Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad

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1 Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad.- Dada la parábola y 4, se considera el triángulo rectángulo T( r ) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa r. a) Hallar r para que T( r ) tenga área mínima b) Calcular el área de la región limitada por la parábola, su tangente en el punto de abscisa =, y el eje vertical..- Se considera la función f ( ) e. a) Estudia y representar gráficamente la función f. b) Sabiendo que el área de la región limitada por la gráfica de f y el eje OX entre = y =p (p>) vale, calcular el valor de p. 9.- Se considera la función f( ) n si m si. Se pide: a) Determina m y n para que se cumplan las hipótesis del Teorema del valor medio en el intervalo 4, b) Halla los puntos del intervalo cuya eistencia garantiza dicho teorema 4.- Se considera la función si f( ) e si Contestar razonadamente a las siguientes preguntas: a) Es continua en =? b) Es derivable en =? c) Alcanza algún etremo? 5.- Se considera el triángulo isósceles cuya base (lado desigual) mide cm y cuya altura mide 6 cm. En él se inscribe un rectángulo, cuya base está situada sobre la base del triángulo. a) Epresa el área A de dicho rectángulo en función de la longitud de su base b) Escribe el dominio de la función A() y dibuja su gráfica c) Halla el valor máimo de dicha función 6.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada cuya capacidad sea de 8 dm. Averigua las dimensiones de la caja para que la superficie eterior sea mínima. Dpto. Matemáticas IES Juan Gris Página -

2 7.- a) Comprueba que lim ln( ) ln( ) b) Calcula lim ln( ) ln( ) (Sol: ) sen si 8.- Sea la función f( ) k si a) Hay algún valor de k para el cual f() sea continua en =? b) Hay algún valor de k para el cual f() sea derivable en =? c) Determinar sus asíntotas 9.- Se consideran las curvas y e y a, donde a es un número real comprendido entre y ( a ). Ambas curvas se cortan en el punto (, y ) con abscisa positiva. Halla a sabiendo que el área encerrada entre ambas curvas desde hasta es igual a la encerrada entre ellas desde hasta.- De una función f( ) derivable que pasa por el punto A(, 4) y que su derivada es a) Halla la epresión de f() si f '( ) si b) Obtener la ecuación de la recta tangente a f() en =.- Sea la función f ( ) sen a) Determinar si tiene asíntotas de algún tipo b) Estudiar su monotonía y la eistencia de etremos relativos.- Dados tres números reales cualesquiera r, r, y r, halla el número real que minimiza la función D( ) r r r 4.- Sea la función f ( ) 4 6 a) Determina los puntos de corte de su gráfica con los ejes y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Esboza la gráfica de la función. c) Calcula el área determinada por la gráfica de f, el eje horizontal y las recta y Dpto. Matemáticas IES Juan Gris Página -

3 4.- Se considera la función f( ) 4 a) Indica el dominio de de definición de la función f y halla sus asíntotas b) Halla los etremos relativos de la función f y sus intervalos de concavidad y conveidad c) Dibuja la gráfica de f y halla su máimo y su mínimo absolutos en el intervalo, 5.- a) Halla el valor de la integral definida e d e b) Calcula la integral indefinida de la función e mediante un cambio de variable 6.- Se consideran las funciones f ( ) y g( ) a b. a) Calcula a y b para que las gráficas de f y g sean tangentes en el punto de abscisa = b) Para los valores de a y b calculados en el apartado anterior, dibuja las gráficas de ambas funciones y halla la ecuación de la tangente común c) Para los mismos valores de a y b, halla el área limitada por las gráficas de ambas funciones y el eje vertical 7.- Sea la función ft () t e a) Calcular f () t dt b) Se define la función g( ) f ( t) dt. Calcula lim g ( ) 8.- Sea P() un polinomio de grado 4 tal que: Se pide: i) P() es una función par ii) Dos de sus raíces son, 5. iii) P() 5 a) Halla sus puntos de infleión b) Dibuja su gráfica Dpto. Matemáticas IES Juan Gris Página -

4 9.- Se considera la función real de variable real definida por f( ), b>. Calcula el valor de la b constante b para el cual es máima la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto = sen( ) 4.- Calcula la integral definida d sen( ) Indicación: Eisten varias posibilidades para calcular esa integral. Una de ellas es efectuar el cambio de variable u=tg sen.- Se considera la función f definida por f ( ),. Calcula el valor que ha de asignarse a f() para que la función sea continua en el origen.- Calcula el siguiente límite: lim (Sol: ½).- Calcula F () y simplifica el resultado, siendo arcsen sent F( ) e dt, 4.- Se considera el triángulo rectángulo en el primer cuadrante, determinado por los ejes coordenados y una recta que pasa por el punto (,). Determina los vértices del triángulo cuya hipotenusa tiene longitud mínima 5.- Sea f ( ) a b c d un polinomio que cumple f()=, f ()=, y tiene dos etremos relativos para = y =. a) Determina a, b, c y d b) Son máimos o mínimos los etremos relativos? (Junio ) 6.- Sean las funciones f ( ) y g( ). Determina el área encerrada por las gráficas de ambas funciones y la recta = (Junio ) 7.- Si es posible, dibuja de forma clara la gráfica de la función continua en el intervalo 4, que tenga al menos un máimo relativo en el punto (,) y un mínimo relativo en el punto (,4). fuera polinómica, cuál ha de ser como mínimo su grado? (Junio ) 8.- Sea la función f ( ) sen. Si la función a) Calcula a > tal que el área encerrada por la gráfica de f, el eje y= y la recta =a sea b) Calcula la ecuación de la tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 4 c) Calcula el área de la superficie encerrada por la tangente anterior, la gráfica de la función f y las rectas, (Junio ) 4 4 Dpto. Matemáticas IES Juan Gris Página - 4

5 9.- Sea la función real de variable real definida por ( ) si f( ) si a) Razona si es una función continua en toda la recta real b) Razona si f es derivable en toda la recta real c) Determina el área encerrada por la gráfica de f y por las rectas y=8, =, =. (Junio ).- a) Determina los etremos relativos de la función f ( ) 4. Dibuja su gráfica b) Halla las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la gráfica de f que pasan por el punto P(, 5).- Se considera la función real de variable real definida por f( ) (junio ) a) Halla la ecuación cartesiana de la recta tangente en el punto de infleión de abscisa positiva de la gráfica de f b) Calcula el área del recinto plano acotado por la gráfica de f, la recta anterior y el eje = (Junio ).- Se considera la función: f( ) si si. Se pide: a) Estudiar el dominio y la continuidad de f b) Halla las asíntotas de la gráfica de f c) Calcula el área del recinto plano acotado por la gráfica de f y las rectas y=, =, = (Junio ).- Se considera la función real de variable real definida por: f( ) a) Determina sus máimos y mínimos relativos b) Calcula el valor de a> para el cual se verifica la igualdad a f ( ) d (Septiembre ) Dpto. Matemáticas IES Juan Gris Página - 5

6 4.- Se considera la función real de variable real definida por si f( ) ( ) si a) Estudia su continuidad y derivabilidad b) Halla la ecuación cartesiana de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (,) (Septiembre ) 5.- Sea f() una función real de variable real, derivable y con derivada continua en todos los puntos tal que: Se pide: a) Calcula g (), siendo g( ) f f ( ) f ( ) f ( ) b) Calcula lim e f()=; f()=; f ()=; f ()=4 (Septiembre ) 6.- Determina los valores de las constantes A, B, C y D para los cuales la gráfica de la función real de variable real f ( ) Asen B C D tiene tangente horizontal en el punto (,4) y además su derivada segunda es f ''( ) sen (Modelo eamen selectividad ) 7.- Calcula la siguiente integral indefinida: 4 d Calcula los siguientes límites (donde ln significa logaritmo neperiano). (Modelo eamen selectividad ) a) lim ln cos( ) ln cos( ) 4 4 (Sol: 9/4) b) lim 4 (Sol: /8) (Junio ) 9.- Dada la función f( ) a) Encontrar los puntos de discontinuidad de f. Determinar razonadamente si alguna de las discontinuidades es evitable b) Estudiar si f tiene alguna asíntota vertical (Junio ) Dpto. Matemáticas IES Juan Gris Página - 6

7 4.- a) Dibujar la gráfica de la función g( ) e b) Calcula el dominio de definición de f( ) e y su comportamiento para y c) Determinar (si eisten) los máimos y mínimos absolutos de f() en su dominio de definición (Junio ) 4.- a) Calcular el límite de la sucesión cuyo término general es n n n b) Sean las funciones F( ) 4 t 5 e dt, g( ). Calcular F g ( ( ) ' (Modelo eamen selectividad 4) e si 4.- Dada la función f( ) a si a) Determinar su dominio y calcular los límites laterales cuando b) Estudiar su continuidad y hallar el valor de a para el que f es continua en = (Modelo eamen selectividad 4) 4.- Se considera la función f( ). Se pide: sen a) Calcular sus puntos críticos en el intervalo, b) Calcular los etremos relativos y/o absolutos de la función f() en el intervalo cerrado, c) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f() en el punto,f Calcular la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y área máima (Modelo eamen selectividad 4) (Junio 4) 45.- Se considera la función f( ) 4 a) Calcular las asíntotas, el máimo y el mínimo absolutos de la función f() b) Calcular f ( ) d (Junio 4) Dpto. Matemáticas IES Juan Gris Página - 7

8 46.- Dada la función f ( ), se pide: a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto P(a,f(a)), donde <a< b) Hallar los puntos A y B en los que la recta hallada en el apartado a) corta a los ejes vertical y horizontal respectivamente. c) Determinar el valor de a, P a, f ( a) es el doble de la distancia entre el punto B y el punto P a, f ( a ) para el cual la distancia entre el punto A y el punto (Junio 4) 47.- Sabiendo que una función f() tiene como derivada : f '( ) ( 4) ( 8 7) a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. b) Hallar los máimos y mínimos relativos de f c) Es =4 un punto de infleión de f? Justificar razonadamente la respuesta (Septiembre 4) 48.- Sea la función f( ) a) Hallar sus máimos y mínimos relativos y sus asíntotas b) Dibujar la gráfica de la función, utilizando la información obtenida en el apartado anterior, teniendo en cuenta, además, que f tiene eactamente tres puntos de infleión cuyas abscisas son,, respectivamente c) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función f, el eje OX, la recta = y la recta = (Septiembre 4) 49.- a) Justificar razonadamente que la gráfica de la función una vez en el intervalo, 5 f ( ) corta al eje OX al menos b) Determinar razonadamente el número eacto de puntos de corte con el eje OX cuando recorre toda la recta real (Modelo de eamen 5) 5.- a) Determinar el punto P, contenido en el primer cuadrante, en el que se cortan la gráfica de la función f( ) y la circunferencia y 8 b) Calcular el área de la región limitada por la recta que une el origen y el punto P hallado en el apartado anterior, y el arco de curva y comprendido entre el origen y el punto P (Modelo de eamen 5) Dpto. Matemáticas IES Juan Gris Página - 8

9 5.- Se considera la función f ( ) ln a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los intervalos de concavidad y conveidad b) Dibujar la gráfica de f c) Calcular las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f en sus puntos de infleión (Modelo de eamen 5) 5.- Sea f() una función derivable en (,) y continua en [,], tal que f()= y fórmula de integración por partes para hallar f ( ) d f '( ) d. Utilizar la (Junio 5) 5.- Calcular el polinomio de tercer grado p( ) a b c d sabiendo que verifica: a) Tiene un máimo relativo en = b) Tiene un punto de infleión en el punto de coordenadas (,) c) Se verifica: 5 p( ) d (Junio 5) Calcular los siguientes límites: a) lim 55.- Dada la función b) lim arctg e f( ), se pide: a) Hallar la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto a, f ( a ) para a > (Junio 5) b) Hallar los puntos de corte de la recta tangente hallada en el apartado a) con los ejes coordenados c) Hallar el valor de a> que hace que la distancia entre los puntos hallados en b) sea mínima (Septiembre 5) 56.- Dada la función f( ) ln a la gráfica de f() en ese punto sea paralela al eje OX, definida para >, hallar un punto, ( ) a f a tal que la recta tangente (Septiembre 5) 57.- Se considera la función f( ) e e a) Calcular los etremos locales y/o globales de la función f() a b) Determinar el valor del parámetro a tal que: f ( ) d (Septiembre 5) 4 Dpto. Matemáticas IES Juan Gris Página - 9

10 58.- Dada f( ) 4 a) Hallar sus máimos y mínimos locales y/o globales b) Determinar el valor del parámetro a > para el cual es: a f ( ) d (Modelo de eamen 6) 59.- a) Hallar el punto en que se cortan las gráficas de las funciones f( ) g( ) b) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes en el punto P a cada una de las curvas anteriores y demostrar que son perpendiculares 6.- Se considera la función: f( ) sen cos. Se pide: a) Calcular sus etremos locales y/o globales en el intervalo, b) Comprobar la eistencia de, al menos, un punto c, utilizar el teorema de Rolle). Demostrar que en c hay un punto de infleión. (Modelo de eamen 6) tal que f ''( c). (Sugerencia: 6.- (Modelo de eamen 6) a) Dibujar la gráfica de la función f( ) crecimiento y decrecimiento y asíntotas, indicando su dominio, intervalos de b) Demostrar que la sucesión a n n es monótona creciente n c) Calcular lim n ( an an) n (Junio 6) 6.- a) Estudiar y representar gráficamente la función f( ) ( ) 6.- b)hallar el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de la función anterior y las rectas y =, = 5/ (Junio 6) Dpto. Matemáticas IES Juan Gris Página -

11 64.- Calcular d (Septiembre 6) 65.- a) Calcular los valores de a y b para que la función continua para todo valor de si sea f ( ) a cos si a b si b)estudiar la derivabilidad de f() para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior (Septiembre 6) 66.- Dada la función f ( ) e, se pide: a) Dibujar su gráfica indicando su dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máimos y mínimos relativos, intervalos de concavidad y conveidad y puntos de infleión b) Calcular el área comprendida entre el eje OX y la gráfica de f() entre 67.- Se considera la función f ( ) m, donde m > es una constante. (Septiembre 6) a) Para cada valor de m hallar el valor de a > tal que la recta tangente a la gráfica de f en el punto a, f ( a) pase por el origen de coordenadas b) Hallar el valor de m para que la recta y sea tangente a la gráfica de f() (Junio 7) 68.- Dada la función f( ) calcular el área de la región acotada encerrada por su gráfica y el eje 4 OX (Junio 7) 69.- Dibujar la gráfica de la función f( ) indicando su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y asíntotas. (Junio 7) 7.- a) Hallar los máimos y mínimos relativos y los puntos de infleión de la función: f( ) b) Determinar una función F() tal que su derivada sea f() y además F() = 4 (Septiembre 7) Dpto. Matemáticas IES Juan Gris Página -

12 7.- Sea g() una función continua y derivable para todo valor real de, de la que se conoce la siguiente información: i) g'( ) para todo (, ) (, ), mientras que g'( ) para todo (, ). ii) g''( ) para todo (, ) y g''( ) para todo (, ) (, ) iii) g( ), g(), g() iv) lim g ( ) y lim g ( ) Teniendo en cuenta los datos anteriores, se pide: a) Analizar razonadamente la posible eistencia o no eistencia de asíntotas verticales, horizontales u oblicuas b) Dibujar de manera esquemática la gráfica de la función g() c) Si G( ) g( t) dt encontrar un valor tal que su derivada G'( ) 7.- Se considera la función f( ). e a) Hallar sus asíntotas y sus etremos locales. b) Calcular los puntos de infleión de f() y dibujar la gráfica de f() (Septiembre 7) (Modelo de eamen 8) 7.- Calcular: a) n lim n n 5n b) lim n 4 4 n n n n n 5 (Modelo de eamen 8) 74.- (Modelo de eamen 8) Se considera la función f( ) a b si si. Se pide: Calcular a y b para que f sea continua y derivable en todo a) Para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior, calcular el área de la región acotada limitada por la gráfica de f, el eje horizontal y las rectas =, = (Junio 8) Estudiar los siguientes límites: a) lim( e ) b) 4 5 lim 6 Dpto. Matemáticas IES Juan Gris Página -

13 76.- (Junio 8) Obtener los máimos y mínimos relativos, y los puntos de infleión de la función: f ( ) ln, siendo ln el logaritmo neperiano de 77.- (Junio 8) a) Para cada valor de c>, calcular el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de la 4 función f ( ) c, el eje OX y las rectas =, =. c b) Hallar el valor de c para el cual el área obtenida en el apartado a) es mínima 78.- (Septiembre 8) Dada la función f ( ) e ( ), se pide: a) Dibujar la gráfica de f, estudiando crecimiento, decrecimiento, puntos de infleión y asíntotas b) Calcular f ( ) d 79.- (Septiembre 8) a) Calcular : ln( ) d b) Utilizar el cambio de variable t t e e, para calcular 4 d 4 Indicación: Para deshacer el cambio de variable utilizar: t ln 8.- (Modelo 8-9) Sea: f( ) si 4 7 ( ) si a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f() b) Hallar los máimos y mínimos locales de f() c) Dibujar la gráfica de f() 8.- (Modelo 8-9) Sea f( ) a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f en = b) Estudiar cuándo se verifica que f '( ). Puesto que f() f( ), eiste contradicción con el Teorema de Rolle en el intervalo,? Dpto. Matemáticas IES Juan Gris Página -

14 ( ) si 8.- (Modelo 8-9) Sea f( ). Hallar el área de la región acotada limitada por ln( ) si la gráfica de f(), y por la recta y= 8.- (Junio 9) Calcular el siguiente límite: lim 4 8 según los valores del parámetro 84.- (Junio 9) Calcular la integral F( ) t t e dt 85.- (Junio 9) Si la derivada de la función f() es: f '( ) ( ) ( 5), obtener a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f b) Los valores de en los cuales f tiene máimos relativos, mínimos relativos o puntos de infleión c) La función f sabiendo que f()= 86.- (Septiembre 9) Dada la función ln( a) b si a y f( ), se pide: si a) Hallar los valores de los parámetros a y b para los cuales la función f es continua en = b) Para a = b =, estudiar si la función f es derivable en = aplicando la definición de derivada 87.- (Septiembre 9) a) Dada la función f( ), hallar el punto o los puntos de la gráfica de f() en los que la pendiente de la recta tangente sea. b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() en el punto = c) Sea g una función derivable en derivada continua en toda la recta real, y tal que g() =, g() =. Demostrar que eiste al menos un punto c en el intervalo (,) tal que g ( c ) = 88.- (Modelo 9-) Dada la función f ( ) e ae, Siendo a un número real, estudiar los siguientes apartados en función de a: a) Hallar los etremos realtivos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f b) Estudiar para qué valor, o valores, de a la función f tiene alguna asíntota horizontal c) Para a, hallar el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de f, el eje OX y las rectas =, = Dpto. Matemáticas IES Juan Gris Página - 4

15 89.- (Modelo 9-) Dada la función f ( ), se pide: a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto, f ( ). b) Determinar los puntos de intersección de la recta hallada en el apartado anterior con la gráfica de f c) Calcular el área de la región acotada que está comprendida entre la gráfica de f y la recta obtenida en el apartado a) 9.- (J ) () Hallar: a) lim 58 5 b) lim 4 / 9.- (J ) () Dada la función f ( ) ln 4 5, donde ln significa logaritmo neperiano, se pide: a) ( p.) Determinar el dominio de definición de f() y las asíntotas verticales de su gráfica b) ( p.) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f() 9.- (J ) () Dada la función ln si f( ), se pide: k si a) ( p) Determinar el valor de k para que la función sea continua en b) ( p.) Hallar los puntos de corte con los ejes de coordenadas c) ( p.) Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa = 9.- (J ) ()Dada la función f( ) a) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f() b) Hallar los puntos de infleión de la gráfica de f() c) Hallar las asíntotas y dibujar la gráfica de f() d) Hallar el área del recinto acotado que limitan la gráfica de f(), el eje de abscisas y las rectas =, y = + Dpto. Matemáticas IES Juan Gris Página - 5

16 94.- (J ) () Dadas las funciones: y y 9,, se pide: a) Dibujar las gráficas de las dos funciones identificando el recinto acotado por ellas b) Calcular el área de dicho recinto acotado c) Hallar el volumen del cuerpo de revolución obtenido al hacer girar alrededor del eje OX el recinto acotado por la gráfica de y9 y el eje OX 95.- (S ) ( p.) Calcular los límites: lim arctan a) / a b) e lim 7 e (S ) ( p.) Calcular: a) d b) 4 cos d 97.- (S ) ( p.) Los puntos P(,,), Q(,,) y A(a,,), con a >, determinan un plano que corta a los semiejes positivos de OY y OZ en los puntos B y C, respectivamente. Calcular el valor de a para que el tetraedro determinado por los puntos A, B, C y el origen de coordenadas tenga volumen mínimo (S ) ( p.) Obtener el valor de a para que: a lim (S ) ( p.) Hallar: a) (,5 p.) 6 8 ( 5) d b) (,5 p.) 4 9 ( ) ( 9) 9 d.- (S ) ( p.) Dada la función: f( ) 5 5, se pide: a) (,5 p.) Estudiar y obtener las asíntotas b) ( p.) Estudiar los intervalos de concavidad y conveidad c) (,5 p.) Representar gráficamente la función Dpto. Matemáticas IES Juan Gris Página - 6

17 .- (M ) ( p.) Dada la función f( ) ( ), se pide: a) Obtener, si eisten, los máimos y mínimos relativos, y las asíntotas de f b) Calcular el área del recinto acotado comprendido entre la gráfica de f, el eje OX y las rectas =, =.- (M ) ( p.) Calcular los siguientes límites: a) b) lim e / tan tan lim.- (M ) ( p.)dada la función f ( ) sen, calcular el área del recinto acotado comprendido entre la gráfica de f, el eje OX y las rectas, 4.- (J ) ( p.) a) Calcula la integral 4 5 d b) Hallar los valores mínimo y máimo absolutos de la función f ( ) 5.- (J ) ( p.) a) Calcular el siguiente límite: lim 5 b) Demostrar que la ecuación 4 m sólo tiene una raíz real, cualquiera que sea el número m. Justificar la respuesta indicando qué teoremas se usan. 6.- (J ) ( p.) Dada la función 4 a f( ), se pide: a) Determinar el valor de a para el que la función posee un mínimo relativo en =. Para ese valor de a, obtener los otros puntos en los que f tiene un etremo relativo b) Obtener las asíntotas de la gráfica de y = f() para a = c) Esbozar la gráfica de la función para a = 7.- (S ) ( p.) a) Calcular los límites: lim 4 ( ) e lim 4 y ( ) e b) Calcular la integral d Dpto. Matemáticas IES Juan Gris Página - 7

18 c) Hallar el dominio de definición de la función f ( ) 9 4 / e si 8.- (S ) ( p.) Dada la función f ( ) k si cos si sen continua en =. Justificar la respuesta, hallar el valor de k para que f sea 9.- (S ) ( p.) d) Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de f ( ) sen y el eje OX entre las abscisas y e) Hallar el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar la gráfica de f ( ) sen alrededor del eje OX entre las abscisas y.- (M ) () Halla el valor de para que la función Razonar la respuesta. e f( ) sen si si sea continua..- (M ) () Dado el polinomio P( ) a b c, obtener los valores de a, b y c de modo que se verifiquen las condiciones siguientes: El polinomio P() tenga etremos relativos en los puntos de abscisas / y. La recta tangente a la gráfica de P() en el punto, P () sea y.- (M ) () Sabiendo que la función F ( ) tiene derivada f( ) continua en el intervalo cerrado,5, y además, que: Hallar: F(), F(), F(4) 6, F(5), f () y f (4) ; a) ( 5 p.) 5 f ( ) d b) ( p.) 5 f ( ) 7 c) ( 5 p.) 4 d F( ) f ( ) d.- (J ) ( p.) Hallar a, b y c de modo que la función f ( ) a b c alcance en un máimo relativo de valor, y tenga en un punto de infleión Dpto. Matemáticas IES Juan Gris Página - 8

19 4.- (J ) ( p.) Calcular razonadamente las siguientes integrales definidas: a) e cos d b) / sen cos d 5.- (J ) ( p.) Dadas las funciones: ln( ) f ( ), g( ) ln, h( ) sen, se pide: a) Hallar el dominio de f( ) y el lim f( ) b) Calcular g'( e ) c) Calcular en el intervalo,, las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas y las coordenadas de los etremos relativos de h ( ) A si 6.- (S ) ( p.) Dada la función f( ), se pide: 4 si a) Hallar el valor de A para que f( ) sea continua. Es derivable para ese valor de A? b) Hallar los puntos en los que f '( ) c) Hallar el máimo absoluto y el mínimo absoluto de f( ) en el intervalo 4,8 7.- (S ) ( p.) Dada la función f ( ) sen, se pide: a) Determinar, justificando la respuesta, si la ecuación f( ) tiene alguna solución en el intervalo abierto /, b) Calcular la integral de f en el intervalo, c) Obtener la ecuación de la recta normal a la gráfica de y f ( ) en el punto, f ( ) Recuérdese que la recta normal es la recta perpendicular a la recta tangente en dicho punto (M ) ( p.) Dada la función si f ( ) a si, se pide: / e si a) Determinar el valor de a para que f sea continua en b) Para ese valor de a, estudiar la derivabilidad de f en c) Hallar, si las tiene, las asíntotas de la gráfica de y f ( ) Dpto. Matemáticas IES Juan Gris Página - 9

20 9.- (M ) ( p.) a) Representar gráficamente el recinto limitado por la gráfica de la función f ( ) ln y el eje OX entre las abscisas / e, e b) Calcular el área de dicho recinto c) Calcular el volumen del sólido de revolución obtenido al girar dicho recinto alrededor del eje OX Dpto. Matemáticas IES Juan Gris Página -