CAPÍTULO III. FUNCIONES

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1 CAPÍTULO III LÍMITES DE FUNCIONES SECCIONES A Definición de límite y propiedades básicas B Infinitésimos Infinitésimos equivalentes C Límites infinitos Asíntotas D Ejercicios propuestos 85

2 A DEFINICIÓN DE LÍMITE Y PROPIEDADES BÁSICAS Un número real L se dice límite de una función y = f(x) en un punto x = c si los valores de la función se van acercando a L cuando x toma valores cada vez más próximos a c Simbólicamente se expresa por: lím f(x) = L ε > 0, δ > 0 tal que f(x) L < ε si 0 < x c < δ x c Debemos tener en cuenta que no importa en este caso el comportamiento de la función en el punto c; puede incluso no estar en el dominio Lo que sí debe ocurrir es que todos los puntos próximos a c estén en el dominio y sus imágenes estén cada vez más cerca de L Análogamente, se dice que una función f tiene límite infinito en x = c, y se escribe como lím x c f(x) =, cuando M > 0, δ > 0 tal que f(x) > M si 0 < x c < δ Si únicamente interesa aproximarse a c por la derecha de él (es decir, para valores mayores que c), se hablará de límite lateral por la derecha, y análogamente de límite lateral por la izquierda (para valores x < c) Las notaciones que se usarán son las de lím f(x) y lím f(x), respectivamente x c + x c Un caso particular de límites laterales son los límites al infinito, es decir los casos en que x = ± Así decimos que lím f(x) = L, cuando ε > 0, k > 0 tal que f(x) L < ε si x > k Los límites conservan las operaciones básicas de funciones siempre que dichas operaciones sean posibles en el punto donde se está calculando el límite PROBLEMA 3 x 3(x )(x + ) Basta sustituir el punto x = en la función Resulta que lím 3(x )(x + x ) = 3(4 )(3) = 8 86

3 PROBLEMA 3 Calcular 3(x ) lím x (x + ) Al intentar sustituir en la función el punto x =, se anula el denominador Esto quiere decir que cuanto más nos aproximamos a, más grande es el cociente Por eso el límite es infinito ( ) PROBLEMA 33 Calcular lím x x + x x 4 La situación es parecida al problema anterior Sin embargo el numerador también se anula en x = No podemos asegurar que el cociente se hace más grande cuando x se acerca a Pero si factorizamos numerador y denominador, podemos escribir x + x (x + )(x ) lím x x 4 x (x + )(x ) x x x = 3 4 = 3/4 PROBLEMA 34 x x + x x 87

4 También la situación es similar pero antes de factorizar debemos eliminar las raíces del numerador, es decir, debemos racionalizar Nos queda: L = ( x + x)( x + + x) lím x (x )( x + + (x + ) x x) x (x )( x + + x) = x + lím x (x )( x + + x) = + = /4 PROBLEMA 35 Resolver lím x 4 ([x] x) Como la función parte entera es escalonada, puede tomar diferentes valores a la derecha y a la izquierda del punto x = 4 Debemos calcular los límites laterales separadamente lím x 4 lím x 4 x) x) = 3 4 = ([x] (3 x 4 x) x) = 4 4 = 0 +([x] +(4 x 4 Al ser distintos los límites laterales en x = 4, no existe el límite de la función en el punto PROBLEMA 36 x x x x 4x + 4 Como el numerador y denominador tienden a cero, debemos factorizar ambos y simplificar Tenemos: (x )x L x (x )(x ) x x x = 88

5 PROBLEMA 37 (x + h) 3 x 3 h 0 h También en este caso se anulan el numerador y el denominador Desarrollamos primero la potencia y luego simplificamos: L = (x 3 + 3x h + 3xh + h 3 ) x 3 lím h 0 h (3x + 3xh + h ) = 3x h 0 h 0 h(3x + 3xh + h ) h PROBLEMA 38 x (n + )x n+ + nx n+ x ( x) Si factorizamos el numerador como x (n+)x n+ +nx n+ = (x ) [nx n + ( + n)x n + ( + n)x n + + x], tenemos: L x (x ) [nx n + ( + n)x n + ( + n)x n + + x] ( x) x [nx n + ( + n)x n + ( + n)x n + + x] = n + (n ) = n(n + ) PROBLEMA 39 x 3 x x + 6 x + x 6 x 4x

6 En primer lugar debemos racionalizar el numerador multiplicando y dividiendo la expresión por el conjugado de dicho numerador para después factorizar y simplificar la expresión Resulta: ( x L x + 6 x + x 6)( x x x + x 6) x 3 (x 4x + 3)( x x x + x 6) (x x + 6) (x + x 6) x 3 (x 4x + 3)( x x x + x 6) 4(x 3) x 3 (x 3)(x )( x x x + x 6) 4 x 3 (x )( x x x + x 6) = 4 (3 + 3) = 3 PROBLEMA 30 3 x 3 x + x x El numerador es un cuadrado perfecto y para racionalizarlo utilizamos la fórmula a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ) donde en este caso a = 3 x y b = Resulta: L ( 3 x ) x x ( 3 x ) ( 3 x + 3 x + ) x (x )( 3 x + 3 x + ) (x ) x (x )( 3 x + 3 x + ) x x ( 3 x + 3 x + ) = 0 PROBLEMA 3 x 3 x 4 x 90

7 En este caso racionalizamos el numerador y el denominador utilizando la fórmula general a p b p = (a b)(a p + a p b + + ab p + b p ) con p = 3 para el numerador y p = 4 para el denominador El proceso es el que se indica a continuación: ( 3 x )( 3 x L + 3 x + )( 4 x x + 4 x + ) x ( 4 x )( 4 x x + 4 x + )( 3 x + 3 x + ) (x )( 4 x x + 4 x + ) x (x )( 3 x + 3 = 4 x + ) 3 PROBLEMA 3 x c p x p c x c Si aplicamos la fórmula a p b p = (a b)(a p + a p b + + ab p + b p ) con a = p x y b = p c, tenemos: L = x c lím x c (x c)( p x p + p x p p c + + p x p c p + p c p ) = lím x c p x p + + p c = p p p c p B INFINITÉSIMOS INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES Una función cuyo límite es cero cuando la variable independiente x tiende a un valor c recibe el nombre de infinitésimo en x = c Se dice que un f(x) infinitésimo tiene orden n cuando existe y es no nulo el límite lím x c (x c) n 9

8 Dos infinitésimos f(x) y g(x) en x = c son equivalentes cuando su cociente f(x) tiene límite uno al tender x a c, es decir cuando lím x c g(x) = Un método común para calcular límites consiste en sustituir infinitésimos por otros equivalentes de modo que el cálculo resulte más sencillo A continuación damos una lista de las equivalencias más comunes entre infinitésimos: sen f(x) f(x), cuando f(x) 0; cos f(x) [f(x)] /, cuando f(x) 0; tg f(x) f(x), cuando f(x) 0; a f(x) f(x) ln a, cuando f(x) 0; (en particular e f(x) f(x)) ln( + f(x)) f(x), cuando f(x) 0 (de otra forma ln f(x) f(x), cuando f(x) ) Has de tener en cuenta que estas fórmulas sólo se pueden aplicar cuando los infinitésimos aparezcan como factor en la función cuyo límite se quiere calcular En otras palabras, la siguiente propiedad es válida: Si f y g son infinitésimos equivalentes en x = c y h es cualquier función que tiene límite finito c, entonces f h es un infinitésimo equivalente a g h PROBLEMA 33 Sabiendo que sen x x cuando x 0, probar que tg x x y que cos x x / Basta calcular el límite del cociente: Por otra parte, tg x lím x sen x x lím cos x = cos x ( cos x)( + cos x) sen x L x / ( + cos x) x / ( + cos x) x / sen x x lím + cos x = = 9

9 PROBLEMA 34 cos x Resolver lím x Análogamente al problema anterior, tenemos: cos x L x sen x x lím ( cos x)( + cos x) x( + cos x) sen x + cos x = 0 = 0 sen x x( + cos x) PROBLEMA 35 Resolver lím x sen 3x sen 5x Separamos la expresión en dos fracciones y utilizamos las equivalencias sen 3x 3x y sen 5x 5x: x sen 3x L sen 5x x 5x lím x sen 5x lím sen 3x sen 5x 3x = /5 3/5 = /5 5x PROBLEMA 36 x sen x Resolver lím x + sen x Dividimos numerador y denominador por x y aplicamos la equivalencia sen x x: sen x L + sen x = 0 x = 0 x sen x x x+sen x x 93

10 PROBLEMA 37 sen x sen a x a x a Aplicamos la fórmula sen x sen a = sen x a sen x a L x a x a cos x+a sen x a x a x a cos x + a cos x + a y tenemos: = cos a = cos a PROBLEMA 38 cos x cos a x a x a Aplicamos en este caso la fórmula cos x cos a = sen x a con lo que: sen x a L x a x a sen x+a sen x a x a x a sen x + a sen x + a, = sen a PROBLEMA 39 x sen x x + sen 3x En primer lugar sacamos factor común x en el numerador y 3x en el denominador y después aplicamos las equivalencias sen x x y sen 3x 3x: ( x L 3x ( 3 ) sen x x + sen 3x 3x ) = 3 lím 3 94 sen x x + sen 3x 3x = = 4

11 PROBLEMA 30 + sen x sen x x Si racionalizamos el numerador y tenemos en cuenta que sen x x, obtenemos: L = ( + sen x sen x)( + sen x + sen x) lím x( + sen x + sen x) = + sen x + sen x lím x( + sen x + sen x) = sen x lím x = / = + sen x + sen x PROBLEMA 3 a x b x c x d x Teniendo en cuenta la equivalencia de los infinitésimos x y e x cuando x 0, resulta: e x ln a e x ln b L e x ln c ex ln d e x ln a ( ex ln b x ln a) e x ln c ( e x ln d x ln c ) e x ln a (x ln b x ln a) e x ln c (x ln d x ln c) e x ln a x ln(b/a) e x ln c x ln(d/c) = ln(b/a) ln(d/c) PROBLEMA 3 e x e sen x x sen x 95

12 En primer lugar sacamos e x factor común en el numerador: e x ( e sen x x ) L x sen x Como sen x x 0, podemos aplicar la equivalencia de los infinitésimos e sen x x (sen x x) Tenemos así: e x (x sen x) L e x = x sen x PROBLEMA 33 e y + sen y y 0 ln( + y) Descomponemos en primer lugar la expresión en dos sumandos: ( e y L y 0 ln( + y) + sen y ) e y ln( + y) y 0 ln( + y) + lím sen y y 0 ln( + y) Debido a la equivalencia de los infinitésimos e y ln( + y) sen y, resulta que L = + = C LÍMITES INFINITOS ASÍNTOTAS Anteriormente aparecieron límites de la forma 0/0, los cuales forman un caso particular de los llamados límites indeterminados, pues su resultado no se puede obtener en forma directa Otros casos de indeterminación en los 96

13 límites se presentan al considerar valores infinitos Estos casos de indeterminación son, 0, /, 0 0, 0, y para resolverlos se pueden seguir las siguientes reglas (que completaremos en el capítulo 6 con otras técnicas): (a) Si la función es algebraica (sólo aparecen operaciones algebraicas y no trigonométricas) y el límite tiene la forma /, se comparan los grados del numerador y denominador a- Si el grado del numerador es mayor que el del denominador, el resultado del límite es a- Si el grado del denominador es mayor que el del numerador, el resultado es cero a3- Si ambos tienen el mismo grado, el resultado es el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado En resumen, en el caso / los términos que intervienen en el límite son los de mayor grado; el resto se puede desechar (b) Para las otras formas de indeterminación, es posible transformarlas en alguna de las conocidas y utilizar las técnicas expuestas para ellas Por ejemplo, en las indeterminaciones con exponenciales (en particular de la forma ) se puede utilizar la fórmula f(x) g(x) = e g(x) ln f(x), y el exponente presenta ahora una indeterminación del tipo 0 Como aplicación de los límites infinitos se pueden definir las asíntotas: La recta x = h es asíntota vertical de la función y = f(x) cuando lím x h f(x) = o lím x h f(x) = (basta algún límite lateral) La recta y = k es asíntota horizontal de la función y = f(x) cuando f(x) = k o bien lím f(x) = k lím x La recta y = mx + b es asíntota oblicua de la función y = f(x) cuando existen los límites que definen las constantes m y b así: o bien m m = y m 0 en ambos casos f(x) x, b [f(x) mx]; f(x) lím x x, b [f(x) mx], x 97

14 PROBLEMA 34 (x 3)(3x + 5)(4x 6) 3x 3 + x Comparamos los grados del numerador y denominador y tenemos: 4x 3 + L 3x 3 = = 8 PROBLEMA 35 [ ] x 3 x 3 5 x x 6 Haciendo denominador común tenemos: [ ] L x 3 x 3 5 (x 3)(x + ) x + 5 x 3 (x 3)(x + ) x 3 x + = 5 PROBLEMA 36 ( x x 3 ) x 3 Teniendo en cuenta que x 3 = ( x)( + x + x ), hacemos denominador común y resulta: + x + x 3 (x )(x + ) L x x 3 x ( x)( + x + x ) = 3 3 = 98

15 PROBLEMA 37 x 3 x Dividimos numerador y denominador por x Así: L x/x 3 x 3 + 0/x = + 0/x 3 Este resultado se puede obtener directamente sabiendo que se trata de una indeterminación del tipo / donde el numerador y denominador tienen el mismo grado, siendo uno los coeficientes de los términos de mayor grado 3 PROBLEMA 38 ( x + 4x x 4x) Tenemos una indeterminación del tipo Multiplicando y dividiendo por el conjugado resulta: L = ( x lím + 4x x 4x)( x + 4x + x 4x) x + 4x + x 4x 8x/x x + 4x (x 4x) x + 4x + x 4x 8 + 4x/x + 4x/x = 8 = 4 ( x + 4x + x 4x)/x PROBLEMA 39 n ( n + an + b n + cn + d) 99

16 Procediendo análogamente al problema anterior tenemos: L = ( n lím + an + b n + cn + d)( n + an + b + n + cn + d) n n + an + b + n + cn + d = (n + an + b) (n + cn + d) lím n n + an + b + n + cn + d (a c)n + (b d) n n + an + b + n + cn + d = (a c) + (b d) lím n n + a/n + b/n + + c/n + d/n = a c + = a c PROBLEMA x + x 4 x + Si dividimos numerador y denominador por x se obtiene: L 3x + / x 3 x / x 4 x + / x 3 + /x 3 x /x 3/ 4 + /x = Bastaba también en este caso comparar los grados del numerador y denominador para obtener el resultado PROBLEMA 33 ( 3 x 3 + ax 3 x 3 ax ) Si multiplicamos el numerador y denominador por el factor 3 (x 3 + ax ) + 3 (x 3 + ax )(x 3 ax ) + 3 (x 3 ax ), 00

17 tenemos L (x 3 + ax ) (x 3 ax ) 3 (x 3 + ax ) + 3 (x 3 + ax )(x 3 ax ) + 3 (x 3 ax ) ax 3 (x 3 + ax ) + 3 (x 3 + ax )(x 3 ax ) + 3 (x 3 ax ) a ( + a/x) + 3 ( + a/x)( a/x) + 3 ( a/x) = a 3 3 PROBLEMA 33 3 x + 3 x x + x Multiplicamos numerador y denominador por los conjugados de ambos para eliminar las raíces Así tenemos: ( 3 x + 3 x)( 3 (x + ) L + 3 x(x + ) + 3 x )( x + + x) ( x + x)( x + + x)( 3 (x + ) + 3 x(x + ) + 3 x ) x + + x 3 (x + ) + 3 x(x + ) + 3 x Tenemos una indeterminación del tipo /, donde el grado del numerador es / y el grado del denominador es /3 Como éste es mayor, el límite es cero PROBLEMA 333 ( 3 x 3 + x x ) Si escribimos L ( 6 (x 3 + x ) 6 ) (x ) 3 y aplicamos la fórmula a 6 b 6 = (a b)(a 5 + a 4 b + a 3 b + a b 3 + ab 4 + b 5 ), 0

18 con a = 6 (x 3 + x ) y b = 6 (x ) 3, tenemos que (x 3 + x ) (x ) 3 L (a 5 + a 4 b + a 3 b + a b 3 + ab 4 + b 5 ) Como el denominador toma la forma x 6 + 4x 4 + 4x 5 (x 6 3x 4 + 3x ) ( ) a 5 + a 4 b + a 3 b + a b 3 + ab 4 + b 5 = 6 (x 3 + x ) (x 3 + x ) 8 (x ) (x 3 + x ) 6 (x ) (x 3 + x ) 4 (x ) (x 3 + x ) (x ) + 6 (x ) 5 = 6 x (6) + 6 x 30 +, resulta L 4x 5 + 7x x (6) + 6 x 30 + = 4 6 = 3 PROBLEMA 334 x sen [x] Como el intervalo [0, ) no está en el dominio de la función, no existe lím x sen + [x] Por otra parte, si x 0, [x] = y lím x sen [x] x sen( ) = 0 PROBLEMA 335 x ( x) tg πx 0

19 Si hacemos el cambio de variable z = x y utilizamos la equivalencia de los infinitésimos tg z y z, cuando z 0, obtenemos: L = π(z + ) ( πz lím z tg z tg z 0 z 0 + π ) z cotg πz z 0 z z z 0 tg πz z 0 πz/ = π PROBLEMA 336 tg πx+ x 4 x 4 + De la identidad tg πx + ( π = tg x + ) = cotg x x = tg(/x) y de la equivalencia entre infinitésimos tg x, pues /x 0, podemos x escribir: L x 4 x 4 + x 4 x 4 + =, pues los grados del numerador y denominador coinciden PROBLEMA 337 ln 5 x 3 x + 7 ln x Debido a las propiedades de los logaritmos, tenemos: (/5) ln(x 3 x + 7) L ln x = 0 lím ( 3 ln x ln x + ln( /x + 7/x 3 ) ln x 03 = 0 lím ln x 3 ( /x + 7/x 3 ) ) ln x = 0 (3 + 0) = 3 0

20 PROBLEMA 338 x[ln(x + ) ln x] Como /x 0, resulta que ln( + /x) /x con lo que: L x ln x + ( x x ln + ) x x x = PROBLEMA x x ln x Cuando x 0, x x Entonces: ( x 0 por lo que ln + x ) x x L x ln + x x x x x x ln x = ( + x ) x PROBLEMA 340 ( ) x x 04

21 Debido a la equivalencia /x (ln ) /x, tenemos: ( ) L x /x x ln = ln x PROBLEMA 34 ( ) + x ln(+x) + x Como la base es siempre uno, el límite de la exponencial es L f(x) = Observación No hay en este caso ninguna indeterminación porque la función es constante PROBLEMA 34 ( ) n + n n n Se trata de una indeterminación del tipo Llamando L al límite y tomando logaritmos, tenemos: ln L n n ln n + n Como n +, tenemos la equivalencia ln n lo que resulta: ln L n n ( n + n ) ( ) n + n n n n = 05 ( ) n + n, con

22 En definitiva, L = e PROBLEMA 343 ( + sen x) /x De nuevo la indeterminación es de la forma y aplicamos el mismo procedimiento del problema anterior Así: sen x ln L ln( + sen x) ( + sen x ) =, x x x de donde L = e PROBLEMA 344 (cos ax) /x Al igual que los problemas anteriores podemos escribir ln L (/x ) ln cos ax Aplicando ahora las equivalencias entre infinitésimos ln cos ax cos ax a x /, resulta: ( a x ) ln L (cos ax ) x x = a / En definitiva, L = e a / PROBLEMA 345 [ ( tg x + π )] sen x 4 06

23 Tenemos de nuevo una( indeterminación del tipo y aplicamos las siguientes equivalencias: ln tg x + π ) ( tg x + π ), sen x tg x x: 4 4 ln L (x sen x ln tg + π ) [ ( tg x + π ) ] 4 [ ] sen x 4 tg x + sen x tg x tg x + + tg x sen x tg x tg x sen x( tg x) x x( tg x) = Entonces L = e PROBLEMA 346 ( ) x +cotg x x + x Como tenemos una indeterminación, aplicamos las equivalencias x ln x + x x x + x y posteriormente sen x x : ( ) ln L ( + cotg x x x) ln x + x ( + cotg x) x + x ( ) ( + cos x x ) ( x ) sen x x + x sen x x + x x ( x x + x Resulta entonces que L = e / = e ) x + x = / PROBLEMA 347 ( ) sen π sec π bx ax 07

24 Tenemos una indeterminación y procedemos de forma similar a los problemas anteriores: ln L sec sec π bx ln π sen ax ( sen π bx π ax Ahora bien, si escribimos cos π ax = cos y usamos las equivalencias sen obtenemos: ) cos cos π ax π bx ( π + πax ) = sen πax ( ax) ( ax) πax ( ax) πax ( ax), sen πbx ( bx) πbx ( bx), cos ln L cos π ax π bx ( πax (πax) 4( bx) (πbx) 4( ax) ) ( ax) ( ) πbx ( bx) a ( bx) b ( ax) = 4a 4b = a b En definitiva, L = e a /b PROBLEMA 348 x [cos(x ) + a sen(x )] / ln x Hacemos el cambio de variable z = x De este modo z 0 y ln(+z) z, con lo que tenemos: ln L z 0 ln( + z) cos z + a sen z z 0 z z 0 con lo que L = e a ln(cos z + a sen z) (cos z + a sen z ) z 0 ln( + z) ( cos z + a sen z ) = 0 + a = a, z z 08

25 PROBLEMA 349 ( ) n n a + n b n Tenemos nuevamente la indeterminación y utilizamos las equivalencias n a (/n) ln a y n b (/n) ln b Tenemos entonces: ln L n n n n ( ( n a + n b n a + ) ) n b n a n b n + lím n n n n n n ln a + lím n n ln ab ln b = = ln ab n En definitiva, L = ab PROBLEMA 350 [ ] n /n + 3 /n + 4 /n n 3 De forma análoga al problema anterior tenemos: [ ] ln L n /n + 3 /n + 4 /n n 3 = 3 lím n = 3 lím n [ /n /n [ (/n) ln + /n + 3/n /n (/n) ln 3 /n 09 ] + 4/n /n + (/n) ln 4 /n ] = [ln + ln 3 + ln 4] 3

26 Entonces L = e (/3) ln( 3 4) = 3 4 PROBLEMA 35 ( ) a /x + a /x + + a /x nx n n En este caso, como la indeterminación es también de la forma, el procedimiento es análogo al realizado en los dos problemas anteriores: ln L nx ( ) a /x + + a /x n a/x nx n ) ( x (a /x ) + + (a /x n ) x(a/x ) + + lím x(a/x n ) + + a /x n n n x x ln a + + lím x x ln a n = ln a + + ln a n Resulta entonces que L = a a n PROBLEMA 35 Encontrar las asíntotas de la función f(x) = x x (a) Las asíntotas verticales sólo se pueden encontrar para valores de x donde el límite sea infinito En este caso puede ser en x = pues anula el denominador Pero como lím f(x) (x + ) =, no hay (x )(x + ) x x x x asíntotas verticales (b) Para ver si hay asíntotas horizontales, debemos calcular: 0

27 x lím f(x) = (pues el grado del numerador es mayor que el x grado del denominador) lím f(x) x = (por la misma razón que antes Además el x x x numerador es positivo y el denominador negativo para valores de x próximos a ) Esto quiere decir que no hay asíntotas horizontales (c) Para comprobar la existencia de asíntotas oblicuas calcularemos los siguientes límites: f(x) m x x x(x ) =, pues el grado del numerador es igual al del denominador y son uno los coeficientes de x en ambos términos x b [f(x) mx] x x x x + x = x La asíntota oblicua es la recta y = x + Análogamente se obtiene para : m = f(x) lím x x x x x(x ) =, pues nuevamente el grado del numerador es igual al del denominador y son uno los coeficientes de x en ambos términos b = lím [f(x) mx] x x x x x = La recta y = x + también es asíntota oblicua para lím x x + x = x x PROBLEMA 353 Comprobar que no existen los siguientes límites: lím sen x, lím cos x, lím tg x Si existiera L por definición, sen x, debería ser L, porque sen x Además, ε > 0, M > 0 tal que x > M = L ε < sen x < L + ε

28 Ahora bien, es evidente que existen infinitos valores de x, de las formas kπ, π/ + kπ, 3π/ + kπ, cuyo valor absoluto es mayor que M, y para los cuales la función sen x toma, respectivamente, los valores 0,, Por tanto, si fijamos ε > 0 de modo que fuera del entorno (L ε, L + ε) queden por lo menos dos de tales valores, la función alcanzaría valores no contenidos en el entorno prefijado Esto prueba que L no puede ser el límite El mismo razonamiento sirve para probar que no existen lím cos x y lím tg x PROBLEMA 354 Demostrar que no existen los límites siguientes: a) lím x sen x b) lím x cos x c) lím x tg x d) lím e / sen x a) Veamos en primer lugar que el límite no puede ser infinito: En efecto, por definición, si lím x sen x =, dado cualquier número positivo M, debe existir k > 0 tal que x sen x > M, para todo x > k Sin embargo, siempre es posible encontrar valores de x superiores a k, para los cuales sen x, y por consiguiente, x sen x, es nulo, es decir, para los cuales x sen x M A continuación mostraremos que dicho límite no puede ser un número finito: Si fuese lím x sen x = L, a cada ε > 0 le correspondería un k > 0 tal que x sen x L < ε, para todo x > k Ahora bien, si consideramos un número k tal que k L > ε, siempre es posible encontrar valores x > k para los cuales sen x = y x sen x = x > k pero x sen x L > k L > ε, lo que contradice el hecho de que L es el límite Los apartados b) y c) se prueban de manera completamente análoga, apoyándose exclusivamente en el concepto de límite

29 Por último, como lím e/ sen x = + y lím + e/ sen x = e = 0, no existe el límite por ser distintos los límites laterales 3

30 D EJERCICIOS PROPUESTOS - Calcular (en caso de que existan) los límites siguientes: /x /3 a) lím x 3 x 3 Resp: -/9 b) lím x x x n Resp: /n x + x + + x n n c) lím x x Resp: d) lím x n(n + ) x + x x x Resp: / x x e) lím x x 4 Resp: /8 (x 3)( x ) f) lím x x + x 3 Resp: -/0 x g) lím x Resp: 4 x x h) lím x x Resp: 3 Sugerencia: Racionalizar numerador y denominador 4

31 i) lím x cosec x Resp: j) lím sen 3x tg 5x Resp: 3/5 sen x k) lím x + x Resp: l) lím ( cos x) cotg x Resp: 0 cos x m) lím x + sen 3x Resp: /8 n) lím cos 3 x x 3 Resp: o) lím + x cosec x Resp: / x sen(/x) p) lím sen x Resp: 0 sen x q) lím x Resp: 0 r) lím x π (x π) cotg x Resp: s) lím sen x cos x 5

32 Resp: sen(x π/3) t) lím x π/3 cos x Resp: / 3 ln tg[(π/4) + ax] u) lím sen bx Resp: a/b ( ) x x+ v) lím x 3 Resp: e ( n ) (n + 3 )/n x) lím n n + 4n Resp: e 4 - Calcular (en caso de que existan) los límites siguientes: { x 3 + a) lím f(x) con f(x) = x+ si x > x x si x < x Resp: (por la izquierda); 3 (por la derecha) x b) lím x / [x] Resp: No existe porque el intervalo [0, ) no está en el dominio de la función c) lím x 3 [x] 9 x 9 Resp: (por la izquierda); 0 (por la derecha) d) lím x 3 x 9 x 3 Resp: - 6 (por la izquierda), 6 (por la derecha) 6

33 x x e) lím + [x] x 3/ x 3 Resp: 8/9 Sugerencia: Calcular los límites laterales sen x f) lím x Resp: - (por la izq); (por la dcha) 3- Determinar los valores de a para los que existen los límites laterales lím f(x), lím f(x), y los casos en que dichos límites son x a + x a iguales: (a) f(x) = x [x] Resp: Existen a R Son iguales a R \ Z (b) f(x) = [x] + x [x] Resp: Existen y son iguales a R (c) f(x) = [/x] Resp: Existen cuando a 0 y a (por la izquierda); cuando a 0 y a < (por la derecha) Son iguales cuando a /n, n =,, 4- Encontrar las asíntotas de las siguientes funciones: a) f(x) = x 3 x 4 Resp: (V) x = ; (O) y = + x/ b) f(x) = x 4x 4 Resp: (V) x =, x = ; (H) y =, y = c) f(x) = x + x + Resp: (H) y = 7

34 x d) f(x) = x 4 Resp: (H) y = 0 5- Determinar la función f(x) = 3x + a para que y = sea asíntota px + horizontal y (, 0) sea el punto de corte con el eje X Dibujar su gráfica Resp: a = 6, p = 3/ 6- (a) Si no existen lím f(x) ni lím g(x), pueden existir lím[f(x) + x a x a x a g(x)] ó lím f(x)g(x)? x a Resp: Sí Ejemplos: f(x) = /x, g(x) = /x con a = 0; f(x) = x /x, g(x) = x/ x con a = 0 (b) Si existen lím x a f(x) y lím x a [f(x) + g(x)], debe existir lím x a g(x)? Resp: Sí porque g(x) = [f(x) + g(x)] f(x) (c) Si existe lím f(x) y no existe lím g(x), puede existir lím[f(x)+ x a x a x a g(x)]? Resp: No, porque si existiera, no se cumpliría el apartado anterior (d) Si existen lím x a f(x) y lím x a f(x)g(x), existe lím x a g(x)? Resp: Sólo en el caso en que lím x a f(x) 0 7- Decidir si los siguientes planteamientos son verdaderos o falsos: (a) Si lím x a f(x) = L, entonces lím h 0 f(a + h) = L Resp: Verdadero: basta hacer el cambio x a = h (b) Si lím x a f(x) = L, entonces lím f(x a) = L Resp: Falso: ejemplo f(x) = x (c) Si lím f(x) = L, entonces lím f(x 3 ) = L Resp: Verdadero: basta hacer el cambio x 3 = t 8

35 (d) Si lím f(x) = L, lím f( x ) = L + Resp: Verdadero (e) Si lím x a f(x) = L, entonces lím x a f (x) = L Resp: Verdadero, pues f(x) L f(x) L (f) Si lím f(x) = L, entonces lím Resp: Verdadero f(/x) = L + (g) lím x a f(x) = L lím x a (f(x) L) = 0 Resp: Verdadero (h) Si f(x) < g(x), x, entonces lím f(x) < lím g(x) x a x a { Resp: Falso Ejemplo: f(x) = x x si x 0, g(x) = en a = 0 si x = 0 (i) Si f(x) L < ε cuando 0 < x a < δ, entonces f(x) L < ε/ cuando 0 < x a < δ/ Resp: Falso Ejemplo: f(x) = x con a = (j) Si lím f(x) = 0, entonces lím f(x) sen(/x) = 0 Resp: Verdadero, pues sen(/x) 9