MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad

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1 MATEMÁTICAS TEMA 5 Límites y Continuidad

2 MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. TEMA 5: LÍMITES Y CONTINUIDAD ÍNDICE. Introducción. Concepto de función. 3. Dominio e imagen de una función. 4. Gráfica de algunas funciones elementales. 5. Funciones a trozos. 6. Concepto de Límite 7. Límites en un punto. 8. Límites en el infinito. 9. Continuidad de una función.. Ejercicios.. Introducción El límite de una función está íntimamente unido a su representación gráfica y a la interpretación de la misma debido a que lo que nos indica es el comportamiento o tendencia de la gráfica. Por esta razón, el concepto de límite es básico en el Análisis Matemático. Las primeras definiciones de límite aparecen en la obra de Jonh Wallis (66-73) y en ella se utiliza por primera vez el símbolo infinito. Con posterioridad Jean Le Rond D'Alembert perfeccionó la definición de límite. Fue Ausgustin Cauchy ( ) quien dio la definición de límite que utilizamos hoy en día. En esta unidad didáctica se estudian los conceptos de límite y se definía con rigor, analizando todas sus posibles presentaciones (límites finitos en un punto, límites infinitos en un punto, límites en el infinito, límites laterales). Por último se dedica un apartado al análisis de los llamados límites indeterminados, mostrando con ejemplos el significado de estas indeterminaciones y aclarando un concepto que produce muchas confusiones en los alumnos. En esta unidad se presenta el concepto de continuidad de funciones. En primer lugar se hace un acercamiento intuitivo al concepto de continuidad utilizando distintos ejemplos. Posteriormente se introduce el concepto riguroso de continuidad y se ven los distintos tipos de discontinuidades. - -

3 MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS.. Concepto de función Función es una correspondencia entre dos conjuntos por la que a cada elemento del conjunto inicial, le corresponde un elemento y sólo uno del conjunto final. (Normalmente trabajaremos con funciones reales de variable real) La manera de escribir una función es la siguiente: f : R R y f( ) variable imagende f de Gráfica de una función es el conjunto de puntos que resulta de unir los pares (, f( )) Formas de epresar una función: esta relación puede venir definida por una descripción verbal, una tabla de valores, una gráfica o una fórmula matemática. Veamos un ejemplo: - 3 -

4 MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. Hay que tener en cuenta que no todas las gráficas son funciones. Es importante la idea de que la imagen y de cada valor de es única. Veamos el siguiente ejemplo: SI ES UNA FUNCIÓN NO ES UNA FUNCIÓN 3. Dominio e imagen de una función. Dominio de una función f (Dom (f)): conjunto de valores para los cuales está definida la función. Imagen de una función ( Im (f)) : conjunto de valores que toma la función. - El cálculo gráfico del dominio de una función se calcula a partir de su gráfica buscando sobre el eje horizontal los valores de tales que la recta vertical que pasa por corta a la gráfica de la función. - El cálculo gráfico de la imagen de una función se calcula a partir de su gráfica buscando sobre el vertical los valores de y tales que la recta horizontal que pasa por y corta a la gráfica de la función. Ejemplo: Observando la gráfica de la función, di cual es su dominio e imagen

5 MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. - Cálculo algebraico del dominio de una función: a partir de la fórmula que describe una función podemos encontrar el dominio de la misma. En estos casos, el tipo de función determina la estrategia que debe ser utilizada para encontrar dicho dominio. El alumno de primero de bachillerato debe tener presente las siguientes ideas a la hora de calcular dominios de funciones: El dominio de funciones polinómicas son todos los números reales El dominio de las funciones racionales son todos los números reales que hacen el denominador distinto de cero. El dominio de las funciones irracionales de índice impar son todos los números reales. El dominio de las funciones irracionales de índice par son todos los números reales que hacen el radicando mayor o igual que cero. El dominio de funciones logarítmicas son todos los números que hacen mayor estrictamente que cero la epresión de la que se calcula el logaritmo. El dominio de funciones eponenciales son todos los números reales

6 MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. Ejemplo: Calcula el dominio de las siguientes funciones: 3 a) f( ) 5 Vemos para que valor de se hace cero el denominador 5 5 b) g( ) 5 8 Dg ( ) c) h( ) { {}} Por tanto D( f) 5 Vemos para que valor de se hace cero el denominador ± ( 5) 4 6 5± 5 4 5± 5± 5 4 { { }} Por tanto Dh ( ),3 d) r ( ) 36 Ver para que valores de se verifica 3 6 (Inecuación de º grado) { } Por tanto Dr ( ) [, ) 4. Gráfica de algunas funciones elementales. Representar una recta: a Pendiente y f( ) a b b Ordenada en el origen Simplemente damos dos valores a la y calculamos su imagen Ejemplo: Dibuja las gráficas: y f( ) 34 y -4 - y g( ) y y h( ) 3 y

7 MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. Representar una parábola: y f ( ) a b c b v º ) Calculamos el Vértice a V( v, yv) yv f( v) º ) Puntos de corte con los ejes: Eje y a b c Eje y y c 3º) a > a < 4º) Tabla de valores: Damos valores a la para obtener más puntos de la parábola. Ejemplo y f ( ) 8 Solución b v º ) Calculamos el Vértice a y v f ( v) f () 8 9 V(, 9) º ) Puntos de corte con los ejes: Eje 8 y A(4, ) ± ( ) 4 ( 8) ± 4 3 ± 36 ± B(, ) Eje y y 8 C(, 8) 3º ) a > 4 º ) Tabla de valores [ Doy un valor a la y sustituto en la función f() ] - 3 y y f ( ) 8-7 -

8 MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. Representar una función eponencial: y f( ) a f( ) a a > Función creciente f( ) a < a< Función decreciente Representar una función logarítmica: y f( ) log a f( ) log < a< a Función decreciente f( ) log a> Función creciente a Representar: f( ) Dando valores a Representar: y f( ) Dando valores a - 8 -

9 MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. 5. Funciones a trozos. son aquellas que poseen una epresión algebraica diferente para distintos valores o intervalos de números reales. Ejemplo Representar la función Solución: si < f si > ( ) si Se representa cada uno de los trozos, y finalmente se representa la función completa 6. Concepto de Límite El límite de una función f () en un punto a es el valor L al que se aproima f () cuando se aproima al valor de a. Notación: lim f ( ) L a Después tenemos el significado de los límites laterales. Cuando la variable se acerca al valor a pero tomando valores menores que a se dice que tiende hacia a por su izquierda y se escribe a. Análogamente la epresión a indica que tiende hacia a pero tomando valores mayores que a, se dice que tiende a a por la derecha. Una función tiene límite en un punto si los límites laterales en dicho punto eisten y son iguales. lim f ( ) L lim f( ) lim f( ) L a a a - 9 -

10 MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. Ejemplo: Sea si < f ( ) si < <. Estudia los límites cuando si Solución lim ( ) ( ) 4 lim f( ) lim f( ) lim f( ) 4 lim ( ) 4 (Eiste) lim( ) ) lim ( ) lim ( ) f f lim( ) (No Eiste) lim f( ) Operaciones con límites Si lim f ( ) L y lim g ( ) M, siendo L y M números finitos, entonces: a a lim[ f( ) g( )] lim f( ) lim g( ) L M a a a lim[ f( ) g( )] lim f( ) lim g( ) LM a a a lim[ kf ( )] k lim f( ) kl donde k R a a lim[ f( ) g ( )] lim f( ) lim g ( ) LM a a a f( ) lim f( ) a L lim a g ( ) lim g ( ) M a con lim g ( ) Ejemplo: Sabiendo que las funciones f() y g() tienen por límite - y 5, respectivamente, cuando tiende a 3, calcula el valor de los límites: a) lim[5 f( ) g( )] b) 3 3 a lim[ f( ) g( )] c) f ( ) g lim 3 7 ( ) Solución lim f( ) 3 y lim g ( ) 5 3 a) lim[5 f( ) g ( )] 5 lim f( ) lim g ( ) 5 ( ) b) lim[ f( ) g( )] lim f( ) lim g( ) 5 8 c) f( ) lim f( ) lim f( ) ( ) lim 3 7 g ( ) lim7 g ( ) 7 lim g ( )

11 MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. Operaciones con infinitos: a R SUMAS PRODUCTOS COCIENTES a a ( ) ( ) ( ) a ( ) Si a > a ( ) a ( ) Si a < a ( ) a ± a ±, si a ± ± ± 7. Límites en un punto. A) Límite de una función continua: simplemente sustituimos en la función por el valor al que tiende. k B) Límite del tipo k : No eiste el límite Se hacen los límites laterales que valdrán o C) Indeterminación Epresión Conjugada de A B es A - B. Función Racional : en este caso se factoriza el numerador y el denominador y se simplifica los factores comunes. Función Irracional : se multiplica el numerador y el denominador por la epresión conjugada de la que tiene radicales. Ejemplo: Calcula los siguientes límites de funciones continuas: a)lim c)lim e e b)lim( 5) d) lim ( 5)

12 MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. Ejemplo: Calcula los siguientes límites: 9 a) lim lim ( 3) ( 3) ( 3) 3 3 lim 6 ( 3) ( ) 3 ( ) 3 5 ( 5) b) lim lim lim( 5) c) lim 3 ( 3 ) ( 3 ) ( 3) 34 lim lim lim ( ) ( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( 3 ) lim lim ( ) ( 3 ) Límites en el infinito. A) Límite de funciones polinómicas n f ( ) a a... a a a : n n n- El signo depende de si lim ( a a... a a a) lim a ± n es par o impar y del signo de an n n n n n - n ± ± B) Indeterminación : en el libro eplican la forma de hacerlo tanto para funciones racionales como irracionales. A continuación pongo un esquema para calcular más rápidamente estos límites: si grado P ( ) < grado Q( ) n P( ) a... b c a lim lim si grado ( ) grado Q( ) m P Q ( ) d... e f d ± si grado P ( ) > grado Q( ) (El signo del límite lo da el signo de los coeficientes a y d) NOTA: Cuando el criterio sigue siendo el mismo, mirando los signos en el caso: grado P ( ) > grado Q( ). - -

13 MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. C) Indeterminación : puede ser resolverse realizando la operación indicada o en otros casos hay que multiplicar el numerador y el denominador por la epresión conjugada. Ejemplo: Calcula los siguientes límites: ) lim(5 4) ) lim - c) lim Ver Cuadro Ver Cuadro a b d) lim 6 e) lim f ) lim ( 3 8 3) Ver Cuadro g)lim h) lim i) lim 5 7 Ver Cuadro j) lim k) lim l) lim m)lim ( ) 3 ( ) 6 3 n)lim lim lim ( ) ( ) 4 3 lim ( 5 ) ( 5 ) ( 5) ( ) o) lim( 5 ) lim lim ( 5 ) ( 5 ) lim lim n 5 5 p)lim 7 5 lim 7 5 ( 7 5) ( 7 5) lim lim lim 7 5 ( 7) ( 5)

14 MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. 9. Continuidad de una función. Durante mucho tiempo fue aceptada como idea intuitiva que una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel. Esta idea fue formalizada por Cauchy : La función f() es continua en a si lim f ( ) f ( a ) a Es decir ) f( a) (Eiste) f () es continua en a si ) lim f( ) (Eiste) a 3) lim f ( ) f( a) a Propiedades de las funciones continuas Si f () y g() son continuas en a ( f g)( ) es continua en a ( fg )( ) es continua en a ( f / g)( ) es continua en a si g( a) Cuando una función no es continua en un punto se dice que es discontinua en dicho punto. Algunos Tipos de discontinuidades Discontinuidad evitable: se produce cuando Eiste f ( a) y lim f( ), pero lim f( ) f( a) a a No Eiste f( a) y sí lim f( ) a Discontinuidad de salto finito: se produce cuando no eiste lim f () porque los dos límites laterales son finitos, pero no iguales. Da lo mismo si f (a) eiste o no. Discontinuidad de salto infinito: se produce cuando uno o los dos límites laterales son. En este caso, f (a) puede eistir o no

15 MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. En general las funciones con las que se va a trabajar habitualmente: las funciones polinómicas, la función sen y cos, las funciones eponenciales y logarítmicas, son continuas en todo su dominio. Por eso si se quiere calcular el límite de alguna de estas funciones en un punto de su dominio basta con calcular el valor de la función en dicho punto. Ejemplo:. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: si < a) g( ) en 5 si Se trata de una función a trozos. Las funciones parciales son continuas en sus dominios. Estudiemos la continuidad de la función g( ) en los puntos de unión ( en este caso ). ) g() 5 lim ) lim g ( ) lim g ( ) lim 5 5 (No Eiste) DISCONTINUIDAD DE SALTO INFINITO lim g ( ) - 5 -

16 MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. si b) f( ) si < < en y si > Se trata de una función a trozos. Las funciones parciales son continuas en sus dominios. Estudiemos la continuidad de la función f( ) en los puntos de unión ( en este caso y ). ) f ( ) ( ) ( ) ) lim ( ) lim lim ( ) ( ) ( ) f lim ( ) ( ) (Eiste) f ( ) ES CONTINUA EN ) f () lim( ) ) lim f( ) lim f( ) lim f( ) lim( ) ( Eiste) DISCONTINUIDAD EVITABLE f( ) lim f( ) f( ) Gráficamente Ejemplo:. Calcular el valor de a para que f() sea continua en todos los números reales. f( ) Solución e < si ( a) si e < si f( ) ( a) si Se trata de una función a trozos. Las funciones parciales son continuas en sus dominios. Vamos a imponer que la función f( ) sea continua en. ) () ( ) f a a a lim e e e ) lim ( ) lim ( ) ( ) f f a a a a a a lim( a) ( a) a a a aa ( ) f( ) es continua en todo R si a o a a - 6 -

17 MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. Ejemplo:. Calcular el valor de a y b para que f() sea continua en todos los números reales. si < f ( ) a b si - < si Solución si < f( ) a b si - < si Se trata de una función a trozos. Las funciones parciales son continuas en sus dominios. Vamos a imponer que la función f( ) sea continua en y. ) f( ) a ( ) b a b lim ( ) ( ) ) lim f( ) lim f( ) a b lim ( a b) a b a b a b ) f () lim( a b) a b ) lim f( ) lim f( ) a b lim a b a f( ) es continua en todo R si a y b a b b RESOLVIENDO EL SISTEMA Ejemplo:. Hallar el valor de k para que la función f() sea continua en - 4 f( ) k si si - 7 -

18 MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. Solución La función f() es continua en - si lim f( ) f( ) ) f( ) k 4 ( ) ( ) k 4 ) lim f( ) lim lim lim ( ) 4 ( ). Ejercicios.. Calcula el dominio de las siguientes funciones: 6 a b c h 4 ) f( ) ) g( ) ) ( ) 4 3. Representa: a f b g ) ( ) 4 4 ) ( ) 6 3. Representar la función < si f( ) si - si >. 4. Sea -5 si < f ( ) 7 si <. Estudia los límites cuando 7 si. 5. Estudiar la continuidad de si f( ) si < < 3 si > 3-8 -

19 MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. 6. Dada la siguiente gráfica de la función f(), calcula los límites que se indican: a) lim f( ) b)lim f( ) c) lim f( ) d) lim f( ) e)lim f( ) 7. Calcula los siguientes límites: a) lim b)lim c)lim d) lim e) lim Calcula los siguientes límites : ) lim ( 5 7 3) ) lim c) lim a b d) lim( 4 4) e) lim f ) lim g)lim h) lim i) lim( 5 ) 36 j ) lim k) lim( 6 9)

20 MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. 9. Estudiar la continuidad de. Estudiar la continuidad de e si f( ) si < < 3 si e si f( ) e si >. Estudiar la continuidad de e si f( ) si < < 3 3 si 3 y represéntala.. Calcular el valor de a para que f() sea continua en todos los números reales. f( ) a 3 a si si > 3. Calcular el valor de a, b, c y d para que f() sea continua en todos los números reales. si < 3 a si < 3 f( ) b si 3 < 5 c si 5 < 7 d si 7 4. Calcular el valor de a y b para que f() sea continua en todos los números reales. a si f( ) si <. Para esos valores de a y b representa la función f() b 5 si > 5. Calcular el valor de a y b para que f() sea continua en todos los números reales. a b si < f ( ) a si < a b si - -