Lógica Matemática, Sistemas Formales, Cláusulas de Horn

Transcripción

1 Lógica Matemática, Sistemas Formales, Cláusulas de Horn Lic. José Manuel Alvarado La lógica se ocupa de las argumentaciones válidas. Las argumentaciones ocurren cuando se quiere justificar una proposición con base en otras asegurando que la primera es consecuencia necesaria de las últimas. Un argumento es una lista de proposiciones o enunciados. El último enunciado es la conclusión del argumento y los otros son las premisas o hipótesis. Ejemplos: Ejemplo 1 El detective Sherlock Holmes entra en posesión de un viejo sombrero de fieltro, a partir del cual infiere ciertas cosas acerca de su propietario, conocerlo. Entre sus conclusiones está la de que el propietario es muy intelectual. Al comunicárselo al Dr. Watson, éste pide a Holmes que la justifique. En guisa de respuesta, Holmes se caló el sombrero en la cabeza. Lo bajó más abajo de la frente y se le asentó sobre el puente de la nariz. 'Es cuestión de capacidad cúbica', dijo: 'un individuo de tamaño cerebro ha de tener algo en él'. Con esto Holmes da por demostrada su conclusión. Hagamos explícito el argumento de Holmes: 1. Este sombrero es grande. 2. Los propietarios de sombreros grandes tienen cabezas grandes. 3. La gente de cabeza grande tiene grande el cerebro. 4. La gente de cerebro grande es muy intelectual. Conclusión: 5. El propietario de este sombrero es muy intelectual. Ejemplo 2 1. Todos los mamíferos son mortales. 2. Todos los perros son mortales. Conclusión: 3. Todos los perros son mamíferos. En el ejemplo (1) la conclusión no está justificada por las premisas porque la verdad de las premisas no está demostrada. Sin embargo, si se aceptara sin reserva la verdad de las premisas, entonces la verdad de la conclusión tendría que ser aceptada también. Por su forma lógica, el argumento es correcto, pero para que la conclusión quede totalmente justificada se tiene que probar la verdad de las premisas. El caso del ejemplo (2) es distinto. Aunque tanto las premisas como la conclusión son verdaderas, la relación entre ellas no es tal que la conclusión se siga necesariamente de las premisas. Consideremos el siguiente argumento: 1. Todos los franceses son europeos. 2. Todos los italianos son europeos. 12

2 Conclusión: 3. Todos los italianos son franceses. Lic. José Manuel Alvarado Este argumento tiene exactamente la misma forma que el argumento del ejemplo (2) y sin embargo tiene premisas verdaderas y conclusión falsa. A la lógica le interesa la forma de las proposiciones que integran un argumento, no su verdad o falsedad de hecho. Cuando un argumento es correcto, lo es en virtud de la forma de las proposiciones que lo componen. 13

3 Sistemas Formales Lic. José Manuel Alvarado La matemática siempre ha utilizado símbolos particulares para expresar sus resultados: + para representar a la suma, / para la integral, e para denotar la pertenencia a un conjunto, etc. Este lenguaje particular de la matemática es un lenguaje semiformalizado, que toma de los lenguajes naturales (como el español o el inglés) lo que necesita y agrega símbolos para hacer los resultados más precisos. Pero estos símbolos tienen "reglas gramaticales" precisas, de tal modo que "3 + 4 = 7" es una expresión que tiene sentido, mientras que " = 8 " no lo tiene. En el intento de formalizar la lógica se estudiaron estos lenguajes semiformalizados de la matemática y surgió el concepto de lenguaje formal. Un lenguaje formal está dado por un conjunto de símbolos que se combinan entre sí para formar expresiones bien formadas mediante reglas de formación especificadas de antemano. Las expresiones bien formadas son todas las expresiones "gramaticalmente correctas" del lenguaje formal. Dado un lenguaje formal, con sus símbolos, reglas y expresiones bien formadas, podemos empezar a construir teorías formales en ese lenguaje. Para obtener una teoría formal en un lenguaje formal dado se seleccionan, de entre las expresiones del lenguaje, algunas que serán los axiomas. Se especifican también las llamadas reglas de inferencia, que nos permiten deducir ebf s (expresiones bien formadas) nuevas a partir de ebf s anteriores. Dicho de manera más breve, una teoría formal T para un lenguaje formal L está dada cuando se especifican los axiomas y las reglas de inferencia. Intuitivamente, los axiomas representan enunciados cuya verdad no se cuestiona; y las reglas de inferencia representan maneras correctas de inferir nuevas afirmaciones de afirmaciones que ya se tienen. Como un ejemplo de una teoría formal contamos con el sistema de producción de Post: Definición. Una teoría o sistema formal es una estructura matemática definida por la terna (L, Ax, R), donde 1. L = (A, E), es el lenguaje formal sobre A, con E = {expresiones bien formadas}; 2. Ax E, es llamado el conjunto de axiomas del sistema; y 3. R, es la colección de reglas de inferencia (derivación, deducción o producción). Ejemplo El sistema formal S pq (debido a [Ho]). Consideremos a α, β, γ como cadenas que constan sólo de guiones. El lenguaje formal L = (A, E), donde A = {, p, q} y E está constituido con todas las expresiones generadas por la regla de formación siguiente: RF: Las ebf s son las expresiones de la forma αpβqγ. Aquí tenemos un único axioma: A: αp qα ; y una única regla de inferencia: RI: Si αpβqγ es un teorema en S pq, entonces αpβ qγ es un teorema en S pq. Una interpretación para S pq viene dada mediante las asignaciones a sus símbolos: p la operación de suma: + 14

4 q la relación de igualdad uno dos En otras palabras, el sistema formal S pq simplemente nos enseña a sumar! Lic. José Manuel Alvarado Cláusula de Horn En lógica proposicional, una fórmula lógica es una cláusula de Horn si es una cláusula (disyunción de literales) con, como máximo, un literal positivo. Se llaman así por el lógico Alfred Horn, el primero en señalar la importancia de estas cláusulas en Esto es un ejemplo de una cláusula de Horn: Una fórmula como esta también puede reescribirse de forma equivalente como una implicación: La sintaxis de una cláusula de Horn en PROLOG tiene el siguiente aspecto: hija (A, B) :- mujer (A), padre (B, A). que podría leerse así: "A es hija de B si A es mujer y B es padre de A". En términos lógicos representa la siguiente implicación: Por definición de implicación se obtiene la siguiente cláusula de Horn: Lógica Proposicional La lógica proposicional es una rama de la lógica que permite representar hechos y/o expresiones del mundo real en un lenguaje representativo del conocimiento mediante propiedades elementales para estudiar a través de proposiciones o sentencias lógicas sus posibles evaluaciones de verdad. 15

5 Proposiciones lógicas: Lic. José Manuel Alvarado Definición: Son aquellas expresiones u oraciones que pueden ser calificadas bien como VERDADERAS, o bien como FALSAS, sin ambigüedades. Las proposiciones lógicas serán denotadas con letras minúsculas generalmente: p, q, r,, etc. A la veracidad o falsedad de un enunciado (proposición) se le denomina VALOR VERITATIVO o VALOR DE VERDAD. El razonamiento deductivo se presenta en forma de argumentos: listas de proposiciones relacionadas de tal manera que la última, llamada conclusión del argumento se sigue de las anteriores, llamadas premisas del argumento. A un lógico no le interesa si las premisas o conclusión de un argumento son verdaderas o no, lo importante para un lógico es si la verdad de la conclusión se sigue de la verdad de las premisas. De modo que para un lógico los siguientes dos argumentos son correctos: 1. Todos los hombres son mortales Sócrates es hombre Luego, Sócrates es mortal. 2. Todos los números son verdes El 5 es un número Luego, el 5 es verde. El argumento (2) es correcto aun cuando su conclusión sea falsa, pues si ambas premisas fueran verdaderas, estaríamos obligados a aceptar la verdad de la conclusión. Si consideramos la siguiente expresión en español: "Asómate, luz de mis ojos, para admirar tu belleza" Vemos que no le podemos asignar un valor de verdad, no tiene sentido afirmar que sea verdadera o falsa. Sin embargo, consideremos la siguiente expresión: "México es la capital de China" Esta es una oración de la cual podemos afirmar que es falsa, por tanto es una proposición. Ejercicios Determine si las oraciones siguientes son proposiciones o no: 1. Si una función es continua, entonces es derivable. 2. Todo ser de nariz larga es Pinocho. 3. En un lugar de la Mancha, de cuyo nombre no quiero acordarme. 4. Robó, huyó y lo pescaron. 5. Yo miento. 16

6 Lenguaje formal de proposiciones Las proposiciones pueden ser combinadas entre sí para obtener nuevas proposiciones. Así, si A es una proposición, No A también lo será; y si A y B son dos proposiciones, podemos combinarlas de muchas maneras para formar nuevas proposiciones, por ejemplo: A y B A y no B Si A entonces B Ni A, ni B A o B Definiremos a continuación un lenguaje formal que nos servirá para el análisis de ciertos tipos de argumentaciones correctas. A este lenguaje lo llamaremos L 0, y consta de los siguientes símbolos: 1. Letras mayúsculas del alfabeto, con o sin subíndices: A, B, C,..., A 1, B 1 C 1..., A 2, B 2, C 2,..., A n, B n, C n,... A estos símbolos les llamamos letras proposicionales. 2. (~),,,, A estos símbolos les llamamos conectivos lógicos. 3. Paréntesis: ),(. Siendo éstos símbolos de puntuación. Todos estos símbolos pueden combinarse para formar expresiones del lenguaje L 0. Una expresión de L 0 es una sucesión finita de símbolos de L 0. Como ejemplos de expresiones, tenemos: A 1, A 1 A 2 A 3, ~A 1, P Q, (P Q) Las letras proposicionales representan proposiciones arbitrarias y los conectivos serán utilizados para obtener proposiciones más complejas. El significado de los conectivos es el siguiente: no y o implica es equivalente a Esto es, ~A, representará a la negación de la proposición representada por A. Como en el estudio de la lógica no nos interesa lo que las proposiciones dicen en sí, sino cómo se relacionan unas con otras, no asignaremos un significado específico a las letras preposicionales, sólo pensaremos en ellas como proposiciones que pueden ser verdaderas o falsas. Las reglas de formación para las fórmulas bien formadas, con esta interpretación en mente, son naturales: 1. Toda letra proposicional es una fórmula bien formada. 2. Si ɸ y ψ son fórmulas bien formadas arbitrarias, también lo son las siguientes expresiones: ( ɸ),(ɸ ψ), (ɸ ψ), (ɸ ψ) y (ɸ ψ). 3. Las únicas fórmulas bien formadas son aquéllas que se obtienen por medio de (1) o (2). 17

7 Las fórmulas con esta interpretación, representan a proposiciones simples o complejas. Las proposiciones más simples serán representadas por las letras proposicionales, mientras que las complejas se obtendrán aplicando la regla (2) para combinar letras proposicionales con conectivos. Las fórmulas atómicas son las letras proposicionales, las otras fórmulas se llaman compuestas o moleculares. No es una fórmula, pues es un conectivo unario. Observación. Los paréntesis son símbolos a los que no les asignamos un significado. Sirven para evitar ambigüedades, pues una fórmula sin paréntesis como " P Q" se puede interpretar como ( (P G)) o como (( P) 8). 18

8 Semántica Para analizar si un argumento dado es correcto o no, lo que se verifica es si la verdad de la conclusión se sigue de la verdad de las premisas, por tanto debemos tener una manera precisa de saber cuándo una fórmula bien formada es verdadera. Si la fórmula bien formada es atómica, puede ser verdadera o falsa, ya que toda proposición en un lenguaje natural es verdadera o falsa. El valor de verdad de una fbf molecular se puede calcular a partir de las letras proposicionales que aparecen en ella por medio de las siguientes tablas: En realidad estas tablas de verdad definen lo que vamos a entender por las palabras "no", "y", "o", "implica" y "es equivalente a". La negación significa, para nosotros, un cambio de valor de verdad. Si una proposición es verdadera, su negación es falsa y viceversa. Cuando se afirma una conjunción, se afirman ambas componentes de ella. Cabe mencionar que esta definición de conjunción no representa adecuadamente todos los casos que se presentan en el lenguaje natural, como en: "Mató y tuvo miedo", proposición que no resulta equivalente a "Tuvo miedo y mató", aquí la palabra "y" tiene un sentido temporal y causal. 19

9 Lógica de Predicado Ejemplos de proposiciones lógicas: Lic. José Manuel Alvarado Ejemplos de expresiones que no son proposiciones lógicas: Observación: En resumen, las Proposiciones Lógicas son expresiones de las que tienen sentido decir que son verdaderas o que son falsas. También se les denomina simplemente PROPOSICIONES. Proposiciones simples o atómicas: Son aquellas que se pueden representar por una sola variable, es decir, por una sola letra como: p: Pamela tiene 20 años. q: 5 x 5 = 25. Proposiciones compuestas o moleculares: Son aquellas que se pueden representar por lo menos por una variable y algún o algunos de los Símbolos que representan a las palabras siguientes: 20

10 Proposiciones Compuestas Básicas LA NEGACIÓN: Lic. José Manuel Alvarado Dada una proposición p, se denomina LA NEGACIÓN DE p, a otra proposición denotada por que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. Esta proposición ~ p es también leída como: no p no es cierto que p LA DISYUNCIÓN: Se le denota p v q y se lee p o q. Es una proposición compuesta por la proposición p y la proposición q, ambas relacionadas por la palabra o, y está definida por la siguiente condición: La proposición p v q es FALSA únicamente en el caso en que p y q son ambas falsas; en cualquier otro caso es verdadera. En su tabla de verdad se denota sus valores para todas las posibles combinaciones de valores veritativos de p y q como sigue: 21

11 LA CONJUNCIÓN: Se le simboliza p ^ q, y se lee como p y q. Se le define como una nueva proposición que resulta verdadera (V) en el único caso en que las proposiciones componentes p y q son ambas VERDADERAS (V). En todos los demás casos es FALSA (F). LA CONDICIONAL: Se le simboliza p q, y se lee Si p entonces q. Es una nueva proposición compuesta que es falsa únicamente en el caso en que la proposición p es verdadera y la proposición q es falsa. 22

12 La proposición p es llamada ANTECEDENTE y la proposición q CONSECUENTE. Esta proposición p q también se lee de las siguientes maneras: p implica q. p es una condición suficiente para que q. q a menos que ~p Es suficiente que p para que q. LA BICONDICIONAL: Se denota p q, y se lee p si y solo si q. Es aquella proposición compuesta que es VERDADERA en los casos en que ambas p y q tengan valores veritativos iguales (ambas verdaderas o ambas falsas); es FALSA en los casos en p y q tengan valores veritativos opuestos. 23

13 LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA: Se denota p Δ q, y se lee: O bien p o bien q. Es aquella proposición que es verdadera en los casos en que ambas proposiciones p y q tengan valores veritativos opuestos, y es falsa si ambas tienen idénticos valores de verdad. Sea la proposición: O vamos a Arequipa o vamos a Tacna. Queda claro que sólo podremos ir a uno de los dos lugares, y sólo a uno. Es decir que el enunciado es verdadero sólo si vamos a una de las dos ciudades. En caso de ir a ambas, o de no ir a ninguna, el enunciado es Falso. CONECTIVOS LÓGICOS Representación: Los conectivos lógicos se representan por los símbolos: PROPOSICIONES COMPUESTAS Utilizando los conectivos lógicos se pueden combinar cualquier número finito de proposiciones compuestas básicas para obtener otras cuyos valores de verdad pueden ser 24

14 conocidos construyendo sus tablas de verdad; en tales tablas se indican los valores resultantes de estas proposiciones compuestas para todas las combinaciones posibles de valores de verdad de las proposiciones compuestas. Jerarquía de los conectivos lógicos: Cuando en una proposición compuesta se tiene varios conectivos lógicos, las operaciones se realizan luego de colocar los paréntesis adecuadamente comenzando de las proposiciones que se encuentren dentro de los paréntesis interiores. Siguen todas las negaciones y luego se avanza de izquierda a derecha. Los corchetes son considerados como paréntesis. TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN y CONTINGENCIA TAUTOLOGÍA: A toda proposición simple o compuesta cuyo valor es siempre VERDADERO para cualquier combinación de valores veritativos de sus componentes se le llama TAUTOLOGÍA y se le denota siempre por V. CONTRADICCIÓN: A toda proposición simple o compuesta cuyo valor es siempre FALSO para todas las combinaciones de valores veritativos de sus componentes se le llama CONTRADICCIÓN, y se le denota simplemente por F. 25

15 CONTINGENCIA: Una proposición simple o compuesta cuya tabla de verdad contiene al menos un V y al menos un F recibe el nombre de CONTINGENCIA. PROPOSICIONES LÓGICAMENTE EQUIVALENTES Dos proposiciones p y q se llaman EQUIVALENTES (o lógicamente equivalentes) si sus tablas de verdad son idénticas, en cuyo caso se simboliza: p q Ejemplo: Las proposiciones (p q) y [(~q) (~p)] son EQUIVALENTES pues sus tablas de verdad resultantes son idénticas, como se puede ver en el cuadro: 26