Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 1: Lunes 11 Viernes 16 de Marzo. Contenidos

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1 Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 1: Lunes 11 Viernes 16 de Marzo Complementos Contenidos Clase 1: Elementos de lógica: Conectivos, tablas de verdad, tautologías y contingencias. Clase 2: Demostraciones y razonamientos lógicos, Conjuntos: Definición y operaciones 1. Clase Aprendizajes esperados Identificar proposiciones. Reconocer y manejar conectivos lógicos y sus tablas de verdad. Reconocer y manejar propiedades básicas del álgebra de proposiciones tales como idempotencia, involución, etc. Reconocer y diferenciar los diferentes tipos de formas proposicionales a través de la utilización de tablas de verdad y algebra de proposiciones Elementos de Lógica Definición 1.1. Una proposición es una expresión o sentencia respecto de la cual se puede decir sin ambigüedad si es verdadera (V) o falsa (F). Observación 1.1. Denotaremos las proposiciones mediante letras minúsculas p, q, r etc. Observación 1.2. Las ordenes no son proposiciones Ejemplo 1.1. Cuales de las siguientes expresiones son proposiciones? 1. Compra 3 panes 2. La silla tiene 5 patas 3. x + 3 = 7 4. Que bonito!! 5. Existe un único número natural que tiene por inverso multiplicativo otro número natural. 6. Dos mas cinco MAT021 Primer Semestre 2013 (Complemento) 1

2 Conectivos Lógicos y Tablas de Verdad Sean p y q dos proposiciones lógicas, entonces se definen los siguientes conectivos lógicos y sus valores de verdad: Conjunción Disyunción Implicación Equivalencia Negación condicional bicondicional p q p q p q p q p q p V V V V V V F V F F V F F F F V F V V F V F F F F V V V Observación 1.3. En algunos textos se utiliza la notación p para la negación. Definición 1.2. Serán proposiciones simples aquellas que no incluyen conectivos lógicos. Serán proposiciones compuestas aquellas que los incluyen. Ejemplo 1.2. Considere las siguientes proposiciones simples p : 5 es mayor que 7 q : 4 es divisible por 2 escribir en palabras las proposiciones p q, p q y (p q) q. Cuáles son sus valores de verdad? Definición 1.3. Si p, q, r, s, etc. son símbolos que no denotan proposiciones específicas, llamaremos Forma proposicional a cualquier expresión finita que se pueda construir con tales símbolos y los conectivos lógicos. Observación 1.4. Toda forma proposicional tiene asociada una tabla de verdad, dar ejemplos de su construcción. Ejemplo 1.3. Construir la tabla de verdad de la forma proposicional: p q p q Definición 1.4. Las formas proposicionales se pueden clasificar de la siguiente manera: 1. Tautología si obtiene el valor lógico V (verdadero) para cualquier sustitución (de valor de verdad) de las proposiciones que la componen. 2. Contradicción si obtienen el valor lógico F (falso) para cualquier sustitución (de valor de verdad) de las proposiciones que la componen. 3. Contingencia si no es tautología ni contradicción. Definición 1.5. Dos proposiciones p y q (simples o compuestas) son lógicamente equivalentes si el bicondicional entre ambas es una Tautología. En tal caso, denotamos el bicondicional por y escribiremos p q. Ejemplo 1.4. Demuestre la siguiente equivalencia. p q [(p q) F ] Observación 1.5. Se pide insistir en la idea que las proposiciones pueden ser cualquier cosa, entre ellas expresiones Matemáticas. MAT021 Primer Semestre 2013 (Complemento) 2

3 Definición 1.6. Se dice que una proposición p implica lógicamente a una proposición q si p q es una tautología. Definición 1.7. Sean p 1, p 2,..., p n, q proposiciones. Diremos que q es una consecuencia lógica de las premisas p 1, p 2,..., p n si p 1 p 2 p n implica lógicamente a q. Ejemplo 1.5. Muestre que (p (p q)) q es una tautología, por tanto, q es una consecuencia lógica de las premisas p y (p q). p premisas p q q conclusión Desarrollo: Construimos la tabla de verdad p q (p q) (p (p q)) (p (p q)) q V V V V V V F F F V F V V F V F F V F V de donde obtenemos que (p (p q)) q es una tautología. MAT021 Primer Semestre 2013 (Complemento) 3

4 2. Clase Aprendizajes esperados Reconocer el concepto de teorema y su papel fundamental en la teoría matemática. Reconocer y aplicar los diferentes métodos de demostración. Reconocer las distintas operaciones conjuntistas y su vínculo con los conectivos lógicos. Realizar operaciones conjuntistas con intervalos de R para la resolución de inecuaciones Teoremas Definición 2.1. Un Teorema es una proposición verdadera de cierta relevancia para una teoría y cuya verdad debe ser demostrada. Existen principalmente dos formas de enunciar un teorema: 1. Implicación: Si (hipótesis), entonces (tesis) (H T ) Esta forma tiene varios métodos de demostración a) Métodos de demostración directo. b) Métodos de demostración indirectos: 1) Contra-recíproca (T H). 2) Reducción al absurdo (H T ) F (contradicción). 2. Equivalencia: (Hipótesis) si y solo si (tesis) (H T ) Los métodos para demostrar una equivalencia se basan principalmente en la equivalencia: [(H T ) (T H)] [T H] y luego utilizar los métodos para demostrar implicación. Observación 2.1. Dejar en claro que la falsedad de una proposición se puede demostrar usando un contraejemplo. Por otro lado, un ejemplo, puede no ser suficiente para demostrar un enunciado. Dar ejemplos (valga la redundancia) de lo anterior. Observación 2.2. Se sugiere realizar los siguientes ejemplos: 1. Si a es par, entonces a 2 es par (demostración directa). 2. Si a 2 es impar, entonces a es par (demostración por contradicción). 3. En el conjunto de los números reales se cumple ab = 0 a = 0 b = Importante Se solicita que la clase en pleno sea ejemplificada con conjuntos de números reales, esencialmente trabajando con intervalos reales e inecuaciones de primer grado con y sin valores absolutos. MAT021 Primer Semestre 2013 (Complemento) 4

5 2.4. Conjuntos Definición 2.2. Un conjunto puede ser considerado como una colección de elementos u objetos. Estos elementos pueden tener o no tener características en común (los conjuntos que estudiaremos están formados normalmente con objetos de la misma especie, en este caso números reales). Hay dos conjuntos que se destacan: 1. Conjunto universo, que es el conjunto que posee todo los posibles elementos (en el contexto que se esté trabajando, para nosotros lo usual es R). Este conjunto será denotado por U 2. Conjunto vacío, es el conjunto que no tiene elementos. Este conjunto será denotado por. Definición 2.3. Los conjuntos pueden definirse por comprensión y/o extensión. Definir un conjunto por extensión quiere decir que se expresará explícitamente los elementos que el conjunto tendrá. Para definir un conjunto A por comprensión requerimos primero introducir el concepto de función proposicional; Definición 2.4 (Función proposicional). Sea U el conjunto universo en un contexto dado. Una función proposicional p es una expresión descrita en función de algún parámetro x que satisface lo siguiente: Cada vez que x se reemplaza por un elemento de U, p(x) se transforma en una proposición. De esta forma, dada una función proposicional p( ) podemos definir un conjunto por comprensión por A = {x U / p(x) es Verdadero} (también se puede pedir que p(x) sea Falso). Observación 2.3. Si usted lo considera adecuado, es posible saltarse la definición de función proposicional para la próxima clase, que es cuando será utilizada para la introducción de cuantificadores. En tal caso, describir lo que es dar un conjunto por comprensión a través de ejemplos. Notación. Que un elemento x pertenezca a un conjunto A será denotado por x A. Notaremos que un elemento x no pertenece a un conjunto A por la expresión x / A. Observación 2.4. Observe que las expresiones x A y x / A son proposiciones. Definición 2.5. Sean A, B conjuntos. Se define: 1. Subconjunto de un conjunto A B (para todo x A x B). 2. Igualdad de conjuntos A = B (A B B A). Lo anterior también se puede expresar como: para todo x U se tiene x A x B. 3. Unión de conjuntos A B = {x U / x A x B} 4. Intersección de conjuntos A B = {x U / x A x B} 5. Diferencia de conjuntos A B = {x A / x / B} 6. Complemento de un conjunto U A = A c = {x U / x / A} MAT021 Primer Semestre 2013 (Complemento) 5

6 Observación 2.5. Se recomienda representar algunas de las operaciones anteriores escribiéndolas en términos de proposiciones. Por ejemplo: x A B (x A x B). Observación 2.6. En la siguiente tabla se ilustrarán las analogías que se pueden establecer entre los símbolos utilizados en lógica y conjuntos. Es altamente recomendable que el alumno establezca este vínculo. Lógica V F p (Proposición) p Conjuntos U A (Conjunto) = A c Observación 2.7. Realizar ejemplos de las operaciones conjuntistas utilizando intervalos reales, de tal manera que los estudiantes esten preparados para poder aplicar estas operaciones en el resolusión de inecuaciones. MAT021 Primer Semestre 2013 (Complemento) 6