Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

Transcripción

1 Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Antonio Francisco Roldán López de Hierro * Convocatoria de 200 Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos para las pruebas de acceso a la Universidad en Andalucía de la asignatura Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. Está clasi cados por convocatorias y llevan un código como el siguiente B-2, que signi ca ejercicio 2 de la opción B del modelo 3 de la convocatoria de 200. Ejercicio 1 (200-1-A-2) Sea la función f de nida mediante f (x) = x + 1 2x 1 (a) [0 5] Determine los puntos de corte con los ejes. (b) [1] Estudie su curvatura. (c) [1] Determine sus asíntotas. (d) [0 5] Represente la función. Solución Observemos primeramente que dom f = R f1=2g, pues en x = 1=2 se anula el denominador de f. (Apartado a) El único punto de corte con el eje OY es (0; f (0)) = (0; las abscisas de los puntos de corte cumplen la ecuación 1). Con el eje OX, f (x) = 0, x + 1 = 0, x = 1; por lo que el único punto en el que f corta al eje OX es ( 1; 0). ( OX! ( 1; 0) OY! (0; 1) * Profesor del I.E.S. Acci de Guadix (Granada) - http// 1

2 (Apartado b) Para estudiar la curvatura de f necesitamos calcular su segunda derivada. Para x 2 R f1=2g se tiene que f 0 (x) = f 00 (x) = (2x 1) (x + 1) 2 (2x 1) 2 = ( 3) 2 (2x 1) 2 (2x 1) 4 = 3 (2x 1) 2 ; 12 (2x 1) 3 Como f 00 nunca se anula, estudiamos su signo en la siguiente tabla f 00 + f \ 1=2 [ Por tanto, la curvatura de f es la siguiente. < f es cóncava en ] 1; 1=2[ ; Curvatura f es convexa en ]1=2; +1[ (Apartado c) Como f es continua en su dominio, R f1=2g, el único punto candidato a asíntota vertical es x = 1 2 siguientes límites laterales lm f (x) = Indet. 0 x! (anula al denominador pero no al numerador). Calculamos los = 1; lm f (x) = Indet. 0 x! = +1 Lo anterior con rma que la recta x = 1=2 es asíntota vertical de f. Por otro lado, como f es una función racional y su numerador y su denominador poseen el mismo grado, estudiamos su asíntota horizontal n = lm f (x) = x!1 lm x!1 x + 1 2x 1 = 1 2 Por tanto la recta y = 1=2 es asíntota horizontal de f a ambos lados. AV. x = 1 2 ; AH. y = 1 2 (Apartado d). Uniendo todo lo anterior, realizamos la siguiente representación grá ca. y x Andalucía 2 Antonio Roldán

3 Ejercicio 2 (200-1-B-2) (a) [1 5] La grá ca de la derivada de una función f es la recta que pasa por los puntos (0; 3) y (4; 0). Estudie la monotonía de f. (b) [1 5] Calcule la derivada de las siguientes funciones g (x) = (3x + 1) 3 L x ; h (x) = ex 7x 5 4 Solución (Apartado a) Representamos grá camente la función derivada de f, que viene determinada por ser la recta que pasa por los puntos (0; 3) y (4; 0). y x 2 3 f ' Hay que tener la precaución de no confundir f 0 con f. La grá ca adjunta es la de la derivada (f 0 ). Pero nos da toda la información que necesitamos. Por ejemplo, el único punto en el que se anula f 0 (corta al eje OX) es x = 4, y la siguiente tabla nos indica la monotonía de f. f 0 + f & 4 % La monotonía de f queda así estudiada. Monotonía < f es (estrict.) decreciente en ] 1; 4[ ; f es (estrict.) creciente en ]4; +1[ (Apartado b) Las derivadas son las siguientes g 0 (x) = 3 (3x + 1) 2 3 L x (3x + 1) 3 = (3x + 1) 2 9 L x x (3x + 1) x x x = ; h 0 (x) = ex 7x 5 4 e x 35x 4 (7x 5 4) 2 = e x 7x 5 35x 4 4 (7x 5 4) 2. Ejercicio 3 (200-2-A-2, Septiembre) (a) [1 5] Halle la ecuación de la recta tangente a la grá ca de la función f (x) = 3 en el punto de abscisa x = 1. x Andalucía 3 Antonio Roldán

4 (b) [1 5] Halle los valores de a y b para que la función g (x) = ax + b x en el punto (1; 2). tenga un extremo relativo Solución Apartado (a). La ecuación de la recta tangente a la grá ca de una función f en un punto x = a en el que f sea derivable es y f (a) = f 0 (a) (x a) Como a = 1, los únicos datos que nos hacen falta son f (a) = f ( 1) = 3 1 = 3; f 0 (x) = 0 x 3 1 x 2 = 3 x 2 ; x 2 R f0g ) f 0 (a) = f 0 ( 1) = Por consiguiente 3 ( 1) 2 = 3 y f (a) = f 0 (a) (x a), y ( 3) = 3 (x ( 1)), y + 3 = 3 (x + 1),, y = 3 3x 3 = 3x 6 De esta forma, deducimos que la ecuación de la recta tangente a la grá ca de f en el punto de abscisa x = 1 es y = 3x 6 Apartado (b). Vamos a encontrar a y b estableciendo y resolviendo un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en base a los datos del problema. En primer lugar, debemos observar que g es (continua y) derivable en R f0g (su máximo dominio de de nición), siendo su función primera derivada x 2 R f0g ; g 0 (x) = a + 0 x b 1 x 2 = a + b x 2 = a Para que g posea un extremo relativo en el punto (1; 2), es necesario que ocurran dos cosas que la grá ca de la función g pase por el punto (1; 2), en cuyo caso g (1) = 2, y que su primera derivada en dicho punto se anule, es decir, g 0 (1) = 0 (la cual es una condición necesaria para que exista un extremo relativo). Estas dos condiciones nos llevan al sistema >< 2 = g (1) = a 1 + b 1 = a + b; < a + b = 2;, ) a = b = 1 > 0 = g 0 b (1) = a 1 2 = a b a b = 0 Por tanto, para que g cumpla las condiciones del enunciado, los valores de a y de b deben ser a = 1 y b = 1 b x 2 Andalucía 4 Antonio Roldán

5 Ejercicio 4 (200-2-B-2, Septiembre) Dada la función f (x) = 4 3x 2 + x 3, determine (a) [1 5] La monotonía y la curvatura de f. (b) [0 5] Los puntos donde la función alcanza sus extremos relativos. (c) [1] La ecuación de la recta tangente a la grá ca de f en el punto de abscisa x = 1. Solución Apartado (a). Es claro que el máximo dominio posible en el que se puede considerar la función f es R, ya que es polinómica, lo que además nos dice que es derivable en R (tantas veces como se quiera) y sus dos primeras derivadas son x 2 R; f 0 (x) = 3x 2 6x = 3x (x 2) ; f 00 (x) = 6x 6 = 6 (x 1) Los únicos puntos en los que se anula la primera derivada de f son x = 0 y x = 2, por lo que hacemos una tabla como la siguiente para estudiar la monotonía de f. f f % 0 & 2 % Igualmente, el único punto en el que se anula la segunda derivada de f es x = 1, por lo que la siguiente tabla nos indica la curvatura de f. Concluimos entonces lo siguiente. Monotonía Curvatura < < f 00 + f \ 1 [ f es (estrict.) creciente en ] 1; 0[ [ ]2; +1[ ; f es (estrict.) decreciente en ]0; 2[ f es cóncava en ] 1; 1[ ; f es convexa en ]1; +1[ Apartado (b). La tabla que hemos hecho para estudiar la monotonía nos dice, además, que en x = 0 hay un máximo relativo y en x = 2 hay un mínimo relativo. Como f (0) = 4 y f (2) = 0, a rmamos lo siguiente. Extremos < f posee un máximo relativo en (0; 4) ; f posee un mínimo relativo en (2; 0) Andalucía 5 Antonio Roldán

6 Apartado (c). La ecuación de la recta tangente a la grá ca de una función f en un punto x = a en el que f sea derivable es y f (a) = f 0 (a) (x a) Como a = 1, los únicos datos que nos hacen falta son f (a) = f ( 1) = = 0; f 0 (a) = f 0 ( 1) = 3 ( 1) 2 6 ( 1) = 9 Por consiguiente y f (a) = f 0 (a) (x a), y 0 = 9 (x ( 1)), y = 9 (x + 1) De esta forma, deducimos que la ecuación de la recta tangente a la grá ca de f en el punto de abscisa x = 1 es y = 9x + 9 Ejercicio 5 (200-3-A-2, Junio) Sea la función de nida de la forma 2x >< ; si x < 2; f (x) = x 1 > 2x 2 10x; si x 2 (a) [0 5] Halle el dominio de f. (b) [1 25] Estudie la derivabilidad de f en x = 2. (c) [1 25] Halle la ecuación de la recta tangente a la grá ca de f en el punto de abscisa x = 0. Solución Apartado (a). En el intervalo [2; +1[, la función f está de nida de una forma polinómica, por lo que podemos asegurar que está bien de nida y además es continua en el subintervalo abierto ]2; +1[ (en el extremo inferior x = 2 aún no sabemos si es o no continua porque no hemos estudiado el límite puntual por la izquierda). Por otro lado, si x < 2, la función pretende estar de nida de manera racional, pero el denominador se anula en el punto x = 1, por lo que debemos excluir este punto del dominio de f. En consecuencia, podemos a rmar que el mayor dominio posible en el que se puede considerar la función f correctamente de nida es dom f = R f1g Apartado (b). Para estudiar la derivabilidad de f en x = 2, hemos de estudiar primeramente si es continua en dicho punto. En primer lugar, observamos que el punto está en el dominio, Andalucía 6 Antonio Roldán

7 es decir, x = 2 2 dom f y su imagen por f es f (2) = 20 = 12. Veamos ahora si f posee límite en x = 2 estudiando sus límites laterales en dicho punto f 2 = lm x!2 f (x) = lm x!2 2x x 1 = = 4; f 2 + = lm f (x) = lm x!2 + x!2 2x2 10x = 20 = 12 + Como los límites laterales de f en x = 2 existen pero son distintos, podemos a rmar que la función f no es continua en x = 2 y, por consiguiente, tampoco es derivable en x = 2 (si fuese derivable, entonces sería continua en dicho punto, lo cual no ocurre). f no es derivable en x = 2 Apartado (c). Finalmente, la ecuación de la recta tangente a f en el punto de abscisa x = 0, si existe, es y f (0) = f 0 (0) (x 0) Por un lado, es sencillo calcular f (0) = 0= ( 1) = 0. Por otro lado, debemos calcular f 0 (0), si existe. Dado el carácter local de la derivación, para derivar f en x = 0 basta con derivar la expresión 2x= (x 1), pues coincide con f en el intervalo abierto ] 1; 2[, que contiene al punto x = 0. De esta forma x < 2; 2x x 1 0 = 2 (x 1) 2x (x 1) 2 = Así, f 0 (0) = 2= ( 1) 2 = 2, y la ecuación de la recta buscada es 2 (x 1) 2 y f (0) = f 0 (0) (x 0), y 0 = 2 (x 0), y = 2x Concluimos entonces que la recta tangente a la grá ca de f en el punto de abscisa x = 0 es la recta de ecuación y = 2x Ejercicio 6 (200-3-B-2, Junio) Sea la función f de nida mediante < x 2 + ax + b; si x < 1; f (x) = L (x) ; si x 1 (a) [1 5] Determine a y b sabiendo que f es continua y tiene un mínimo en x = 1. (b) [1 5] Para a = 1 y b = 1, estudie la derivabilidad de f en x = 1 y en x = 1. Andalucía 7 Antonio Roldán

8 Solución Apartado (a). La función f está de nida en el intervalo abierto ] 1; 1[ como una función polinómica, y en el intervalo abierto ]1; +1[ como la función logaritmo neperiano. Por tanto, dado el carácter local de la continuidad y de la derivabilidad, de entrada, podemos a rmar que f es continua y derivable en R f1g. El único punto en el que puede fallar la continuidad es en el punto x = 1. Estudiemos qué relación deben veri car los coe cientes a y b para que f sea continua en x = 1. Para ello, calculamos los límites laterales de f en x = 1 y establecemos que sean iguales. f 1 = lm x!1 f (x) = lm x!1 x 2 + ax + b = 1 + a + b; f 1 + = lm f (x) = lm L (x) = L (1) = 0 x!1 + x!1 + Para que f sea continua en x = 1, es necesario (y su ciente) que 1+a+b = 0, es decir, a+b = 1. Por otro lado, si f alcanza un mínimo en x = 1, entonces debe cumplirse que f 0 ( 1) = 0, ya que se ha comentado que f es derivable en dicho punto. Dado que si x < 1 se tiene que f 0 (x) = x 2 + ax + b 0 = 2x + a; entonces f 0 ( 1) = 0, 2 + a = 0, a = 2 Sabiendo ahora que f es continua en x = 1, podemos despejar a + b = 1 ) b = a 1 = 2 1 = 3 Por consiguiente, concluimos que los valores que hacen que f sea continua y, a la vez, tenga un mínimo en x = 1, son a = 2 y b = 3 Apartado (b). Supongamos ahora que a = siguiente. 1 y b = 1. Entonces podemos a rmar lo La función f es derivable en x = 1, pues ya se ha expuesto antes que, sean cuales sean los valores de a y de b, la función f es derivable en R f1g. La función f no es derivable en x = 1 ya que en dicho punto no es continua. Para ser continua en x = 1, hemos visto que los valores a y b deben veri car la relación a + b = 1, y los valores a = 1 y b = 1 no la cumplen. Así, f no es continua en x = 1 y, en consecuencia, no puede ser derivable en dicho punto. f es derivable en x = 1 y no lo es en x = 1. Andalucía Antonio Roldán

9 Ejercicio 7 (200-4-A-2) El bene cio de una empresa, en miles de euros, viene dado por la función B (x) = 3x x + 675; x 0; donde x representa el gasto en publicidad, en miles de euros. (a) [0 75] Calcule el gasto a partir del cual la empresa no obtiene bene cios. (b) [0 75] Calcule el valor de x que produce máximo bene cio. Cuánto es ese bene cio? (c) [0 75] Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento del bene cio de la empresa. (d) [0 75] Represente grá camente la función B. Solución El dominio de la función B es [0; +1[, y como se trata de una parábola cóncava, podemos dibujarla fácilmente conociendo su vértice. x B (x) y x v = b 2a = = x (Apartado a) El gasto (x) a partir del cual la empresa no obtiene bene cios es el punto en el que el bene cio vale cero, es decir, el punto en el que la función corta al eje de abscisas. B (x) = 0, 3x x = 0, x 2 40x 225 = 0, x 1 = 45; x 2 = 5 Como el valor x 2 = 5 no está en el dominio de f, podemos a rmar que la empresa no obtiene bene cios a partir de e (x = 45) invertidos en publicidad. (Apartado b) El bene cio máximo se alcanza cuando x = 20, y es de B (20) = 175. El bene cio máximo, que es de e, se alcanza invirtiendo e en publicidad. Andalucía 9 Antonio Roldán

10 (Apartado c) Como B es una función parabólica, conocemos su monotonía. Monotonía < f es (estrict.) creciente en [0; 20[ ; f es (estrict.) decreciente en ]20; +1[ (Apartado d) Ya hemos hecho la representación grá ca de f. Ejercicio (200-4-B-2) Calcule las derivadas de la siguientes funciones a) [0 75] f (x) = x e 7x b) [0 75] g (x) = 3 x L (x) c) [0 75] h (x) = x x 5 6x 6 d) [0 75] i (x) = (x + 1)2 x 2 2 Solución Las derivadas de las funciones son las siguientes f 0 (x) = 3x 2 e 7x + x e 7x 7 = e 7x 7x 3 + 3x g 0 (x) = 3 x L 3 L x + 3 x 1 x = 3x L 3 L x + 1 x h 0 (x) = 2x x 5 6x 6 + x x 5 6x 5 5x 4 = 2 x 5 6x 5 6 = x x 5 6x + 3 x x 4 6 = = 2 x 5 6x 5 16x x 4 24x 2 1 i 0 (x) = 2 (x + 1) x2 2 (x + 1) 2 2x 2 (x + 1) x 2 2 (x + 1) x (x 2 2) 2 = (x 2 2) 2 = = 2 (x + 1) ( x 2) (x 2 2) 2 = 2 (x + 1) (x + 2) (x 2 2) 2 Ejercicio 9 (200-5-A-2) Sea la función f (x) = x 3 6x 2. (a) [1] Determine sus puntos de corte con los ejes. (b) [1] Calcule sus extremos relativos y su punto de in exión. (c) [1] Represente grá camente la función. Andalucía 10 Antonio Roldán

11 Solución (Apartado a) El único punto de corte con el eje OY es (0; f (0)) = (0; 0). Con el eje OX, las abscisas de los puntos de corte cumplen la ecuación f (x) = 0, x 3 6x 2 = 0, x 2 (x 6) = 0, x 1 = 0; x 2 = 6; por lo que f corta al eje OX en (0; 0) y en (6; 0). ( OX! (0; 0) ; (6; 0) OY! (0; 0) (Apartado b) La primera derivada de f es f 0 (x) = 3x 2 12x = 3x (x 4), por lo que sus puntos críticos son x 1 = 0 y x 2 = 4. En la siguiente tabla estudiamos su monotonía y sus extremos relativos. f 0 + Máx mín + f % 0 & 4 % La derivada segunda de f es f 00 (x) = 6x 12 = 6 (x 2), por lo que el único candidato a punto de in exión es x = 2. f 00 PI + f \ 2 [ Como f (0) = 0, f (4) = 32 y f (2) = 16, concluimos entonces lo siguiente. Extremos < f posee un máximo relativo en (0; 0) ; f posee un mínimo relativo en (4; 32) f posee un punto de in exión en (2; 16) (Apartado c) De acuerdo con lo anterior, la grá ca de f es la siguiente. y f x < x 2 + 4; si x 1; Ejercicio 10 (200-5-B-2) Sea la función f (x) = ax + b; si x > 1 Andalucía 11 Antonio Roldán

12 (a) [2] Calcule a y b, sabiendo que f(2) = 7 y que f es continua en x = 1. (b) [1] Determine la ecuación de la recta tangente a la grá ca de f en el punto de abscisa x = 1. Solución (Apartado a) Para que f (2) = 7 debe cumplirse que 2a + b = 7. Por otro lado, como f es continua en x = 1, sus límites laterales son iguales, lo que nos lleva a la ecuación = a + b, es decir, a + b = 5. Resolviendo el sistema que se forma, deducimos que a = 2 y b = 3 (Apartado b) Por un lado, f ( 1) = = 5. Por otro lado, si x < 1, la primera derivada de f es f 0 (x) = 2x, de donde f 0 ( 1) = 2. Por tanto, la recta tangente a la grá ca de f en el punto de abscisa x = 1 es y 5 = 2 (x ( 1)), y 5 = 2x 2, y = 2x + 3 Ejercicio 11 (200-6-A-2) Sea la función de nida de la forma < e x ; si x 0; f (x) = x 2 + x + 1; si x > 0 (a) [1] Es f continua en x = 0? Es continua en su dominio? (b) [1] Es f derivable en x = 0? Es derivable en su dominio? (c) [1] Estudie la monotonía de f. Solución (Apartado a) De entrada, f es continua y derivable en R f0g, pues en el intervalo abierto ]0; +1[ coincide con la función exponencial (que es continua y derivable) y en ]0; +1[ coincide con una función polinómica (ocurre lo mismo). El único punto en el que vamos a estudiar la continuidad es en x = 0. (1) f (0) = e 0 = 1 < f (0 ) = e 0 = 1 (2) f (0 + ) = = 1 (3) f (0) = lm x!0 f (x) 9 = ; ) lm x!0 f (x) = 1 Andalucía 12 Antonio Roldán

13 Por consiguiente, f es continua en x = 0, y así concluimos que f es continua en R (Apartado b) La primera derivada de f es, al menos < e x ; si x < 0; x 2 R f0g ; f 0 (x) = 2x + 1; si x > 0 Queda por estudiar si f es derivable en x = 0, y para ello utilizamos los límites laterales de la función derivada 0 = lm x!0 f 0 (x) = e 0 = 1; f = lm x!0 + f 0 (x) = = 1 Como los límites laterales de la derivada son iguales, f es derivable en x = 0, lo que unido a que f 0 ya sabíamos que f era derivable en R f0g, nos lleva a que f es derivable en R; y su derivada es < e x ; si x 0; x 2 R; f 0 (x) = 2x + 1; si x > 0 (Apartado c) Buscamos los puntos en los que se anula la primera derivada de f. x 0; f 0 (x) = 0, e x = 0; imposible; x > 0; f 0 (x) = 0, 2x + 1 = 0, x = 1=2; imposible ya que 1=2 =2 ]0; +1[ Dado que f es derivable en R pero su derivada nunca se anula, ésta tiene siempre el mismo signo (positivo, ya que f 0 (0) = 1), lo que nos dice que f es (estrict.) creciente en R Es sencillo comprender cómo la función exponencial y la función parabólica se unen de manera continua y derivable en x = 0. y x Andalucía 13 Antonio Roldán

14 Ejercicio 12 (200-6-B-2) (a) [1 5] Calcule la ecuación de la recta tangente a la grá ca de f (x) = 2 en el punto de abscisa 1. x (b) [1 5] Sea la función g (x) = x 3 + ax 2 + b. Calcule a y b sabiendo que su grá ca presenta un punto de in exión en el punto (2; 5). Solución (Apartado a) Por un lado, f (1) = 2=1 = 2. Por otro lado, si x 6= 0, la primera derivada de f es f 0 (x) = 2, de donde f 0 (1) = 2. Por tanto, la recta tangente a la grá ca de x 2 f en el punto de abscisa x = 1 es y 2 = 2 (x 1), y 2 = 2x + 2, y = 2x + 4 (Apartado b) De los datos del enunciado deducimos que f pasa por el punto (2; 5), por lo que f (2) = 5, y que posee un punto de in exión en x = 2, de donde f 00 (2) = 0 (pues f es dos veces derivable en x = 2). Éstas son las dos ecuaciones que nos van a conducir a calcular a y b. Para cada x 2 R se tiene que f 0 (x) = 3x 2 + 2ax y f 00 (x) = 6x + 2a Entonces < Por tanto, f (2) = 5, + 4a + b = 5, 4a + b = 3; f 00 (2) = 0, a = 0, a = 6 a = 6 y b = 21 Andalucía 14 Antonio Roldán