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Transcripción

1 ALGEBRA 1. LETRAS EN VEZ DE NÚMEROS En muchas tareas de las matemáticas es preciso trabajar con números de valor desconocido o indeterminado. En esos casos, los números se representan por letras y se operan con las mismas leyes y propiedades que en las expresiones numéricas. Veamos algunos casos. 1.1 Representar números en clave 1.2 Expresar y operar números desconocidos Empleando una letra, podemos representar un número cuyo valor aún no conocemos, operar con él y relacionarlo con otros números. Cuando las letras expresan números, las trataremos como tales en cuanto a las operaciones y sus propiedades. La parte de las matemáticas que se ocupa de estudiar el comportamiento de las expresiones con letras y números se denomina álgebra. 2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Para representar cantidades generalmente utilizamos números. Sin embargo, hay ocasiones en que también podemos emplear letras. Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos mediante los signos de las operaciones aritméticas. Estas letras reciben el nombre de incógnitas o indeterminadas. Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág.1 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

2 Este curso es una iniciación al algebra, las expresiones algebraicas con las que trabajaremos solo tendrán una indeterminada y de exponente uno. Ejemplo 1. Laura tiene tres hermanos: Pedro, que es dos años menor que ella; Ana, que es tres años mayor que ella, y Fermín, que le dobla la edad. a) Cuál es la edad de cada uno si Laura tiene 8 años? b) Y si desconocemos la edad de Laura? Pedro Ana Fermín a) Si Laura tiene 8 años podemos calcular la edad de sus hermanos 8-2 = = = 16 b) Si desconocemos la edad de Laura, podemos representarla con la letra x entonces las edades de sus hermanos serán x - 2 x x Las expresiones del apartado b) recibe el nombre de expresiones algebraicas. Para escribir una expresión algebraica, debemos tener en cuenta las siguientes normas: Normas El signo x de la multiplicación puede sustituirse por el signo Cuando el signo de la multiplicación aparece entre letras o entre un número y una letra, suele suprimirse El factor 1 no se escribe Ejemplos 5 x b 5 b 2 a = 2a 1 a = a Para leer una expresión algebraica podemos nombrar las letras y los signos en el orden en el que aparecen o construir una pequeña frase que la defina. Se lee O bien 2x Dos por equis o dos equis Doble de equis x - 3 Equis menos tres Tres unidades menor que equis x + 5 Equis más cinco Cinco unidades mayor que equis Ejemplo 2. Di un número que al multiplicarlo por 2 y después sumarle 5 dé como resultado Un número x 2. Multiplicarlo por 2 2 x 3. Sumarle 5 2 x Da como resultado 15 2 x + 5 = 15 Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág.2 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

3 Ejemplo 3. El doble de un número menos su triple 2x - 3x x Un número menos su cuarta parte x 4 La expresión algebraica más sencilla es el monomio. 2.1 Monomios Un monomio es una expresión algebraica que únicamente contiene el producto de un número por una o varias incógnitas. Ejemplo 4. Son monomios: 3x, 2, -b, 5xy 2 No son monomios; x+3, x+y, 2x-5 Los elementos que caracterizan los monomios son: Coeficiente: número incluido el signo del monomio Parte literal: producto de letras (indeterminadas o incógnitas) junto con su exponente Grado: suma de los exponentes de cada una de las letras de la parte literal Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. Ejemplo 5. Determina el coeficiente, la parte literal y el grado de los siguientes monomios: Coeficiente : 8 a) 8ab 3 z 2 Parte literal : ab 3 z 2 Grado : 6 ( ) Coeficiente : 1 b) - x 3 Parte literal :x 3 Grado : 3 c) x Coeficiente : 1 Parte literal :x Grado : 1 Coeficiente : 7 d) 7 Parte literal :x 0 (Re x 0 cuerda = 1) Grado : 0 Este curso es una iniciación al algebra, solo trabajaremos con monomios de grado 1 o 0. Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág.3 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

4 2.2 Operaciones con monomios Suma y resta de monomios semejantes: Se suman o restan sus coeficientes, manteniéndose la misma parte literal. Ejemplo 6. a) 7 x + 4x = (7+ 4) x = 11 x b) 7 a 4 a = (7-4) a = 3a Multiplicación de un monomio por un número: Se multiplica el coeficiente por dicho número, manteniéndose la misma parte literal. Ejemplo 7. (-4) 3x = ((-4) 3) x = - 12x Ejemplo 8. Opera y simplifica: a) 3x 12x + 4x = ( ) x = 5x b) 3x x 7 = 3x + 5x = ( 3 + 5) x = 8x 3 c) x 2a + 3a = x + ( 2 + 3) a = x + a (Estos monomios no son semejantes y no se pueden sumar) d) 2 3x 5 = 6x 5 3. ECUACIONES DE PRIMER GRADO Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que se verifica para ciertos valores de las letras. Ejemplo 9. 2x + 2 = 6 + x Esta igualdad entre dos expresiones algebraicas puede ser verdadera o falsa, según el valor numérico que se le asigne a la letra x. Si sustituimos la x por 4 en la expresión anterior, = = 10 Se obtiene una igualdad entre expresiones numéricas, que es cierta. Pero si sustituyéramos x por 7, = = 13 La igualdad obtenida es falsa. 3.1 Significado y utilidad. Una ecuación expresa, en lenguaje algebraico, una relación entre cantidades cuyo valor, de momento, no conocemos. Esas cantidades se representan con letras. Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág.4 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

5 Ejemplo 10. Cinco veces la edad de Laura coincide con la que tendrá dentro de 28 años. Las ecuaciones permiten codificar relaciones en lenguaje algebraico y, a partir de ahí, manejarlas matemáticamente. Eso, como comprobarás más adelante supone una potentísima herramienta para resolver problemas. 3.2 Elementos y nomenclatura Miembros de una ecuación: Son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo de igualdad. Ejemplo 11. Términos: Son los sumandos que forman los miembros. Ejemplo 12. La ecuación anterior tiene cuatro términos. Los términos del miembro de la izquierda son 2x y -4, y los términos del miembro de la derecha son x y 3. Incógnitas: Son las letras que aparecen en la ecuación. También puede referirse a las incógnitas como indeterminadas. Ejemplo 13. 2x 4 = x + 3 Ecuación con una incógnita, x. 5x + 3y = y 3 Ecuación con dos incógnitas, x e y. Soluciones o raíces de una ecuación: Son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta. Cada solución de una ecuación está formada por tantos números como letras tenga. Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág.5 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

6 Resolver una ecuación es encontrar el valor, o los valores, que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta. Ecuaciones equivalentes. Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas incógnitas y las mismas soluciones. 3.3 Reglas de equivalencia. Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta un mismo número o una misma expresión algebraica, la ecuación resultante es equivalente a la dada: Ejemplo 14. Ejemplo 15. Si se multiplica o se divide por un mismo número distinto de cero a los dos miembros de la ecuación, es decir, a todos los términos de la ecuación, la ecuación resultante es equivalente a la dada: Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág.6 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

7 Ejemplo 16. Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, debes despejar esta última aplicando las reglas de equivalencia. Fíjate en estos ejemplos: En la resolución de una ecuación de primer grado conviene seguir un orden para facilitar la tarea y no cometer errores: a) Trasponer todos los términos que tienen incógnita a uno de los miembros (se suelen llevar a la izquierda). b) Trasponer todos los términos que no tienen incógnita al otro miembro (se suelen llevar a la derecha). c) Reducir términos semejantes en los dos miembros. d) Despejar la incógnita. e) Comprobar la solución. Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág.7 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

8 Ejemplo 17. Resolver la ecuación : 5 x 4 = 6 a) Trasponer los términos que no tienen incógnita al miembro de la derecha 5 x = b) Reducir términos semejantes en los dos miembros. 5 x = 10 c) Despejar la incógnita. 10 x = = 2 5 d) Comprobar la solución. Sustituimos x por 2 en la ecuación inicial 5 ( 2) 4 = = 6 6 = 6 Luego x=2 es la solución de la ecuación. Ejemplo 18. Resolver la ecuación : 2 x 4 = 3x a) Trasponer los términos que tienen incógnita 2 x 4 3x = 0 b) Trasponer todos los términos que no tienen incógnita al otro miembro 2 x 3x = 4 c) Reducir términos semejantes en los dos miembros. x = 4 d) Despejar la incógnita. 4 x = = 4 1 e) Comprobar la solución. Sustituimos x por - 4 en la ecuación inicial 2( 4) 4 = 3( 4) 8 4 = = 12 Luego x=-4 es la solución de la ecuación. Ejemplo 19. Resolver la ecuación : 5x 3 + 2x + 4 = 5x f) Trasponer los términos que tienen incógnita 5x 3 + 2x + 4 5x = 5 2 g) Trasponer todos los términos que no tienen incógnita al otro miembro 5 x + 2x 5x = Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág.8 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

9 h) Reducir términos semejantes en los dos miembros. 2 x = 2 i) Despejar la incógnita. 2 x = = 1 2 j) Comprobar la solución. Sustituimos x por 1 en la ecuación inicial 5 ( 1) 3 + 2( 1) + 4 = 5( 1) = = 8 Luego x=1 es la solución de la ecuación. Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág.9 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño