CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0700. (1) Considere la función h : R R definida por. h(x) = x2 3

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1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0700 (1) Considere la función h : R R definida por h() = 3 3 Halle el dominio y las raíces de la función Las asíntotas verticales y las horizontales Los puntos críticos Los intervalos de concavidad Haga un bosquejo de esa función () Una lámpara proyectora situada sobre el piso ilumina una pared que está a 1 m de distancia Si un hombre de m de alto camina desde la lámpara hacia la pared a una velocidad de 16 m/s con qué rapidez decrece su sombra proyectada sobre la pared cuando se encuentra a 4 m de ésta? (3) Un recipiente rectangular para almacenamiento, con la parte superior abierta, debe tener un volumen de 1 m 3 El largo de su base es el triple de su ancho El material para la base cuesta $10000 por metro cuadrado El material para los costados cuesta $6000 por metro cuadrado Encuentre el costo de los materiales para tener el más barato de esos recipientes (4) Considere la siguiente gráfica de la función f f() Determine: (a) Los puntos donde la derivada no eiste (b) Los puntos donde f () =0 (c) Los intervalos donde f > 0 (d) Los intervalos donde f < 0 (e) Los intervalos donde f > 0 (f) Los intervalos donde f < 0 canekazcuamm: / 3/ 006 1

2 TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0700 Respuestas (A) (1) Considere la función h : R R definida por h() = 3 3 Halle el dominio y las raíces de la función Las asíntotas verticales y las horizontales Los puntos críticos Los intervalos de concavidad Haga un bosquejo de esa función El dominio de la función: D h = R {0 } Las raíces de la función son aquellos valores que hacen cero el numerador (y no hacen cero el denominador), entonces 3=0 =3 = 3 = 3 o bien = 3 Asíntotas verticales: ceros del denominador que no son ceros del numerador En este caso se ve claramente que la única asíntota vertical es = 0 y que lím f() = ±0 Asíntotas horizontales Para esto calculamos ( lím h() = lím 3 1 = lím ± ± 3 ± 3 ) =0 3 Entonces la única asíntota horizontal es y = 0 Calculamos la derivada de la función h () = 3 () ( 3)(3 ) = [() ( 3)(3)] = 6 6 = h () = +9 4 Para encontrar los puntos críticos, igualamos a cero la primera derivada: h () =0 +9=0 =9 =3 = 3 o bien = 3 Puesto que en = 0 hay una asíntota vertical, consideramos como intervalos de prueba para el signo de la primera derivada a (, 3), ( 3, 0), (0, 3) y (3, ) Sólo consideramos el numerador, pues el denominador de la primera derivada siempre es positivo Así = 4 +9= ( 4) +9< 0 h ( 4) < 0 h () < 0si (, 3) ; = +9= ( ) +9> 0 h ( ) > 0 h () > 0 para ( 3, 0) ; = +9= () +9> 0 h () > 0 h () > 0 con (0, 3) ; =4 +9= (4) +9< 0 h (4) < 0 h () < 0si (3, + ) Pues h () es continua en tales intervalos Concluimos entonces que: La función h() es creciente en ( 3, 0) y en (0, 3) La función h() decreciente en (, 3) y en (3, + ) Para = 3 hay un mínimo, h( 3) = = 0, pues ahí la función pasa de ser decreciente a ser 9 creciente y para = 3 hay un máimo, h(3) = 0, pues ahí, por lo contrario, pasa de ser creciente a ser decreciente

3 TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E Calculamos ahora la segunda derivada de la función, a partir de (A) ( ) 9 h () = = 4 3 (9 ) = 4 8 = = ( 18) 8 Si >0, el signo de la derivada nos lo da 18, luego entonces: Para >0: h () > 0 18 = ( +3 )( 3 ) > 0 +3 > 0 y 3 > 0 o bien +3 < 0 y 3 < 0; > 3 y >3 o bien < 3 y <3 ; ( 3, + ) o bien (, 3 ) Entonces, si >0: h() es cóncava hacia arriba si ( 3, + ) h() es cóncava hacia abajo si ( 0, 3 ) Por complemento Como h() es impar concluimos que: h() es cóncava hacia arriba si ( 3, 0 ) ( 3, + ) h() es cóncava hacia abajo si (, 3 ) ( 0, 3 ) ( 3, ) ( Luego los puntos 18 ( 44, 01964) y 3 ), 18 son de infleión Con todos estos datos, podemos hacer el bosquejo de la gráfica de la función h(): f()

4 4 TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0700 () Una lámpara proyectora situada sobre el piso ilumina una pared que está a 1 m de distancia Si un hombre de m de alto camina desde la lámpara hacia la pared a una velocidad de 16 m/s con qué rapidez decrece su sombra proyectada sobre la pared cuando se encuentra a 4 m de ésta? Veamos la figura A, en el momento que el hombre se encuentra a 4 m de la pared: 8 4 Y la figura B, en un momento cualquiera: Figura A y 1 y Figura B De esta última figura B se tiene la relación: 1 = y =4 y Derivando esta igualdad con respecto al tiempo t, nótese que tenemos (t) & y(t) y + y =0 = y y En el momento de la figura A tenemos los valores: y =16 m/s, y =8m & = 4 8 =3m Por lo tanto, en ese momento, su sombra decrece con una rapidez igual a = 3 16 = 3 8 m/s (3) Un recipiente rectangular para almacenamiento, con la parte superior abierta, debe tener un volumen de 1 m 3 El largo de su base es el triple de su ancho El material para la base cuesta $10000 por metro cuadrado El material para los costados cuesta $6000 por metro cuadrado Encuentre el costo de los materiales para tener el más barato de esos recipientes Usamos la siguiente figura

5 TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0700 h h 3 El volumen del recipiente viene dado por V =()(3)(h) =3 h = 1; A base =3, costo C base () = 300 ; A laterales =h + 3h =8h Costo del material para las caras laterales: Costo total: C laterales =8h 60 = 480h C T = h Como esta función es de dos variables,, h, despejamos de la fórmula del volumen una de ellas, digamos h: h = 1 3 = 4 Y sustituyendo este valor en la epresión para el costo total, tendremos una función de una sola variable, que es la que queremos minimizar C T () = = Derivando, obtenemos: C T () = Y el punto crítico será cuando =0 3 = = = 3 = 3 ( ) Luego 3 =6 3 así como h = 4 3 ( ) = son las dimensiones del recipiente que hace que el costo 3 4 de los materiales para fabricarlo sea mínimo, pues C T () = > 0 para = 3 3 (4) Considere la siguiente gráfica de la función f():

6 6 TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0700 f() Determine: (a) Los puntos donde la derivada no eiste = 3 & = (b) Los puntos donde f () =0 =0& =3 (c) Los intervalos donde f > 0 (0, ) & (, 3) (d) Los intervalos donde f < 0 (, 3), ( 3, 0) y (3, + ) (e) Los intervalos donde f > 0 ( 3, ) (f) Los intervalos donde f < 0 (, 3) y (, + )