En general, un conjunto A se define seleccionando los elementos de un cierto conjunto U de referencia que cumplen una determinada propiedad.

Transcripción

1 nidad 3: Conjuntos 3.1 Introducción Georg Cantor [ ] formuló de manera individual la teoría de conjuntos a finales del siglo XIX y principios del XX. Su objetivo era el de formalizar las matemáticas como ya se había hecho con el cálculo cien años antes. Cantor comenzó esta tarea por medio del análisis de las bases de las matemáticas y explicó todo basándose en los conjuntos (por ejemplo, la definición de función se hace estrictamente por medio de conjuntos). Este monumental trabajo logró unificar a las matemáticas y permitió la comprensión de nuevos conceptos. El propósito de este Capítulo es el estudio de la teoría intuitiva de conjuntos. En este sentido, los términos conjunto, elemento y pertenencia son considerados como términos primitivos, es decir, no se definen. Sobre esta base se definen la inclusión y la igualdad, y se estudian sus propiedades. El mismo tratamiento se hace con las operaciones entre conjuntos. Luego desarrollamos ejemplos en los que se pretende mostrar un método adecuado de trabajo para demostrar distintas propiedades de conjuntos. 3.2 Notaciones y Definiciones fin de desarrollar ideas intuitivas consideramos un conjunto como una colección de objetos, con una determinada cualidad, los cuales pueden ser conjuntos. tilizaremos, generalmente, letras mayúsculas para referirnos a los conjuntos y para especificar elementos se usarán letras minúsculas, a menos que dichos elementos sean, a su vez, conjuntos. Ejemplo 1 Sea H el conjunto de todos los seres humanos, y sea d la persona Diego Reyes. Es claro que d es un miembro o elemento del conjunto H. En general decimos el elemento d pertenece al conjunto H y lo simbolizamos: d H. El anterior ejemplo involucraba un conjunto H y un objeto d. La proposición, d H se lee: d pertenece a H o bien el elemento d pertenece al conjunto H. Su negación es: d no pertenece a H, la cual se simboliza: d / H. En general, un conjunto se define seleccionando los elementos de un cierto conjunto de referencia que cumplen una determinada propiedad. Ejemplo 2 El conjunto de los números enteros menores que 2, está formado por los elementos del conjunto referencial Z (números enteros) que satisfacen la propiedad de ser menores que 2. El conjunto referencial o universal depende de la disciplina en estudio; se fija de antemano, y está formado por todos los elementos que intervienen en el tema de interés. En general se denotará con. demás podemos dar los conjuntos por extensión o por comprención, es decir, Definición 1 n conjunto se define por extensión cuando se enumeran todos los elementos que lo constituyen. n conjunto se define por comprensión cuando se indica el conjunto referencial o universal y la propiedad que caracteriza a sus elementos. Ejemplo 3 Dar por extención y por comprención el conjunto, de las vocales. l definir un conjunto por extensión, debemos enumerar todos sus elementos. Es decir, = {a, e, i, o, u} y cuando se define por comprensión se dar el conjunto referencial o universal y la propiedad que caracteriza a sus elementos, en este caso = {x / x es una vocal}, donde es el alfabeto. 25 Álgebra 2013, segundo cuatrimestre

2 Observación: El conjunto de los elementos de que verifican la propiedad P se define por comprensión = {x / P (x)} = {x : P (x)} o más brevemente (si está sobrentendido por el contexto) = {x / P (x)} = {x : P (x)} y se lee: es el conjunto formado por los elementos x pertenecientes a, tales que P (x). P (x) es una función proposicional, que señala la propiedad en cuestión y un elemento del conjunto referencial, (a ) pertenece al conjunto si y sólo si verifica la propiedad P (x), es decir, a P (a) es V. Por otra parte si un elemento del conjunto referencial (a ), no está en (se lee a / ), si no verifica la propiedad P (x), esto es: a / P (a) es F. En el Ejemplo (3) si = {x / x es una vocal},, es el alfabeto. Tenemos que P (x) : x es una vocal, por lo tanto a, por que P (a) es una proposición V, en cambio b /, por que P (b) es F. l número de elementos de un conjunto se lo llama cardinalidad. Formalmente Definición 2 La cardinalidad de un conjunto, que lo indicamos con o #, es el número o cantidad de elementos (distintos) de. Ejemplo 4 Calcular la cardinalidad del conjunto de las raíces terceras de 1, 1. Si el conjunto referencial es el conjunto de los números complejos, se define por compresión como = { w C / w 3 = 1 }. y la propiedad que caracteriza a los elementos de es: P (w) : w 3 = 1. Ya que esta ecuación tiene 3 raíces, la cardinalidad de es = 3 y el conjunto, dado por extensión es { } 1 3 = 2 + i 2, 1, i Si el conjunto referencial es el conjunto de los números reales. El conjunto se define por compresión como = { w R / w 3 = 1 } y la propiedad que caracteriza a los elementos de es: P (w), en este caso la ecuación w 3 = 1 solo tiene una raiz: w = 1, por lo tanto el conjunto, definido por extensión es = { 1}, y la cardinalidad de es = Conjuntos especiales n conjunto unitario está formado por un único elemento. Ejemplo 5 Si es el conjunto cuyo único elemento es a, escribiremos = {a} = {x / x = a} El conjunto vacío es el conjunto sin elementos, es decir que su cardinalidad es igual a cero. Consideramos el conjunto {x : x / } la proposición: x : x / es falsa. En otras palabras, no posee elementos, es decir, es un conjunto vacío. Podemos decir que este conjunto es el único con esta propiedad? La respuesta es sí, como demostraremos en la proposición1 y lo indicamos con la letra φ. 26 Álgebra 2013, segundo cuatrimestre

3 Ejemplo 6 Determinar simbólicamente y por extensión (en caso de ser posible) los siguientes conjuntos definidos por comprensión: 1. es el conjunto de los números reales cuyo cuadrado es igual a es el conjunto de los números naturales mayores que 2, y que no superan a C es el conjunto de los números reales mayores que 2, y que no superan a es el conjunto de los números reales cuyo cuadrado es igual a 1. Se tiene: = {x R/ x 2 = 1} Como el cuadrado de ningún número real es negativo, P (x) : x 2 = 1 es F para todo real x, resulta entonces = φ y = es el conjunto de los números naturales mayores que 2, que no superan a 6. La propiedad característica de los elementos de es la conjunción de las siguientes funciones proposicionales: que podemos expresar y se tiene P (n) : n > 2 y Q(n) : n 6 R(n) : 2 < n 6 = {n N / 2 < n 6} (1) Como en este caso consideramos a N como universal, podemos dar por extención el conjunto y no queda: = {3, 4, 5, 6} y = 4 3. C es el conjunto de números reales mayores que 2 que no superan a 6. La propiedad característica de los elementos de C es igual a la del conjunto, es decir; R(x) : 2 < x 6, pero como el como conjunto universal es R, resulta: C = {x R / 2 < x 6}. Este conjunto es un intervalo de la recta real y por ser un conjunto no finito de elementos, no se puede expresar por extensión. Lo denotaremos por: C = {x R/ 2 < x 6} = (2, 6]. La determinación de conjuntos por extensión no es posible en el caso de infinitos elementos y hay que limitarse a la definición por comprensión. La matemática trabaja casi con exclusividad en este sentido. Ejemplo 7 Caracterizar simbólicamente el siguiente conjunto: P es el conjunto de los números enteros pares. Por definición, un entero es par si y sólo si es el duplo de algún entero. Es decir entonces a es par k Z : a = 2k, P = {x Z / x = 2k k Z} Es claro que P consiste en el conjunto de los múltiplos de 2. veces, acudiendo a un abuso de notación, suele proponerse una aparente determinación por extensión de un conjunto infinito, con la adjunción de puntos suspensivos. sí, P = {, 4, 2, 0, 2, 4, 6, } 27 Álgebra 2013, segundo cuatrimestre

4 3.2.2 Diagrama de Venn Los diagramas de Venn reciben el nombre de su creador, John Venn, matemático y filósofo británico. Venn introdujo este útil sistema de representación gráfica de conjuntos en el año Existe una representación visual de los conjuntos dados por diagramas llamados de V enn. En este sentido, el conjunto de referencial suele representarse por un rectángulo y los conjuntos en, por recintos cerrados en el interior del mismo. Si los conjuntos en cuestión son finitos sus elementos se representan mediante puntos en el interior de los correspondientes recintos. Ejemplo 8 Sean = N y los conjuntos = {x / x 6} = {x / x 8} C = {x / x 2} Se pide la representación de tales conjuntos mediante diagramas de Venn. Definimos la relación de divisibilidad en N mediante a b si y sólo si n N : b = a.n Se lee: a divide a b, ó a es divisor de b ó b es múltiplo de a. Teniendo en cuenta esta definición, y la relación de menor o igual, la representación por extensión de tales conjuntos es y en términos de diagramas de Venn = {1, 2, 3, 6} = {1, 2, 4, 8} C = {1, 2} N C 8 Ejemplo 9 Consideremos el conjunto referencial de todos los triángulos; si I denota el conjunto de los triángulos isósceles, E de los equiláteros y R de los triángulos rectángulos, verifique las relaciones planteadas por el siguiente diagrama: I E R 28 Álgebra 2013, segundo cuatrimestre

5 3.2.3 Conjuntos y Subconjuntos Definición 3 Sean y dos conjuntos, si todos los elementos de pertenecen a, diremos que esta incluido en, o que es un subconjunto de, y escribimos. Simbólicamente: si x : x x. (2) Ejemplo 10 El conjunto de los números reales R es un subconjunto de los números complejos C, ya que si x R entonces x = x + 0i C. sando la definición de inclusión podemos definir la igualdad de dos conjuntos = si y, (3) esto significa que para afirmar que dos conjuntos son iguales debe cumplirse que todo elemento de cualquiera de ellos pertenezca al otro. Es claro, entonces que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Ejemplo 11 Los siguientes conjuntos son iguales. 1. M = {x N / x < 5} N = {1, 2, 3, 4}, El conjunto M, esta dado por comprensión en cambio el conjunto N, esta dado por extensión. 2. = { x Z / x 2 = 1 } = {x Z / x = 1}. La relación (3) nos permitirá demostrar cuando dos conjuntos son iguales. En este caso diremos que estamos haciendo una demostración por doble inclusión. Definición 4 no es subconjunto de, que denotamos, si es falso que. El lema siguiente muestra como a partir de las nociones de subconjunto y usando conceptos de lógica podemos dar una definición simbólica de. Lema 1 Si no es subconjunto de, si x : [ x x / ] Demostración. Como no es subconjunto de, tenemos que (2) es falsa por lo tanto la proposición ( x : x x ) es verdadera usando proposiciones equivalentes nos queda que: x : (x x ) Negación del cuantificador existencial x : [ x x / ] Negación de la implicación sí tenemos que, si: x : [ x x / ]. Definición 5 es subconjunto propio de cuando y, lo denotaremos por, o. Las siguientes son propiedades que satisfacen los subconjuntos de un conjunto dado: Proposición 1 Para cualquier conjunto 1., 29 Álgebra 2013, segundo cuatrimestre

6 2. φ, y 3. φ es único. Demostración. 1. Se verifica que, porque x : x x, es una proposición verdadera (ley lógica p p), por lo tanto por (2) tenemos:. 2. (Por el absurdo) Supongamos que φ entonces por Lema 1, x : x φ x /, pero esta proposición es falsa, por que contradice la definición del conjunto φ, esto proviene de suponer que φ, por lo tanto φ. 3. Supongamos que existen dos conjuntos vacío: φ 1 y φ 2, por 2. tenemos φ 1 φ 2 y φ 2 φ 1 entonces por (3), tenemos que φ 1 = φ Conjunto de Partes Dado un conjunto, podemos formar un nuevo conjunto constituido por todos los subconjuntos de, el cual recibe el nombre de conjunto de partes de. Definición 6 Sea un conjunto llamamos conjunto de partes de, al conjunto P () = {X / X } Los elementos de este conjunto son a su vez conjuntos, por lo tanto decidir si un objeto es un elemento de P () se reduce a determinar si dicho objeto es un subconjunto de. Es decir: Lema 2 Sea un conjunto, entonces P () y φ P (). X P () si X (4) Demostración: este lema es consecuencia inmediata de la proposición 1. Ejemplo 12 Determinar el conjunto de partes de = {2, 3, 4}.Los elementos de P () son todos los subconjuntos de, es decir φ {2} {3} {4} {2, 3} {2, 4} {3, 4} sí tenemos que: P () = {φ, {2}, {3}, {4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, }. Ejemplo 13 El conjunto de partes del conjunto vacio, φ, es P (φ) = {φ} Operaciones entre Conjuntos Complemento de un conjunto Definición 7 Sea un conjunto el complemento de es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a. Lo denotamos por c o, en símbolos c = {x : x / } = {x : x / }. 30 Álgebra 2013, segundo cuatrimestre

7 Por lo tanto x c x /, el complemento es una operación unitaria, en el sentido de que a partir de un conjunto se obtiene otro. Es usual también obtener el complemento de un conjunto, respecto de otro, en cuyo caso la definición es: C = {x : x / } C () hora daremos algunas operaciones binarias entre conjuntos, en el sentido de que a partir de dos conjuntos se obtiene otro. nión, Intersección, Diferencia y Diferencia Simétrica Definición 8 Sean y dos conjuntos, definimos: 1. La unión de y : = {x / x x }. 2. La intersección de y : = {x / x x }. 3. La diferencia de y : = {x / x x / }. 31 Álgebra 2013, segundo cuatrimestre

8 De la definición se sigue que = c. 4. La diferencia simétrica de y es = ( ) ( ) = {x : (x x ) (x / )} Definición 9 Dos conjuntos y son disjuntos si =. Ejemplo 14 Sea = {1, 2, 3,..., 9, 10} el conjunto de referencia, = {1, 2, 3, 4, 5}, = {3, 4, 5, 6, 7} y C = {7, 8, 9} tenemos que: = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} = {3, 4, 5} = {1, 2, 6, 7} = ( ) ( ) C = (son disjuntos) C = C = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}. En el ejemplo también tenemos que: a), b) C = C con y C disjuntos. c) = ( ) ( ) (Ejercicio N o 12) Estos resultados no son algo particular de este ejemplo, valen en general como lo muestra el siguiente teorema. Teorema 1 Sean y dos conjuntos, entonces Los conjuntos y son disjuntos si y sólo si =. Demostración. 1. Tenemos que probar: (a) y (b). 32 Álgebra 2013, segundo cuatrimestre

9 (a) Por (2) debemos probar que x : x x. Sea x (arbitrario) que cumple que x, debemos demostrar que x. En efecto: x (1) x x (2) x. (1) Definición de intersección de conjuntos. (2) Ley lógica p q p. (b) La demostración de esta inclución es similar a la anterior, usando la definición unión de conjuntos y de la ley lógica p p q. Los detalles quedan como ejercicio. 2. samos la ley lógica: p q que es lógicamente equivalente a (p q) (q p). En este caso: p : Los conjuntos y son disjuntos, es decir, = φ q : = (a) Probemos que la implicación p q es verdadera. Supongamos que p es verdadera y demostraremos que q es verdadera. Es decir, debemos probar que: =, lo haremos por la doble inclusión. Sea x, entonces x o x (o tal vez a ambos). Pero como hipótesis los conjuntos y son disjuntos, es decir = φ entonces x /, es decir x y x /. por lo tanto (5) Sea x, por definición de diferencia simétrica tenemos: (x x ) (x / ) entonces x x (es consecuencia de p q p ) y por definición de la unión de conjunto tenemos que x, es decir (6) Por lo tanto de (5) y (6) resulta: es verdad. q : = (b) Probemos que la implicación q p es verdadera. Haremos una demostración por el contrarecíproco, es decir probaremos: p q lo cual es: φ. Como φ existe y, entonces por la parte 1. y. sí y y, entonces y /. Por lo tanto:, como queríamos demostrar. La siguiente tabla muestra las propiedades más usadas, que cumplen las operaciones entre conjuntos, las demostraciones quedan como ejercicios. 33 Álgebra 2013, segundo cuatrimestre

10 Proposición 2 Sean, y C conjuntos, entonces se verificán las siguientes igualdades: 1 Involución 2 Idempotencia 3 Conmutatividad 4 sociatividad 5 Distributividad = = = = = ( C) = ( ) C ( C) = ( ) C ( C) = ( ) ( C) ( C) = ( ) ( C) 6 Leyes de De Morgan = = 7 Ley de bsorción ( ) = ( ) = 8 niverso y Vacío = = φ = = φ = φ = φ Las demostraciones de estas propiedades son consecuencias inmediatas de las definiciones de las operaciones entre conjuntos. En lo que queda de esta sección presentamos una manera efectiva (en muchos casos) de mostrar que dos conjuntos son iguales. Ejemplo 15 Mostrar que = ( ) ( ). na primera alternativa (que no constituye una prueba rigurosa pero puede ser una buena guía) consistiría en dibujar un diagrama de Venn y convencerse de la igualdad. O para una prueba rigurosa podríamos utilizar, como lo hemos venido haciendo, de doble inclusión. Sin embargo existe otro procedimiento que consiste en transformar un conjunto en otro, por medio de propiedades ya establecidas (como la distributividad, el doble complemento y las leyes de De Morgan, etc.). Veamos cómo: Conjunto Propiedades ( ) ( ) = ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) = (4) ( ) ( ) = (2) y (4) [ ( ) ( )] = (8) [( ) ] = (8) y (3) ( ) = (7) Ejemplo 16 Simplificar la siguiente expresión: ( ) C Razones ( ) C = (6) Leyes de De Morgan = ( ) C (1) Involución = (( ) C) (4) sociativa = ( ) (C ) (3) Conmutativas = ( ) ( C) (4) sociativa = [( ) ] C (7) bsorción = C 34 Álgebra 2013, segundo cuatrimestre