejemplo 511 E R, los vectores de la base caóica so uitarios y ortogoales etre sí Teorema 512 (Teorema de Pitágoras) Sea x,y E co x y Etoces x + y 2 = x 2 + y 2 DEMOSTRACIÓN x + y 2 = x + y,x + y = x,x + 2 x,y + y,y = x 2 + y 2 Defiició 513 Supogamos que dim(e) = y sea B = {e 1,,e } ua base de E Se dice que B es ua base ortogoal si e i e j para i j Si además e i es uitario, i {1,,}, se dice que la base B es ortoormal Si teemos ua base ortogoal, podemos coseguir de maera trivial u base ortoormal, si más que dividir cada vector por su orma Vamos a ver que tambié podemos coseguir ua base ortoormal a partir de ua base cualquiera dada Proposició 514 Si {e 1,,e } es ua familia de vectores ortogoales o ulos de E, etoces e 1,,e so liealmete idepedietes DEMOSTRACIÓN Sea λ 1 e λ e = 0 Etoces, dado i {1,,}, se tiee Por tato, λ i = 0 para todo i {1,,} 0 = λ 1 e λ e,e i = λ i e i 2

37 Tema 5 Espacios vectoriales eucĺıdeos 37 Teorema 515 (Método de ortogoalizació de Gramm-Schmidt) Supogamos que dim(e) = y sea B = {e 1,,e } ua de E Se costruye ua base ortogoal {u 1,,u } de maera recurrete como sigue: 1 Defiimos u 1 = e 1 2 Defiimos u 2 = e 2 + λ 12 u 1 Calculamos λ 12 impoiedo que u 1 u 2 Etoces 0 = u 1,u 2 = u 1,e 2 + λ 12 u 1,u 1 Despejado, obteemos que λ 12 = u 1,e 2 u 1,u 1 3 Defiimos u 3 = e 3 + λ 13 u 1 + λ 23 u 2 e impoemos que u 1 u 3 y u 2 u 3 Etoces se tiee que λ 13 = u 1,e 3 u 1,u 1, λ 23 = u 2,e 3 u 2,u 2 4 Así sucesivamete seguimos hasta obteer u 1,,u 1 ortogoales Etoces defiimos u = e + 1 λ 1u i Impoiedo que u 1 u para i {1,, 1}, se tiee que λ i = u i,e u i,u i Defiició 516 Sea U u subcojuto de E Se llama ortogoal de U al cojuto U = {x E : x y y U}, esto es, al cojuto formado por los vectores ortogoales a todos los vectores de U Proposició 517 Sea U u subcojuto de E 1 U es u subespacio vectorial de E 2 Si U es u subespacio vectorial de E y {u 1,,u m } es ua base de U, etoces, dado x E, x U si, y sólo si, x u i, para todo i {1,m} Teorema 518 Supogamos que E es de dimesió fiita y sea U u subespacio vectorial de E Etoces dim(e) = dim(u) + dim(u )