RESUMEN ALGEBRA BÁSICA

Transcripción

1 RESUMEN ALGEBRA BÁSICA TERMINO ALGEBRAICO: Es una expresión matemática que consta de un producto (o cociente) de un número con una variable elevado a un exponente (o con varias variables). TÉRMINO ALGEBRAICO SIGNO EXPONENTE -3x 2 y 3 COEFICIENTE PARTE LITERAL TÉRMINOS SEMEJANTES: Son aquellos que tienen la misma literal (letra) y el mismo exponente, sin importar el numero y signo que los acompaña TÉRMINOS SEMEJANTES TÉRMINOS NO SEMEJANTES 8a, - 9a, 6a 5a, 6b, + 8c, x, 4x 2 3m m+1, 2m m+1, 5m m+1 GRADO DE UN MONOMIO: Se conoce como grado de un monomio a la suma de los exponentes de cada variable que tenga el monomio. Las constantes tienen grado cero. OPERACIONES BÁSICAS ENTRE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. SUMA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Las sumas de expresiones algebraicas se efectúan mediante la agrupación de términos semejantes. Hecho esto solo se sumaran monomio a monomio. Ejemplos: Sumas de expresiones Resultado 3x + x = 4x 5y 2 + 3y 2 = 8y 2 4x 2 + 3x = No se puede simplificar ya que 4x 2 y 3x no son términos semejantes 2x + 3y + 3x +5 y = Agrupando los términos semejantes en x y en y tenemos: (2x + 3x) + (3y +5 y) = 5x + 8y 1 de 16

2 Otra forma en que comúnmente se realizan las sumas es de la siguiente manera: o Como podemos ver, se quitaron primero los paréntesis y después se agruparon en términos semejantes. La suma se puede realizar con más de dos expresiones algebraicas, por ejemplo podemos sumar con y, como podemos observar en la última expresión, a diferencia de las otras dos, no se encuentra ningún término con la variable, sin embargo la operación se puede realizar como veremos: o RESTA DE DOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. La resta de dos operaciones algebraicas se realiza de manera similar a como se hace con la suma de operaciones algebraicas, es decir se realizan las restas entre dos términos semejantes. Ejemplos: 1.- Restar de. Solución: o 2 de 16

3 2.- Restar de Solución: MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS La multiplicación de dos o más monomios se efectúa aplicando las reglas de la potenciación, de los signos, las propiedades asociativa y conmutativa del producto. Como resultado del producto de monomios se obtiene otro monomio. El coeficiente numérico del monomio resultante es igual al producto de los coeficientes de los monomios que intervienen en el producto. La parte literal es formada por las mismas letras que intervienen en los monomios del producto, con el exponente de la respectiva literal igual a la suma de los exponentes. Ejemplos: Multiplicación de un monomio por un polinomio. Se efectúa multiplicando el monomio por todos y cada uno de los términos del polinomio, después se suman cada uno de los productos obtenidos de multiplicar el monomio por cada uno de los términos del polinomio, es decir se reducen términos semejantes. Multiplicación de dos polinomios. La multiplicación de dos polinomios se efectúa multiplicando todos y cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro y sumando todos los productos obtenidos, reduciendo términos semejantes, el resultado de la suma de estos productos generan un nuevo polinomio, de grado la suma del grado de ambos polinomios. Generalmente se ordenan ambos polinomios en orden creciente o decreciente. 2x 2 x ( x + 3) ( x + 2) = 3x x + 2x + 3x + 6 = x + 5x de 16

4 División entre polinomios Para la división de dos polinomios, por la división larga, se siguientes pasos: Se ordenan los términos de ambos polinomios según las potencias decrecientes (o crecientes) de una de las letras comunes a los dos polinomios. Se divide el primer término de dividendo por el primero del divisor, con lo que resulta el primer término del cociente. El resultado del cociente se multiplica por el divisor, para después restar este producto del dividendo. Una vez realizado esta resta, hora se centra la atención en este resultado, se divide entre el divisor para formar el segundo termino del cociente. Se multiplica nuevamente este resultado por el divisor, restándolo nuevamente del anterior resultado. Esto se realiza de manera consecutiva hasta reducir el residuo a cero o a un polinomio menor que el divisor. Si el residuo es cero, entonces el cociente y el divisor son factores del dividendo. División Sintética Si el divisor es un polinomio de primer grado de la forma x-c donde c es una constante, esta constante puede ser inclusive un número complejo, sin embargo, aquí c es una constante real. El algoritmo de la división sintética se realiza de acuerdo a los siguiente pasos: 1.- Listar los coeficientes del dividendo en orden decreciente de potencias de, escribiendo 0 para cada potencia de que falte. 2.- Colocar como prefijo de esta lista al valor de que hace cero al divisor. 4 de 16

5 3.-Escribir en la parte inferior el coeficiente principal de la lista, multiplicarlo por el prefijo y sumar el producto al siguiente coeficiente de la lista. 4.- Multiplicar por el prefijo la suma obtenida en el paso 3 y sumar el producto al siguiente coeficiente. Repetir este paso hasta haber usado todos los coeficientes de la lista. 5.- Todos los elementos del tercer renglón excepto el último son los coeficientes del polinomio cociente, en orden decreciente de potencias, se comienza por una potencia menor a la que tiene el dividendo. El último elemento de este renglón es el residuo. FACTORIZACIONES. Una buena parte del álgebra se encarga de simplificar y tratar de poner expresiones en productos de otras expresiones más simples. DESCOMPOSICION DE NUMEROS NATURALES EN SUS FACTORES PRIMOS Un número natural como 20 puede expresarse como un producto de números de diferentes formas: En cada uno de estos casos a los números que forman el producto se les conoce como factores. Es decir cuando expresamos el número 20 como el producto 2*10, a cada uno de los números (2 y 10) se le denomina factor. En el caso de 1*20 los factores son 1 y 20 y finalmente en el caso de 4*5, los factores son 4 y 5. Cada uno de los números 1, 2, 4, 5, 10,20 se denominan a 5 de 16

6 su vez divisores de 20. Debe recordarse además que cuando un número es divisible únicamente por si mismo y por la unidad el número se denomina primo. Álgebra Superior FACTORIZACION Y PRODUCTOS NOTABLES Así como los números naturales pueden ser expresados como producto de dos o más números, los polinomios pueden ser expresados como el producto de dos o más factores algebraicos. Cuando un polinomio no se puede factorizar se denomina irreducible. En los casos en Que la expresión es irreducible, sola puede expresarse como el producto del número 1 por la expresión original. Al proceso de expresar polinomio como un producto de factores se le denomina factorización. El proceso de factorización puede considerarse como inverso al proceso de multiplicar. Por otro lado, algunos productos sencillos que tienen una estructura determinada y que pueden ser evaluados de forma directa se denominan productos notables. Continuación se muestran los principales casos de factorización. Los productos notables pueden ser aplicados usando esta misma tabla. Esto se muestra posteriormente con los ejemplos DESIGNACIÓN FACTORIZACIÓN Factor común Factor común por agrupación de términos Trinomio cuadrado perfecto Trinomio b, c enteros Trinomio a, b, c enteros Diferencia de cuadrados Diferencia / Suma de cubos Binomio al cubo. La factorización es posible si existen m y n son enteros que satisfacen: m+n = b y mn = c La factorización es posible si existen m y n enteros que satisfacen: (m+n) = b y mn=ac Productos Notables: Factorizar Este es un ejemplo sencillo de la factorización por factor común. Dada una expresión algebraica se encuentra el máximo común divisor (mcd) de los coeficientes de los términos de la expresión 6 de 16

7 algebraica. Este mcd corresponde al coeficiente del factor común. Para la parte literal se toman las variables comunes a todos los términos con el menor exponente que aparezca. Para este ejercicio el mcd de 9, 6 y 12 es 3; además como no hay variables comunes en los tres términos tenemos: es decir 9x +6y-12z se ha expresado como el producto de los factores 3 y 3x+2y-4z. Factorizar En este caso además del factor común 3 (mcd de 9, 6, 12) la variable y es común a los tres términos. La menor potencia común es por lo tanto la factorización queda: Los factores en este caso son y. Para verificar, al realizar el producto indicado se obtiene la expresión original: Factorizar Este ejercicio nuevamente es un caso de factorización por factor común. El método general para determinar el mcd de los coeficientes se basa en la descomposición en factores primos. En un ejemplo precedente se había encontrado que mcd(56,42,28) = 14. La parte literal común es. Así el factor común es. Por lo tanto al factorizar se tiene: Factorizar. En este caso tenemos un trinomio cuadrado perfecto. Extraemos las raíces de los términos extremos (A y B) y se verifica que el otro término es dos veces el producto de estas raíces; la factorización queda: Factorizar. Como y. Además, el polinomio dado se puede factorizar como un trinomio cuadrado perfecto. La factorización queda por lo tanto: Factorizar. Tenemos que y. Por otro lado, lo cual implica que esta expresión corresponde a un trinomio cuadrado perfecto: Se puede añadir que si n es un número natural impar la expresión entre paréntesis puede ser factorizada utilizando la última fila de la tabla Factorizar. Este es un trinomio de la forma. (Aunque la variable sea Z, debe observarse que lo importante es que el trinomio tiene la misma estructura ). La forma práctica de aplicar el criterio 7 de 16

8 para la factorización de estos trinomios es expresar el trinomio como un producto de dos binomios lineales, como se muestra a continuación: en donde los signos de interrogación corresponden a dos números enteros m y n tales que mn= 6 y m+n= -5. Dos números que satisfacen lo anterior son -3 y -2, pues (-3)*(-2)=6, y también -3-2=-5. Un número dado puede ser expresado como producto de dos enteros de varias formas. En este caso 6 puede ser expresado como producto de dos enteros de 4 formas distintas: (-3)*(-2)=6 y -3-2=-5 (3)*(2)=6 y 3+2=5 (-1)*(-6)=6 y -1-6=-7 (1)*(6)=6 y 1+6=7 La factorización se obtiene escribiendo los números -3 y -2 (que son los únicos que satisfacen las dos condiciones) en los espacios donde aparecen los signos de interrogación: Finalmente, se obtiene al hacer los productos de signos: Factorizar. Buscamos dos números enteros cuyo producto sea -32 y cuya suma sea -4. A continuación se muestran las posibilidades para expresar -32 como el producto de dos enteros y las respectivas sumas obtenidas: -32=1*(-32) -32+1=-31-32=(-1)*(32) 32-1=31-32=2*(-16) -16+2=-14-32=(-2)*( 16) 16-2=14-32=4*(-8) 4-8=-4-32=8*(-4) 8-4=4 Solo una de estas parejas satisface simultáneamente las dos condiciones, la pareja -8 y 4. Obtenemos por lo tanto: De donde finalmente: Factorizar. Este es un trinomio de la forma. Por lo tanto se deben buscar dos números cuyo producto sea 2*5=10 y su suma sea 7, tenemos las siguientes posibilidades: 1*10=10 y 1+10=11 (-1)*(-10)=10 y (-1)+(-10)=-11 5*2=10 y 5+2=7 (-5)*(-2)=10 y (-5)+(-2)=-7 La pareja 2, 5 satisface simultáneamente las condiciones. Se tiene entonces: 8 de 16

9 Obsérvese que se ha factorizado por factor común simplificar el 2 del numerador y el 2 del denominador.. Esta factorización permite Factorizar. Buscamos dos números enteros que sumen -2, con producto 3(-8)=-24. Estos números son -12 y 2. Tenemos que -6(4)=-24 y -6+4=-2 Al factorizar se obtiene: Para simplificar el 3 del denominador se factoriza 3z-6=3(z-2). Factorizar. Esta expresión corresponde a una diferencia de cuadrados. Tenemos que y. Por lo tanto: Completando el cuadrado es el segundo método para obtener las raíces o ceros de un polinomio. El proceso es el siguiente: Primero mueves el tercer término con signo opuesto al lado contrario de la igualdad. Luego, vas a calcular el término que te permite crear tu cuadrado de la siguiente forma: selecciona el coeficiente de la variable que está elevada a la 1, se divide entre dos y elevarlo al cuadrado. Este resultado lo sumarás a ambos lados de la expresión. Después, la raíz cuadrada del primer término, el operador (signo) del medio y la raíz cuadrada del último termino, todo elevado al cuadrado es igual a la suma de la derecha. Luego, sacas raíz cuadrada a ambos lados, observando que hay dos posibles soluciones, el caso positivo y el caso negativo. Por último despejas por la variable y esas son las raíces o ceros del polinomio. Como ejemplo vamos a utilizar el ejercicio. 9 de 16

10 Expresiones Fraccionales Una fracción es una expresión en la forma: Una expresión fraccional esta simplificada cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes. Por ejemplo: 10 de 16

11 Suma y Resta de Expresiones Algebraicas En suma y resta cuando los denominadores son los mismos, se suman o restan los numeradores y se mantiene el mismo denominador. Por ejemplo: Multiplicación y División de Expresiones Algebraicas Para multiplicar expresiones fraccionales, se multiplican los numeradores y se multiplican los denominadores. Por ejemplo: Para dividir se multiplica por el reciproco y luego se factoriza y se simplifica el resultado. Por ejemplo: Exponentes Enteros Reglas Básicas para Manejar los Exponentes: Regla: 11 de 16

12 Radicales Un radical es una expresión en la forma: Cada parte de un radical lleva su nombre, El índice debe ser un entero positivo. Para una raíz cuadrada, el índice 2 es usualmente omitido. Propiedades de los Radicales 12 de 16

13 Fracciones Parciales Definición: Se llama función racional a toda función del tipo En donde y son polinomios con coeficientes reales, y grado Cómo descomponer una función racional en fracciones parciales? Veamos los siguientes casos: CASO 1: Factores Lineales Distintos. A cada factor lineal, ax+b, del denominador de una fracción racional propia (que el denominador se puede descomponer), le corresponde una fracción de la forma a determinar., siendo A una constante luego nos queda la siguiente igualdad o también lo podemos escribir 1 = ( A + B )x + 2A - 2B Haciendo un Sistema. 13 de 16

14 A + B = 0 2A - 2B = 1, las soluciones son : Quedando de esta manera: con lo cual CASO 2: Factores Lineales Iguales. A cada factor lineal, ax+b, que figure n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma EJEMPLO: Calculemos la siguiente integral Pero: Tendremos Amplificando por Las Soluciones son: Nos queda: CASO 3: Factores Cuadráticos Distintos. A cada factor cuadrático reducible, que figure en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una fracción de la forma determinar. siendo A y B constantes a Calcular: 14 de 16

15 Con lo que se obtiene de donde luego los valores a encontrar son. A = 0, B = 1, C = 1, D = 0 CASO 4: Factores cuadráticos Iguales A cada factor cuadrático irreducible, que se repita n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma siendo los valores de A y B constantes reales. Calcular la siguiente integral tendremos que por tanto multiplicando a ambos lados de la igualdad por el minimo común denominador tenemos Donde los valores de las constantes son A = 0, B = 2, C = 0, D = 1 De donde remplazando e integrando a primitivas se obtiene. Triángulo de Pascal Triángulo de Pascal o de Tartaglia El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico cuyas diez primeras líneas han sido representadas en la figura: 15 de 16

16 Se construye de la siguiente manera: Se empieza por el «1» de la cumbre. De una línea a la siguiente se conviene escribir los números con un desfase de media casilla. Así, las casillas (que no se dibujan) tendrán cada una dos casillas justo encima, en la línea anterior. El valor que se escribe en una casilla es la suma de los valores de las dos casillas encima de ella. El valor cero no se escribe. Por ejemplo, en la última línea dibujada, el cuarto valor es 84 = , suma del tercer y cuarto valor de la línea anterior. Se observa, y no es difícil demostrarlo, que la capa exterior está formada de unos, la segunda capa de los naturales en orden creciente, que los números no hacen más que subir de una línea a la siguiente y que existe un eje de simetría vertical que pasa por el vértice. Sin embargo, el interés de este triángulo no radica en estas propiedades, sino en el vínculo que tiene con la álgebra elemental. En efecto, las cifras 1; 2; 1 y 1; 3; 3; 1 recuerdan las identidades: y pues son los coeficientes de sus monomios. Este parecido no es casual y se generaliza a cualquier potencia del binomio 'a + b Vínculo entre el triángulo de Pascal y el binomio de Newton La fórmula que da el desarrollo de (a + b) n según las potencias crecientes de a (y decrecientes de b) se llama binomio de Newton. En esta expresión, lo único que se desconoce son los coeficientes de los monomios a k b n k. 16 de 16