EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES

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1 EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) b) ln f( ) c) 5 si < f( ) 5 si Solución a) La función f( ) es derivable en su dominio, D (-, + ), por ser un polinomio y su derivada es f ( ) +. Para determinar el crecimiento y decrecimiento de f, se estudia el signo de f ( ) que en este caso es siempre positivo, por tanto, f es estrictamente creciente en (-, + ) y no tiene máimos ni mínimos relativos. ln b) La función f( ) es derivable en su dominio, D (, + ), y su derivada es: ln ln ( ) f. El signo de f ( ) depende del signo de su numerador ya que el denominador es siempre positivo. El signo de ln cambia en los puntos que lo anulan: ln ln e Se divide el dominio en los dos intervalos determinados por cada uno de ellos, obteniéndose: e y se estudia el signo de f ( ) en En (, e), se verifica ln <, por tanto f ( ) >, y por ello f es estrictamente creciente. En (e, + ), se verifica ln >, por tanto f ( ) <, y por ello f es estrictamente decreciente. De lo anterior se deduce que en e la función cambia de estrictamente creciente a estrictamente decreciente, por tanto, f tiene un máimo relativo estricto en dicho punto. 5 si < c) Como la función f( ) está definida a trozos, su estudio se realiza por 5 si separado en cada uno de los intervalos en los que tiene distinta definición: En (-, ), f ( ) -5 <, luego f es estrictamente decreciente. En (, + ), f ( ) 6 >, luego f es estrictamente creciente. En, la función cambia de estrictamente decreciente a estrictamente creciente, como además f es continua en ( ) f ( ) 5, ( ) f( ) 5 y f () -, se deduce que f tiene un mínimo relativo en dicho punto. Proyecto de innovación ARAGÓN TRES

2 . Hallar, si eisten, las asíntotas de la función f( ) e Solución Asíntotas verticales El único punto en el que la función no está definida es, por tanto es punto de discontinuidad de f y candidato a determinar una asíntota vertical. Para comprobarlo se calculan los límites laterales cuando tiende a. f( ) e + e + e ( ) + e como sigue: e + + e e e e + (L'Hôpital) + + f ( ) e e e., para resolver esta indeterminación se procede Por tanto, se concluye que la recta es asíntota vertical de f por la derecha y no lo es por la izquierda. Asíntotas horizontales Cuando tiende a + : asíntota horizontal en esta dirección. Cuando tiende a - : asíntota horizontal en esta dirección. Asíntotas oblicuas f( ) e e + e , luego, no eiste f( ) e e e, luego, tampoco eiste Son de la forma y m + n y al no haberse obtenido asíntotas horizontales ni cuando tiende a + ni cuando tiende a -, las asíntotas oblicuas se han de buscar en ambas direcciones. f( ) e e e + e n ( f( ) m) ( e ) ( e ) + e (L'Hôpital) e e + e + e + f( ) e m e e e Cuando tiende a + : m Cuando tiende a - : Proyecto de innovación ARAGÓN TRES

3 n ( f( ) m) ( e ) ( e ) e e e e e. (L'Hôpital) Por tanto, la recta y + es asíntota oblicua de f cuando + y cuando.. Dada la función + f( ) ln, determinar: a) el dominio de definición b) el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos c) la concavidad, la conveidad y los puntos de infleión Solución + a) La función f( ) ln es composición de una función logarítmica y una racional, por tanto, para calcular su dominio hay que tener en cuenta que las dos estén definidas. + El logaritmo neperiano sólo se puede hallar si >. Luego hay que considerar dos casos: + > y > > y > (, + ) + < y < < y < (-, -) Además, para que no se anule el denominador de la fracción ha de ser. Por tanto, D (-, -) (, + ). b) Para estudiar el crecimiento, decrecimiento y etremos relativos se halla f ( ) quedando f ( ) ( + ) ( ) + ( + )( ) En la siguiente tabla se estudia el signo de f ( ) en D (-, -) (, + ): Signo (-, -) (, + ) f ( ) ( + )( ) - - f( ) Proyecto de innovación ARAGÓN TRES

4 Por tanto, f es estrictamente decreciente en (-, -) (, + ) y no tiene máimos ni mínimos relativos. c) Para estudiar la concavidad, la conveidad y los puntos de infleión se halla f ( ) derivando en f ( ) 6 6, obteniéndose f ( ). ( + )( ) 9 ( 9) El signo de f ( ) en D depende únicamente del signo de, ya que su denominador es siempre positivo, así: En (-, -), f ( ) <, luego f es estrictamente cóncava. En (, + ), f ( ) >, luego f es estrictamente convea. Por tanto, la función no tiene puntos de infleión ya que no eiste ningún punto en el que cambie la concavidad-conveidad estricta de la función. 4. Dada la función 4 f ( ) a + 4a + 6a + b + 4a + b + a, calcular los valores de los parámetros a y b para que en - tenga un punto de infleión y para que su gráfica pase por el punto,. Solución Para que - sea un punto de infleión de f es necesario que f ( ). Derivando se obtiene: f ( ) 4a + a + a + b + 4a + f ( ) a + 4a + a + f ( ) a( ) + 4 a( ) + a+ a+ a 6 Para comprobar si f tiene en - un punto de infleión veamos si f ( ). Derivando se obtiene: f ( ) 4a + 4a f ( ) 4 a( ) + 4a 4a sustituyendo a queda 6 Si la gráfica de f pasa por el punto f ( ) Por tanto, - es punto de infleión de f., se verifica f (), es decir: f() b 4 + b b b 5. Dada la función 8 si f( ) si > a a) Calcular los valores del parámetro a para los que f() es continua en. b) Para a estudiar el crecimiento, decrecimiento y etremos relativos de la función. c) Para a 5 estudiar las asíntotas y ramas parabólicas de la función. Proyecto de innovación ARAGÓN TRES 4

5 Solución a) Para que f() sea continua en se tiene que verificar f( ) a a Igualando queda, f ( ) f( ) f( ) f() + ( ) , f () y despejando se tiene a 6 a 5 b) Para a, la función a estudiar es La derivada de esta función es 8 si f( ) si > < si f ( ) si > 6 ya que no es continua puesto que a 5 Los puntos críticos se calculan a continuación: y en la función no es derivable f ( ) ( ) ( + )( ) y - Además también es punto crítico ya que la función no es derivable en él. Se estudia el signo de la derivada en los siguientes casos: En (-, -), f ( ) ( + )( ) >, luego f es estrictamente creciente. En (-, ), f ( ) ( + )( ) <, luego f es estrictamente decreciente. En (, ), f ( ) ( + )( ) >, luego f es estrictamente creciente. En (, + ), f ( ) >, luego f es estrictamente creciente. En el punto -, la función cambia de estrictamente creciente a estrictamente decreciente por lo tanto en - hay un máimo relativo de f y en, la función cambia de estrictamente decreciente a estrictamente creciente por lo tanto, en hay un mínimo relativo de f. c) Para a 5 la función queda 8 si f( ) si > 5 Para hallar las asíntotas verticales se estudian los límites laterales en el punto 5 ya que es el único que anula el denominador quedando: f( ) f ( ) Por tanto, la recta 5 es asíntota vertical de f por la derecha y por la izquierda. Para hallar las asíntotas horizontales, oblicuas y ramas parabólicas hay que estudiar los límites en las dos direcciones, + y : f( ) la recta y es asíntota horizontal cuando + Proyecto de innovación ARAGÓN TRES 5

6 ( ) ( ) 8 f la función no tiene asíntota horizontal cuando f( ) 8 + la función tiene una rama parabólica de eje horizontal cuando 6. Estudiar y representar gráficamente las siguientes funciones: a) ( ) f e b) Solución f( ) + + c) f( ) ln + a) Para estudiar la función e se realizan los siguientes pasos: f( ) ) La función no está definida para ya que anula el denominador de su eponente, por tanto, D R- {}. ) f() es continua en D por ser composición de dos funciones continuas ya que una es una función eponencial y la otra una función racional con denominador no nulo y es discontinua en ya que D. Además, f() es derivable en D y su derivada es f '( ) e y no es derivable en ya que no es continua. ) Para estudiar si la gráfica de f() es simétrica se halla f( ) e. Al no coincidir con f() ni con -f(), se concluye que no es simétrica ni respecto del eje OY ni respecto del origen. 4) La periodicidad de la función en este caso no es necesario estudiarla ya que no es trigonométrica. 5) Cortes con los ejes: Con OY, no eiste ya que D Con OX, no eiste ya que f( ) e para cualquier valor de 6) Crecimiento, decrecimiento y etremos relativos. Teniendo en cuenta que f '( ) e es negativa en D, se tiene que f es estrictamente decreciente para cualquier valor de D y no tiene etremos relativos. 7) Concavidad, conveidad y puntos de infleión. Derivando f '( ) e se calcula f ''( ) y se estudia su signo de la forma que sigue: Proyecto de innovación ARAGÓN TRES 6

7 e + e ( ) ''( ) e + f y f ''( ) si +, es decir, si 4 4 En la siguiente tabla se estudia el signo de f ''( ) en los intervalos determinados por y : Signo,, (, + ) + - f ''( ) - f( ) La función es estrictamente cóncava en, y estrictamente convea en, y en (, + ). Como en el punto cambia la concavidad-conveidad estricta de f( ) y f e e se deduce que el punto, e e es un punto de infleión. 8) Asíntotas. Para estudiar la eistencia de asíntotas verticales se calculan los límites laterales en el punto ya que es el único punto de discontinuidad: e e e + + e e e e + + Por tanto la recta es asíntota vertical de la función por la derecha y por la izquierda. Para analizar la eistencia de asíntotas horizontales se calculan los siguientes límites: + e e e + e e e Por lo tanto, la recta y es asíntota horizontal de f cuando + y cuando. Teniendo en cuenta el estudio realizado, la gráfica de la función f( ) e es: Proyecto de innovación ARAGÓN TRES 7

8 b) Para estudiar la función f( ) + + se realizan los siguientes pasos: ) D R - {-} ) f() es continua y derivable en D por ser cociente de polinomios con denominador no nulo. f() es discontinua en -, ya que la función no está definida en este punto, y por tanto, no es derivable en él. ( ) ( ) ) Para estudiar si la gráfica de f() es simétrica se halla f( ). Al + + no coincidir con f( ) ni con - f( ), se concluye que no es simétrica ni respecto del eje OY ni respecto del origen. 4) Cortes con los ejes: Con OY, f () + ± Con OX, y f( ) + + tiene soluciones reales Luego el único punto de corte es,. 5) Crecimiento, decrecimiento y etremos relativos. que no Se calcula ( )( + ) ( + ) f '( ) ( + ) ( + ) ( + ) 4 ± ± 6 5 Resolviendo + 4 5, queda y por tanto, la derivada se ( + 5)( ) puede escribir como f '( ) ( + ) En la tabla siguiente se estudia el signo de f '( ) en los intervalos determinados por los puntos -5, -, que son los que anulan al denominador o numerador de f '( ). Signo (-, -5) (-5, -) (-, ) (, + ) ( + ) ( + 5)( ) f '( ) ( + ) f( ) La función es estrictamente creciente en (-, -5) y en (, + ) y estrictamente decreciente en (-5, -) y en (-, ). Proyecto de innovación ARAGÓN TRES 8

9 En -5 hay un cambio de crecimiento a decrecimiento, luego se alcanza en este punto un máimo relativo. Para representarlo se calcula f ( 5), por lo tanto, el punto máimo es ( ) 5,. En hay un cambio de decrecimiento a crecimiento, luego se alcanza en este punto un mínimo relativo. Para representarlo se calcula (),. 6) Concavidad, conveidad y puntos de infleión. f, por lo tanto, el punto mínimo es ( ) Derivando en f '( ) ( + ) se obtiene f ''( ) : ( + 4)( + ) ( + 4 5)( + ) ( + 4)( + ) ( + 4 5) f ''( ) 4 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Para estudiar el signo de f ''( ), como su numerador es positivo basta hacerlo en los intervalos determinados por -, único valor que anula su denominador: En (-, -), f ''( ) < la función es estrictamente cóncava. En (-, + ), f ''( ) > la función es estrictamente convea. Notar que en el punto - cambia la concavidad-conveidad estricta de f, pero no es un punto de infleión ya que no pertenece al dominio de definición. 7) Asíntotas. Para estudiar la eistencia de asíntotas verticales se calculan los límites laterales en - ya que - es el único punto de discontinuidad de f: ( ) + + ( ) + Por tanto la recta - es asíntota vertical de la función por la derecha y por la izquierda. Para analizar la eistencia de asíntotas horizontales se calculan los siguientes límites: Por lo tanto, no hay asíntotas horizontales pudiendo eistir asíntotas oblicuas o ramas parabólicas, que se estudian hallando los siguientes límites: + f( ) + + m ( + ) n ( f( ) m) Por tanto, la recta y es asíntota oblicua de f cuando + f( ) + + m ( + ) +. Proyecto de innovación ARAGÓN TRES 9

10 + + + n ( f( ) m) Por tanto, la recta y es asíntota oblicua de f cuando. No hay ramas parabólicas ya que eisten asíntotas oblicuas. Se pueden calcular los puntos de corte de f( ) y la asíntota y resolviendo la ecuación: + de la siguiente manera: Como la ecuación anterior no tiene solución, se concluye que la gráfica no corta a la asíntota oblicua. 8) Por último podemos construir la siguiente tabla de puntos relevantes obtenidos en los apartados anteriores: f( ) -5 - Teniendo en cuenta el estudio realizado, la gráfica de la función f( ) + + es: y - -5 y - - Proyecto de innovación ARAGÓN TRES

11 c) Para estudiar la función f( ) ln se realizan los siguientes pasos: + ) Para hallar el dominio hay que tener en cuenta que el logaritmo neperiano sólo está definido si >, para resolver esta inecuación se consideran los siguientes casos: + - si > y + > > y > - (, + ) - si < y + < < y < - (-, -) Por tanto, D (-, -) (, + ). ) f() es continua y derivable en D por ser composición de funciones continuas y derivables. ) Para estudiar si la gráfica de f() es simétrica se halla f( ) ln. Al no coincidir con + f( ) ni con - f( ), se concluye que no es simétrica ni respecto del eje OY ni respecto del origen. 4) Cortes con los ejes: Con OY, no eisten ya que D Con OX, y f( ) ln + + +, ecuación que no tiene solución + + Luego no eisten puntos de corte con los ejes. 5) Crecimiento, decrecimiento y etremos relativos. Se calcula f '( ) ( + ) ( + ) + Para estudiar su signo sólo hay que considerar los intervalos dados por los puntos -, que son los que anulan el denominador puesto que el numerador no se anula. En la tabla siguiente se estudia el signo de f '( ): f '( ) Signo (-, -) (, + ) ( + ) f( ) La función es estrictamente creciente en D, por lo tanto no tiene máimos ni mínimos relativos. 6) Concavidad, conveidad y puntos de infleión. Escribiendo f '( ) y derivando se calcula + f ''( ) ( + ) ( + ) Proyecto de innovación ARAGÓN TRES

12 Como f ''( ) se anula si - -, es decir, si es positivo en D, se tiene : que no pertenece a D, y su denominador En (-, -), f ''( ) > la función es estrictamente convea. En (, + ), f ''( ) < la función es estrictamente cóncava. Como no eiste ningún punto en el que f cambie su concavidad-conveidad estricta, se deduce que f no tiene puntos de infleión. 7) Asíntotas. Para estudiar la eistencia de asíntotas verticales, como f sólo está definida a la izquierda de - y a la derecha de, se calculan los siguientes límites laterales: f( ) ln ln ln ln ( ) + + ( ) ( ) ( ) f( ) ln ln ln ln Por tanto la recta - es asíntota vertical de la función por la izquierda. Por tanto la recta es asíntota vertical de la función por la derecha. Para analizar la eistencia de asíntotas horizontales se calculan los siguientes límites: f( ) ln ln ln f( ) ln ln ln + + Por tanto, la recta y es asíntota horizontal de f cuando + y cuando. + Teniendo en cuenta el estudio realizado, la gráfica de la función f( ) ln + y es: - Proyecto de innovación ARAGÓN TRES