F. Javier Gil Chica 2010

Transcripción

1 lp Manual de usuario y notas de implementación F. Javier Gil Chica 2010 Parte I Fundamentos teóricos 1. Qué es lp lp es un pequeño programa que evalúa la validez de un argumento. Un argumento consta de una serie de premisas y una conclusión. Si la conclusión se sigue necesariamente de las premisas, entonces el argumento es válido. En caso contrario, no. Puede demostrarse que un conjunto de premisas, junto con la conclusión, se expresa mediante una fórmula que puede evaluarse. Del resultado de esta evaluación se sigue la validad o invalidez del argumento. El usuario introduce la fórmula desde la línea de órdenes y el programa ofrece el resultado. 2. Resumen de lógica de proposiciones En esta sección se hace un resumen de la lógica de proposiciones. El resumen toma como referencia el texto de Hardgree, que puede encontrarse en la red. En cualquier caso, existen multitud de otros textos disponibles, que se recogen en la bibliografía, al final de este documento. Este resumen está pensado como refresco rápido de conceptos que ya se estudiaron, no como texto alternativo. El lector puesto al día puede ir directamente a la parte segunda. 1

2 2.1. Conceptos preliminares La Lógica es la ciencia del razonamiento. No se entiende aquí razonamiento por los mecanismos neurofisiológicos involucrados en el acto de razonar, sino por el razonamiento en sí mismo, y más concretamente, en cuanto a que sea correcto o no. La Lógica no es una ciencia empírica, sino especulativa. Se razona mediante el lenguaje, de manera que la formalización del razonamiento que hace la ciencia de la Lógica ha de ser una formalización del lenguaje. Pero el lenguaje humano es extremadamente complejo. Por tanto, esa formalización se deberá reducir a un subconjunto del lenguaje. En una primera restricción se consideran sólo sentencias declarativas, que se definen como aquellas que pueden ser verdaderas o falsas. Sentencias que contengan interrogaciones o exclamaciones no son consideradas. En una segunda restricción, se consideran sentencias declarativas formadas a partir de unas pocas palabras del lenguaje común. Cuando se razona, se pasa de unas verdades a otras. Definiremos un razonamiento como un conjunto de sentencias declarativas, de las cuales una de ellas se llama conclusión y las otras premisas. El razonamiento, que en este contexto se llama inferencia, es el paso de las premisas a la conclusión. Hay que distinguir entre razonamientos inductivos y razonamientos deductivos. Los primeros establecen la verosimilitud de la conclusión, dadas las premisas. En los segundos la conclusión se ha de seguir necesariamente de las premisas. Las ciencias empíricas razonan inductivamente. La Lógica trata de los razonamientos deductivos. Un argumento tiene una forma y un contenido. La forma es la estructura de las sentencias: cómo están hechas las sentencias, cuales son las premisas y cual la conclusión. El contenido es la materia sobre la cual se expresan las premisas y la conclusión. Un razonamiento puede ser verdadero o falso por su contenido, y verdadero o falso por su forma. Como también puede suceder que en razón de su contenido una sentencia no pueda decidirse si es verdadera o falsa (ej. Todos los cerpillos tienen cabeza cuadrada qué es un cerpillo? De existir es verdad que tienen todos la cabeza cuadrada?) daremos la siguiente definición: un argumento es válido si la conclusión se sigue necesariamente de las premisas. Pues bien, el principio fundamental de la lógica establece que la validez de un argumento depende únicamente de su forma Silogismos La lógica silogística es un subconjunto de la lógica donde el número de premisas es exactamente dos. A su vez, las sentencias de un silogismo conectan elementos lingïsticos (nombres, verbos, adjetivos) mediante un reducido 2

3 subconjunto del lenguaje ordinario, a saber: {uno, algunos, todos, ninguno, es, no es}. Debido a su modesto alcance, los silogismos válidos pueden enumerarse completamente, ya que son limitados. La silogística fue inventada por Aristóteles, y perfeccionada durante la Edad Media. Podemos escribir algunos silogismos, y ver que todos comparten la misma forma: Todos los hombres son mamíferos Algunos hombres no tienen pelo / Algunos mamíferos no tienen pelo Todos los isleños son marineros Algunos isleños no tienen aparejos / Algunos marineros no tienen aparejos etc. Se ve que ambos silogismos tienen la misma estructura: Todos los X son Y Algunos X no tienen Z / Algunos Y no tienen Z Por tanto, si este último silogismo es válido, serán válidos todos los silogismos que tengan la misma forma. Son silogismos válidos, como se puede comprobar fácilmente, los siguientes Todo X es Y Todo Y es Z / Todo X es Z Todo X es Y Algún X es Z / Algún Y es Z Todo X es Z Ningún Y es Z / Ningún X es Y Ningún X es Y Algún Y es Z / Algún Z no es X Los símbolos {X,Y,Z...} representan clases. 3

4 2.3. Lógica de proposiciones El nivel siguiente a la lógica silogística es la lógica de proposiciones. La lógica de proposiciones se ocupa de sentencias declarativas que, conectadas por elementos lingüísticos determinados, forman nuevas sentencias declarativas: es decir, aptas para clasificarse en verdaderas o falsas. Por ejemplo, dos sentencias son La nieve es blanca y El cielo es azul, y otra sentencia, formada mediante la unión de ambas es La nieve es blanca y el cielo es azul, donde el conector es la palabra y. Puesto que una sentencia declarativa compuesta sigue siendo una sentencia declarativa, se sigue que pueden componerse sin límite sentencias más complejas a partir de otras más simples. A sentencias declarativas compuestas como la anterior se les llama abreviadamente conectivas, por la presencia de al menos un conector lingüístico. Trataremos sólo con conectivas llamadas verdaderamente funcionales. Una conectiva es verdaderamente funcional si su cualidad de verdadera o falsa depende sólo de la cualidad de verdaderas o falsas de las sentencias simples de que está compuesta. En Lógica se prefiere hablar de verdad o falsedad no desde el punto de vista cualitativo, sino cuantitativo. Para eso, basta con asignar un valor a la cualidad de verdadero y otro distinto a la cualidad de falso. Por ejemplo, 0 para verdadero y 1 para falso, o cualesquiera otros. Es costumbre representar por T el valor de una sentencia verdadera y por F el valor de una sentencia falsa Conectivas El número de conectivas usadas en lógica de proposiciones es muy reducido, y las trataremos a continuación. 1.- Conjunción. La conjunción consiste en la conexión de dos sentencias mediante el elemento lingüístico y, como en La nieve es blanca y el cielo es azul. Es costumbre en Lógica usar símbolos especiales para las conectivas y para las sentencias. La conectiva y se representa mediante & y las sentencias mediante letras mayúsculas. Una conjunción entonces se escribe en la forma R&S. Se trata de ver que & es una conectiva verdaderamente funcional, es decir, que dados los valores de verdad de R y S está dado el valor de verdad de R&S. Claramente, sólo se podrá decir que R&S es T si R es T y S es T. En cualquier otro caso, R&S es F. Puesto que R puede ser T o F y S puede ser T o F, hay cuatro combinaciones posibles, y a cada combinación le corresponderá un valor T o F para R&S. Esto se suele expresar en forma de tabla, de la siguiente forma: 4

5 & T F T T F F F F 2.- Disyunción. La disyunción se forma conectando dos sentencias mediante la partícula o, como en Hoy comemos pescado o crema de puerros. La disyunción de dos sentencias R y S se representa mediante R S. Pero la disyunción puede tener un sentido exclusivo (si R es cierto no puede serlo S, como en Vamos a la montaña o a la playa ) y un sentido inclusivo (pueden ser ciertos simultaneamente R y S, como en Hoy comemos pescado o crema de puerros ). En latín existen partículas diferentes según que el sentido de la disyunción sea inclusivo (vel) o exclusivo (aut). En Lógica se toma la disyunción en sentido inclusivo, con lo cual la tabla de verdad de la disyunción es T F T T T F T F 3.- Negación. La negación es una conectiva particular, ya que no conecta dos términos, sino que opera sobre un solo término. Sin embargo, sigue siendo verdaderamente funcional, y por eso se incluye entre las conectivas. En español se forma con la partícula no. Así, la negación de llueve es no llueve. En inglés hay más posibilidades. La tabla de verdad de la negación es trivial: T F F T 4.- Condicional. El condicional conecta dos sentencias usando no una sino dos palabras: si y entonces, como en si hace buen tiempo, entonces vamos a la montaña. Las dos sentencias reciben nombres especiales: a continuación de si va el antecedente; a continuación de entonces va el consecuente. La conectiva en sí se representa mediante el símbolo. Hay un pequeño problema de ambigüedad con el subjuntivo. Véanse por ejemplo las sentencias: si viviese en Granada, entonces estaría en Andalucía y si viviese en Salamanca, entonces estaría en Andalucía. Para un madrileño, que ni vive en Andalucía, ni en Salamanca, ni en Granada, la 5

6 primera sentencia, compuesta de dos sentencias falsas, es verdadera. Pero la segunda, compuesta por dos sentencias falsas, es falsa. Está claro por tanto que no todas las conectivas si-entonces son verdaderamente funcionales. Hay algún uso de la conectiva que sea verdaderamente funcional? Y, en ese caso, cuál es su tabla de verdad? La respuesta a la primera pregunta es sí. En el contexto de las promesas/recompensas. Por ejemplo: si los pedidos siguen creciendo entonces habrá que contratar más empleados, que expresaríamos como P E. Es razonable decir que la conectiva es falsa si, siendo el antecedente verdadero, el consecuente es falso. En cualquier otro caso, la conectiva es verdadera. Con esto, se sigue la tabla T F T T F F T T 5.- Bicondicional. El bicondicional se forma mediante el conector sí y sólo sí. Simbólicamente: R S. La mejor forma de garantizar que es verdaderamente funcional es considerándolo como combinación de conectivas funcionales anteriores. Así, R S equivaldrá a (R S)&(S R) 1. Con esta definición, calcular la tabla es trivial: 2.5. Fórmulas complejas T F T T F F F T Como una conectiva es una sentencia (conecta sentencias y el resultado es una sentencia, porque se puede decidir su valor de verdad), es claro que podemos anidar sentencias. En lugar de entrar en discusiones más formales, escribamos algunas fórmulas complejas: P & Q (P & Q) ( (P & Q) R) ((P Q) & (P & R)) 1 Atención a los paréntesis 6

7 Puesto que las conectivas se pueden ver como operadores (las tablas de verdad son equivalentes a las tablas de los operadores aritméticos, pero más sencillas), es claro que las expresiones anteriores pueden calcularse. No hará falta insistir en la necesidad de usar paréntesis cuando sea preciso. La evaluación de las expresiones anteriores se rige por los mismos principios que la evaluación de expresiones aritméticas, y puede hacerse automáticamente Tautologías, contradicciones y fórmulas contingentes Para construir la tabla de verdad de una expresión es ventajoso escribir esta expresión en notación polaca inversa (NPI), al modo en que se escribe en esta notación cualquier expresión aritmética. En NPI primero se escriben los operandos, y luego los operadores. La ventaja es que se elimina la necesidad de paréntesis, y, con ayuda de una pila, la evaluación de expresiones puede hacerse de forma trivial y en una sola pasada: es decir, cuando se quiere evaluar una expresión, el programa no necesita conocer de antemano dicha expresión, sino que reconoce sus elementos (operadores y operandos) a medida que los encuentra y lleva a cabo las operaciones precisas, de manera que, al llegar al final de la expresión, ésta está ya evaluada. Las reglas son sencillas: si se encuentra un operando, se apila; si se encuentra un operador, éste retira sus argumentos de la pila, opera, y deja en la pila el resultado. Cuando se llega al final de la expresión, el resultado se encuentra en la pila. En NPI la expresión 2+3 se escribe y la expresión (2+3)/(4+5) se escribe / 2. La tabla siguiente muestra cómo evoluciona la pila a medida que se evalúa la expresión / : / / Sobre la línea horizontal, cada columna es la pila en un momento dado. La secuencia de columnas va de izquierda a derecha. Bajo la línea horizontal cada elemento indica un operando u operador, cuyo efecto sobre la pila se refleja arriba. Pues bien, las fórmulas complejas se pueden evaluar de la misma forma. Por ejemplo, la fórmula (P & Q) R se escribe en NPI como P Q & R. Si P es T, Q es F y R es T, la pila evoluciona en la forma que recoge la tabla: 2 A los usuarios de calculadoras HP esto les resultará familiar 7

8 F - T - T T F F T T F & T El procedimiento es idéntico al de la evaluación de una expresión aritmética, y los detalles más sencillos. Porque los únicos valores admisibles son T y F y porque las tablas de verdad de las conectivas son mucho más sencillas que las tablas de sumar o multiplicar. Pues bien: la tabla de verdad de una fórmula no es más que una forma conveniente de ordenar y visualizar el resultado de una fórmula cuando se toman todas las combinaciones posibles de valores para las sentencias simples que la forman. Consideremos la fórmula (P & Q) (P & R). Contiene tres sentencias simples y cada sentencia puede tomar dos valores, luego tenemos = 2 3 = 8 combinaciones posibles. Para cada combinación, evaluaremos la fórmula. Elaboramos así la siguiente tabla de verdad para la fórmula: P Q R (P & Q) (P & R) T T T T T T F T T F T T T F F F F T T F F T F F F F T F F F F F Respecto a la última columna, que recoge el resultado de evaluar la fórmula, pueden suceder tres cosas: a) que todos los elementos sean T; b) que todos los elementos sean F y c) que haya elementos T y elementos F. Cuando ocurre a) a la fórmula se le llama tautología; cuando ocurre b), se le llama contradicción. Cuando ocurre c), la fórmula se llama contingente. Se sigue que la negación de una tautología es una contradicción, la negación de una contradicción una tautología y la negación de una fórmula contingente es una fórmula contingente. Dos conceptos derivados de los anteriores son los de implicación lógica y equivalencia lógica. Se dice que una fórmula A implica lógicamente a una fórmula B cuando A B es una tautología. Es decir, cuando A B es siempreválida.porejemplo,lasfórmulas P y (P&Q) sonlógicamente equivalentes, como se sigue de la tabla de verdad: 8

9 P Q P (P & Q) T T T T F T F T T F F T De la misma forma, dos fórmulas A y B se dicen lógicamente equivalentes cuando A B es una tautología. Estamos ya en condiciones de definir la validez de un argumento. Recordamos que un argumento es un conjunto de sentencias, de las cuales hay una a la que llamamos conclusión y al resto le llamamos premisas. Formalmente, un argumento se escribe como P;Q;R;S.../C, donde P,Q,R,... son las premisas y C es la conclusión. Pues bien, un argumento es válido si la fórmula P & Q & R &... implica lógicamente a C, es decir, si (P & Q & R & S &...) C es una tautología. Dicho informalmente, un argumento P/C es inválido si existe algún caso en que siendo ciertas las premisas la conclusión es falsa. Si existe un caso así, la implicación P C será, según la tabla para, F, luego en la última columna de la tabla de verdad aparecerá una F, luego la fórmula P C no será una tautología, luego P no implicará lógicamente a C, luego el argumento es inválido. Esto es todo lo que necesitamos para entender el manejo e implementación de lp. Parte II Manual de usuario lp es un programa que evalúa si un argumento es válido o no lo es. Para ello sigue el proceso siguiente: dado un argumento P/C, se expresa mediante la fórmula P C, se calcula su tabla de verdad y se ve si la fórmula es o no es una tautología. Si lo es, el argumento es válido. El programa acepta fórmulas (la escritura de un argumento como una fórmula es trivial) que son cadenas ascii, compuestas por las conectivas {,&,,, } y sentencias simples representadas por letras mayúsculas {A, B, C,..., Z}. Al invocar al programa, aparece el inductor? : el usuario teclea el argumento (fórmula) y pulse intro. Como resultado, se imprime en pantalla la tabla de verdad. La inspección visual de la última columna revela si el argumento es válido o no. 9

10 Puesto que las cadenas de entrada son cadenas ascii, se establece la siguiente correspondencia: conectiva ascii & & > # No hay más. La siguiente tabla recoge algunos ejemplos. La primera columna contiene un argumento; la segunda, la fórmula correspondiente: P Q;Q R/P R ((P R)&(Q R)) (P R) P Q;Q R/P&R ((P Q)&(Q R)) (P& R) P R;Q R/(P Q) R ((P R)&(Q R)) (P R) R En una segunda tabla se representan las fórmulas junto con las cadenas ascii que es preciso teclear: ((P R)&(Q R)) (P R) ((P>Q)&(Q>R))>(P>R) ((P Q)&(Q R)) (P& R) ((P>Q)&(Q>R))>(P&R) ((P R)&(Q R)) (P R) R ((P>R)&(Q>R))>((P Q)>R) Así,despuésdeteclearelprimerejemploypulsarlateclaintroseobtiene la siguiente salida:? ((P>Q)&(Q>R))>(P>R) Como puede verse, la última columna contiene sólo T (1), y por tanto la fórmula es una tautología, y por tanto el argumento es válido. Para el segundo ejemplo la salida es 10

11 ? ((P>Q)&(Q>R))>(P&R) La fórmula es contingente, por tanto el argumento no es válido. Para el tercer ejemplo:? ((P>R)&(Q>R))>((P Q)>R) luego el argumento es válido. El programa se abandona con la orden q. Parte III Notas de implementación 3. Bucle principal El sencillo bucle principal contiene los siguientes pasos 1. Presenta un inductor 2. Lee la cadena desde stdin 3. Elimina el carácter cr 4. Si la cadena comienza por q, termina 11

12 5. Traduce la entrada infija a postfija 6. Calcula el tamaño de la tabla necesario y reserva la memoria 7. Anota a qué columna corresponde cada sentencia (letra) simple 8. Rellena la tabla 9. Usa los valores de cada fila para calcular la última columna, según la fórmula de entrada 10. Imprime la tabla completa A continuación, detallo los pasos relevantes, que son del 5 al 9, inclusive. 4. Traducción de la fórmula Las fórmulas se introducen en notación infija habitual, como en los ejemplos de la página 10. La función fgets() lee la cadena de entrada del teclado y la guarda en un buffer, y a partir de él se re-construye la expresión en otro buffer, esta vez en notación postfija. En el caso del primer ejemplo de la tabla citada sería preciso generar PQ>RS>&PR>>. Para generar la expresión postfija se usa, aparte del buffer destino, un par de pilas, de acuerdo con las reglas siguientes: 1. Las sentencias (letras) van a una pila. Los paréntesis y conectivas a otra. 2. Un ) implica que todos los operadores se traspasan de arriba abajo a la salida, hasta encontrar el paréntesis de apertura. El paréntesis de apertura se elimina. Si al finalizar esta operación se encuentra todavía un, se traspasa también. 3. Al terminar la pasada a la expresión, se traspasan las conectivas que queden, de arriba abajo. 5. Tamaño de la tabla Será precisa una pasada para averiguar cuántas sentencias (letras) contiene la fórmula. Si se encuentran n sentencias, la tabla de verdad tendrá 2 n+1 elementos, incluyendo la última columna. La memoria se reserva dinámicamente. Cada valor T o F se representa con un carácter. Una optimización de momento innecesaria sería usar una tabla de bits en lugar de una tabla de caracteres. 12

13 6. Correspondencia entre letras y columnas El censo de letras distintas se hace mediante un vector de caracteres, uno para cada letra: char S[26]. Cada letra indexa una posición. Originalmente, el vector se rellena con ceros, y cada posición indexada por una letra que aparece es incrementada. Así, las posiciones distintas de cero se corresponden con letrasque aparecen.unavez hechoesto,se recorreelvector. Ala primera posición distinta de cero se le asigna el valor 0, a la segunda posición distinta de cero el valor 1, a la enésima posición distinta de cero el valor n 1. Estos valores indican la columna en la tabla de verdad que corresponde a cada letra. 7. Relleno de la tabla Paranletraslatablatiene2 n filas.laideaesquelaprimeracolumnacontiene 2 n 1 T seguidos y el mismo número de F a continuación. En la segunda columna aparecen 2 n 2 T, el mismo número de F, y luego nuevamente T s y F s. En cada columna, se reduce a la mitad respecto a la anterior el tamaño de las series, y se duplica el número de series. La función rellena tabla() es obvia. 8. Calcular cada fila El último paso consiste en calcular para cada fila su valor, y añadirlo a la última columna. La expresión, trasladada a postfijo, contiene sólo letras y conectivas. Una letra indexa a S[26], y en la posición correspondiente se encuentra el número de columna. Se toma el valor y se apila. Los operadores simplemente toman sus operandos, que, pudiendo tener sólo los valores T y F, indexan una tabla donde se encuentra el resultado. Por ejemplo, para la conectiva & char MA[2][2]={{0,0}, {0,1}}; Así, si los dos últimos elementos de la pila son T y T (1 y 1), el valor T&T no es otro que MA[1][1]. Finalmente, la tabla puede imprimirse. 13

14 9. Última consideración El programa tiene una captura elemental de errores (es un ejercicio solamente). Si la expresión se introdujo correctamente, el resultado será correcto. Si no, el resultado no está determinado. Parte IV Bibliografía 1. Hardgree, Symbolic logic 2. Kent A. Peacock, Basic symbolic logic 3. Holly P. Hirst y Jeffry L. Hirst, A primer for Logic and Proof Otros muchos documentos pueden encontrarse en la red. Estos son los que me parecen mejores. 14