CONJUNTO: Colección o agregado de ideas u objetos de cualquier especie.

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1 RESUMEN DE MATEMATICAS I PARTE I CONJUNTOS CONJUNTO: Colección o agregado de ideas u objetos de cualquier especie. A= {números pares} B= { banda de rock} ELEMENTO: Son las ideas u objetos cualesquiera que sean que forman al conjunto. Los elementos del conjunto A podría ser: 2,4,6,8. Los elementos del conjunto B podrían ser: Juan, Ernesto, Luis, o cualquier músico de rock. ESCRITURA DE CONJUNTOS FORMA ENUMERATIVA (POR EXTENSION): Consiste en anotar todos los elementos que pertenecen al conjunto. A= {0,1,2,3,4,5,6,7} B= {a,e,i,o,u} FORMA DESCRIPTIVA (POR COMPRENSION): Consiste en anotar en forma escrita cuales son las características de los elementos que formarán el conjunto. A= { x/x es un día de la semana} B= { x/x es un mes del año} ORACION ABIERTA: Es toda oración en la que interviene alguna variable. X es un número dígito x es un número par CONJUNTO DE REEMPLAZAMIENTO: Conjunto que nos proporciona los elementos para reemplazar a la variable en una oración abierta. Para los ejemplos anteriores tendríamos: 7, es un número dígito 6, es un número par Esto es, en lugar de tener la variable, le asignamos un valor oraión. que haga verdadera la CONJUNTO DE VERDAD: Son los elementos del conjunto de reemplazamiento que hacen que la oración sea verdadera. Para el ejemplo anterior el conjunto de verdad sería: {1,2,3,4,5,6,7,8,9} {2,4,6,8,10 } 1

2 VARIABLE: Una variable es una letra usada para representar a cualquier elemento del conjunto. X, es un día de la semana En este caso la x sirve para representar a: lunes, martes, miércoles, jueves, etc. CARDINALIDAD: Es el número de elementos contenidos en un conjunto. A= {2,4,6,8} n(a) = 4 Quiere decir que el conjunto A tiene 4 elemntos. B= {mesa, silla, pelota, escritorio, gis, lámpara} n(b)= 6 El conjunto B tiene 6 elementos CONJUNTO FINITO: Es aquel en el que es posible determinar el número de elementos que a él pertenecen. A= {x es número par menor que 20} Los números pares menores que 20 serían: 2,4,6,8,10,12,14,16,18 En este conjunto puedo determinar cuantos elementos forman parte de mi conjunto. CONJUNTO INFINITO: Es aquel en el no es posible terminar de enumerar sus elementos. A= { números naturales} Los números naturales son todos aquellos que utilizamos para contar, es decir no puedo determinar hasta que número abarca mi conjunto. NUMEROS NATURALES: Son los que nos sirven para contar. CONJUNTO UNIVERSAL: Esta formado por la totalidad de los elementos considerados para una determinada operación. Es equivalente al conjunto de reemplazamiento. U= {números pares mayores que 4 y menores que 16} Quiere decir que en este caso el conjunto de mas elementos tiene que contener los siguinetes valores: 6,8,10,12,14 ni un elemento más porque este sería el conjunto universal. CONJUNTO VACIO: Es el conjunto que no tiene elementos. 2

3 A= {Números enteros pares mayores que 2 y menores que 4} No existen números enteros que sean pares mayores que 2 y menores que 4 ya que son números consecutivos, en este caso se dice que es un conjunto vacío. CONJUNTOS EQIVALENTES: Son aquellos que poseen la misma cardinalidad, aunque sus elementos sean diferentes. A= { 1,2,3,4} B= {lápiz, goma, sacapuntas, libro} N(A) = 4 n(b)= 4 Ambos conjuntos tienen 4 elementos aunque éstos sean diferentes. CONJUNTOS IGUALES: Dos conjuntos son iguales, si son equivalentes y los elementos de uno son también los elementos del otro. A= {1,3,5,7,9} B= {5,7,1,9,3} Ambos conjuntos tienen los mismos elementos. SUBCONJUNTO: conjunto. Cuando los elementos de un conjunto también pertenecen a otro A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9} B= {3,4,5,6} B C A se lee, B es subconjunto de A, quiere decir que B tiene parte de los elementos que tiene el conjunto A. CONJUNTO COMPLEMENTARIO: Son los elementos que pertenecen al universo pero no están incluidos en el conjunto dado. U= {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A= {1,2,3,4} A = {5,6,7,8,9} Se lee A prima y quiere decir que es el conjunto que complementa al universo, esto es, son los elementos que le faltan al conjunto A para ser igual que el universo. CONJUNTOS DISJUNTOS: Cuando hay dos conjuntos que no tienen ningún elemento en común. 3

4 A= {1,2,3,4} b= {5,6,7,8} A y B no comparten ningún elemento, esto es, no tienen elementos comunes. REPRESENTACION DE CONJUNTOS EN DIAGRAMAS DE VENN Un diagrama de Venn, son figuras cerradas en el plano que nos sirven para esquematizar operaciones entre conjuntos. Se considera que cada figura encierra a los elementos del conjunto al cual representa. OPERACIONES CON CONJUNTOS UNION. Cuando se juntan los elementos de un conjunto con los elementos de otro conjunto, forman un tercer conjunto llamado unión, que se representa con la letra (U). Ejemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5} de Venn. B = {3, 5, 7, 9, 10} A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10} Representación en un diagrama INTERSECCION. Se define como la operación entre dos conjuntos para obtener un tercero, cuyos elementos pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos. Se representa con el símbolo Ejemplo: de Venn Representación en un diagrama 4

5 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18} A B = {2, 4, 6, 8, 10} CONJUNTO COMPLEMENTO O COMPLEMENTARIO. Son los elementos que están en el universo pero no están en el conjunto representado y se representan con la letra que representa al conjunto y una comita arriba y se lee como prima Ejemplo: diagrama de Venn Representación en un U = {letras del alfabeto} A= {letras consonates} A = {vocales} PARTE II LOGICA MATEMATICA RAZONAMIENTO INDUCTIVO: Es la conclusión general que se obtiene tomando como referencia un hecho particular. Juan es un niño (hecho particular) Todas las personas que se llamen Juan son niños (conclusiones generales) Todos los niños se llaman Juan. RAZONAMIENTO DEDUCTIVO: Es una conclusión particular que se obtiene a partir de un hecho general. Todos los animales son seres vivos El león es un animal Entonces, el león es un ser vivo PROPOSICION. Enunciado u oración que forzosamente deberá ser falsa o verdadera. El 5 es un número natural Marte es un animal (V) (F) PROPOSICION SIMPLE: Una sola oración que será falsa o verdadera 5

6 PROPOSICION ABIERTA: Oración donde no está bien definido el sujeto que la compone. Es decir, cualquier elemento puede ser parte del conjunto. PROPOSICIONES COMPUESTAS: Es la unión de dos proposiciones simples mediante un conectivo lógico ( y, o, si entonces ) Existen tres tipos de oraciones compuestas que son: CONJUNCION: Es la unión de dos proposiciones simples unidas por el conectivo lógico y Ejemplo: Laura es una mujer y piensa El número cinco es número dígito y es impar Para que una conjunción sea verdadera, las dos proposiciones deberán ser verdaderas. Para que una conjunción sea falsa, una de las proposiciones deberá ser falsa. La CONJUNCION, se representará como una INTERSECCION de conjuntos X es número dígito y es número par Primero determinamos, los elementos de la primer proposición { 1,2,3,4,5,6,7,8,9} Después los elementos de la segunda proposición {2,4,6,8,10,12 } y vemos cuales son los números que cumplen con la condición de ser números dígitos y a la vez pares. En este caso el resultado sería: { 2,4,6,8} El conjunto solución de esta CONJUNCION sería la INTERSECCIÓN entre el primer y segundo conjuntos, es decir, {2,4,6,8}. DISYUNCION: Son dos proposiciones simples unidas mediante el conectivo lógico o. 4 es par ó 5 es impar 6

7 7 es dígito ó 9 es natural Para que una disyunción sea verdadera, cualquiera de las proposiciones será verdadera. Una disyunción será falsa, únicamente cuando las dos proposiciones sean falsas. Para encontrar el conjunto solución de una disyunción primero determinamos que elementos componen a cada una de las proposiciones y después las unimos como si se tratara de una UNION de conjuntos. X es menor que 9 ó es divisor de 6 Conjunto de reemplazamiento de la primer proposición: {1,2,3,4,5,6,7,8} Conjunto de reemplazamiento de la segunda proposición: {1,2,3,6} Conjunto de verdad {1,2,3,4,5,6,7,8} U {1,2,3,6} = {1,2,3,4,5,6,7,8} El conjunto solución será la unión entre los dos conjuntos anteriores, esto es, {1,2,3,4,5,6,7,8} NEGACION. Cuando en la proposición se niega el predicado. 4 es número par la negación sería 4 NO es número par. La negación se representa como un conjunto complementario, es decir donde se toma en cuenta todo lo que no está incluido en la proposición. A= { x es número par menor que 6 } la negación quedaría: A = { x no es par menor que 6} IMPLICACION. Es cuando se unen dos proposiciones mediante el conectivo lógico si entonces Se considera un tipo razonamiento donde hay una hipótesis y una posible conclusión. Ejemplo: Si un animal vuela, entonces es un ave. 7

8 En el diagrama de Venn la implicación se representa como un subconjunto, en donde la conclusión es el conjunto mayor y la hipótesis el subconjunto. Si 3 es primo, entonces tiene solo dos divisores VARIANTES DE LA IMPLICACION CONVERSA. Se cambian de orden las proposiciones que componen la implicación y se respeta su conectivo lógico. Si tiene alas, entonces vuela Su conversa sería: Si vuela, entonces tiene alas INVERSA. Se niega cada una de las proposiciones que componen la implicación. Si es un animal, entonces, es un ser vivo. Su inversa sería: Si no es un animal, entonces no es un ser vivo CONTRAPOSITIVA. Se logra cuando se invierte el orden de las proposiciones y a la vez se niegan ambas. Si x es mayor que 7, entonces x es mayor que 4 Su contrapositiva sería: Si x no es mayor que 4, entonces x no es mayor que 7 PARTE III CONSIDERACIONES ARITMETICAS MULTIPLO DE UN NUMERO. Es aquel que contiene a un determinado número, un número exacto de veces. 10 es múltiplo de 2, porque lo contiene 5 veces pues 2 x 5 = es múltiplo de 5, porque lo contiene 5 veces pues, 5 x 5 = 25 DIVISOR. Un número se considera divisor de otro si lo divide en una cantidad exacta de veces. Ejemplo 2 es divisor de 10 porque lo divide exactamente en 5 partes ya que 10/2 = 5 DIVISIBILIDAD. Es la propiedad que tiene un número para ser dividido entre otro exactamente. 8

9 ECUACIONES Lo más importante que hay que tener en cuenta para la realización de ecuaciones son las reglas de los signos, estas son: (+) (+) = (+) (-) (-) = (+) (+) (-) = (-) (-) (+) = (-) Esto es, signos iguales en multiplicación o división, dan números POSITIVOS. Signos diferentes en multiplicación o división dan números NEGATIVOS. Así mismo en sumas y restas: - Signos iguales se suman o restan según sea el caso - Signos diferentes, en suma, SE RESTAN y en resta SE SUMAN y en ambos casos se pone el signo del número mayor. Ejemplo: SUMAS RESTAS (-3) + 2 = -1 (-6) (-4) = (-5) = (-4) = 10 (-3) + (-3)= -6 (-8) 4 = = = 4. LENGUAJE ALGEBRAICO Es la forma de representar los números con letras, ejemplo: A, b, c, d, e, f, x, y, z, etc. Son números cualquiera. a + b = La suma de dos números cualquiera. B+ 3 = La suma de un número más tres. X + y = la suma de dos números. 3 a = El triple de un número. 2 a = El doble de un número. (a) (b) = El producto de dos números diferentes. A -- = El cociente de dos números diferentes. b 9

10 ECUACIONES DE PRIMER GRADO Las ecuaciones son la forma de realizar operaciones con letras así mismo representan la forma de descubrir incógnitas por medio de fórmulas. Estas ecuaciones son útiles para descubrir números perdidos. Ejemplo: A + 3 = 12 En esta ecuación tenemos que descubrir el valor de a, para hacerlo, el primer paso a seguir es despejar la incógnita. Para despejarla, tenemos que pasar el número que se encuentra en el primer miembro de la ecuación al segundo, es decir, el número que se encuentra antes del signo igual (=) al otro lado. Al pasar el número al otro lado, tenemos que cambiar el signo del número, esto es, si el número es positivo, pasa negativo, si el número es negativo pasa positivo, si el número está sumando pasa restando o si el número está restando, pasa sumando. En resumen, pasan al otro lado con el signo contrario. A = 12 3 Ya que pasamos el número al otro lado, lo que tenemos que hacer es la operación y tendremos el resultado de la ecuación. A= 12-3 A= 9. Para comprobar que el resultado que tenemos es el correcto sustituimos el valor de la letra por el que obtuvimos como resultado. A + 3 = 12 A = = 12. Ahora con base en el ejemplo anterior resuelve las siguientes ecuaciones: 4 + b = a = 60 10

11 60 a = 16 En el caso de esta ecuación los pasos para resolverla serían: 60 a = 16 -a = a = -44 Aquí restamos y colocamos el signo del número mayor como lo mencionamos anteriormente, pero se observa que la incógnita tiene un valor negativo (-a), pero en las ecuaciones NINGUNA incógnita debe tener valor negativo, lo que hacemos entonces es cambiar los signos de la incógnita y del resultado entonces tendremos: -a = - 44 Con el cambio de signos tendremos: a = 44 Para comprobar que el resultado es el correcto verificamos sustituyendo valores: = = 16 Nota: Es importante que NO TE QUEDEN DUDAS, cualquiera que tengas COMÉNTALA. Ahora continua resolviendo tus operaciones. 28 a = 23 a= 56 (-b) = 48 b= b (-58) = 72 b= 76 + (-b) = 90 b= c + 78 = -89 c= c = -125 c= 11

12 EJERCICIOS DE MATEMATICAS 1. Completa los espacios siguientes con las palabras adecuadas. a) A un conjunto de jugadores de béisbol se le llama b) A un conjunto formado por tres guitarrista se le llama c) A un grupo de alumnos que termina una carrera profesional se les llama d) La reunión de soldados de un país forman un. 2. Contesta correctamente de acuerdo a la relación de pertenencia que corresponda. F = {clavel, rosa, perfume, violeta, gardenia} Margarita F Clavel F Perfume F Hermosa F Violeta F Laura F 3. Da dos ejemplos de conjuntos equivalentes. 4. Menciona cual es la cardinalidad de los siguientes conjuntos. A = { 3,2,5,6,7,8} n(a) = B = { 7,3,4,5,6,7,8,9} n(b) = C= {2} n(c)= 5. Escribe la definición de conjunto universal, conjunto vació y conjunto equivalente. 12