M. Wiper Estadística 1 / 17. Variables discretas. Michael Wiper Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid
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- Gustavo Olivares Méndez
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1 M. Wiper Estadística 1 / 17 Variables discretas Michael Wiper Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid
2 M. Wiper Estadística 2 / 17 Objetivo Intropducir las variables discretas más importantes en el contexto de la GC.
3 M. Wiper Estadística 3 / 17 Tirando monedas En bastantes situaciones reales, el experimento de interés equivale a la situación de tirando monedas. Las condiciones son las siguientes Vamos haciendo ensayos, X 1, X 2,... Tirando monedas, apostando al negro en la ruleta,... Tirando monedas. En cada ensayo, existen dos posibles resultados X = 1 o X = 0. Cara o cruz, éxito o fracaso,... El resultado de cada ensayo es independiente de los ensayos anteriores. El resultado de la siguiente tirada no depende de lo que ha salido anterioremente. La probabilidad de éxito es constante. P(X = 1) = p. Ensayos de esta forma se llaman ensayos de Bernoulli.
4 M. Wiper Estadística 4 / 17 La distribución geométrica ¾Cuánto tiempo pasará antes de ver la primera cara?
5 La distribución geométrica ¾Cuánto tiempo pasará antes de ver la primera cara? Sea Y el número de cruces antes de ver la primera cara? P(Y = 0) = P({cara}) = p P(Y = 1) = P({cruz, cara}) = (1 p)p P(Y = 2) = P({cruz, cruz, cara}) = (1 p) 2 p. =... P(Y = y) = (1 p) y p. =... Una variable de este estilo se llama una variable geométrica. La media de la variable es E[Y ] = 1 p p. M. Wiper Estadística 4 / 17
6 M. Wiper Estadística 5 / 17 Ejemplo Un viajante va en un camino con varios semáforos. Supongamos que los semáforos operan de manera independiente y que en cada uno hay una probabilidad de 30 % de que esté en rojo en cualquier momento. ¾Cuál es la probabilidad de que el primer semáforo en que tiene que parar sea el tercero en su camino?
7 M. Wiper Estadística 5 / 17 Ejemplo Un viajante va en un camino con varios semáforos. Supongamos que los semáforos operan de manera independiente y que en cada uno hay una probabilidad de 30 % de que esté en rojo en cualquier momento. ¾Cuál es la probabilidad de que el primer semáforo en que tiene que parar sea el tercero en su camino? Hay dos verdes antes del primer semáforo en rojo. P({V, V, R}) = 0,7 0,7 0,3 = (1 0,3) 2 0,3 = 0, 147.
8 M. Wiper Estadística 5 / 17 Ejemplo Un viajante va en un camino con varios semáforos. Supongamos que los semáforos operan de manera independiente y que en cada uno hay una probabilidad de 30 % de que esté en rojo en cualquier momento. ¾Cuál es la probabilidad de que el primer semáforo en que tiene que parar sea el tercero en su camino? Hay dos verdes antes del primer semáforo en rojo. P({V, V, R}) = 0,7 0,7 0,3 = (1 0,3) 2 0,3 = 0, 147. En promedio, ¾cuántos semáforos verdes encuentre en su camino antes del primer rojo?
9 M. Wiper Estadística 5 / 17 Ejemplo Un viajante va en un camino con varios semáforos. Supongamos que los semáforos operan de manera independiente y que en cada uno hay una probabilidad de 30 % de que esté en rojo en cualquier momento. ¾Cuál es la probabilidad de que el primer semáforo en que tiene que parar sea el tercero en su camino? Hay dos verdes antes del primer semáforo en rojo. P({V, V, R}) = 0,7 0,7 0,3 = (1 0,3) 2 0,3 = 0, 147. En promedio, ¾cuántos semáforos verdes encuentre en su camino antes del primer rojo? E[Y ] = 0,7/0,3 = 2, 33
10 M. Wiper Estadística 6 / 17 La distribución binomial ¾Cuántas caras veremos en n tiradas de la moneda?
11 M. Wiper Estadística 6 / 17 La distribución binomial ¾Cuántas caras veremos en n tiradas de la moneda? Sea Z el número de caras en n tiradas. P(Z = z) = C z n pz (1 p) n z para z = 0, 1, 2,..., n. Z tiene una distribución binomial con parámetros n y p. La media de Z es E[Z] = np y la varianza es V [Z] = np(1 p).
12 M. Wiper Estadística 6 / 17 La distribución binomial ¾Cuántas caras veremos en n tiradas de la moneda? Sea Z el número de caras en n tiradas. P(Z = z) = C z n pz (1 p) n z para z = 0, 1, 2,..., n. Z tiene una distribución binomial con parámetros n y p. La media de Z es E[Z] = np y la varianza es V [Z] = np(1 p). ¾Qué es C z n?
13 M. Wiper Estadística 6 / 17 La distribución binomial ¾Cuántas caras veremos en n tiradas de la moneda? Sea Z el número de caras en n tiradas. P(Z = z) = C z n pz (1 p) n z para z = 0, 1, 2,..., n. Z tiene una distribución binomial con parámetros n y p. La media de Z es E[Z] = np y la varianza es V [Z] = np(1 p). ¾Qué es C z n? Es una combinación, es decir el número de maneras de arreglar n tiradas en z caras y n z cruces.
14 La distribución binomial ¾Cuántas caras veremos en n tiradas de la moneda? Sea Z el número de caras en n tiradas. P(Z = z) = C z n pz (1 p) n z para z = 0, 1, 2,..., n. Z tiene una distribución binomial con parámetros n y p. La media de Z es E[Z] = np y la varianza es V [Z] = np(1 p). ¾Qué es C z? n Es una combinación, es decir el número de maneras ( de arreglar ) n tiradas en z n caras y n z cruces. De vez en cuando se escribe o n C z z M. Wiper Estadística 6 / 17
15 M. Wiper Estadística 7 / 17 Calculando una combinación y la probabilidad binomial Se puede usar el triangulo de Pascal cuando n es pequeña pero es mucho más fácil usar Excel en problemas gordas.
16 M. Wiper Estadística 8 / 17 Ejemplo El mismo viajante cruce tres semáforos en su ruta al trabajo. Hallar la probabilidad de que tenga que parar en todos los tres.
17 M. Wiper Estadística 8 / 17 Ejemplo El mismo viajante cruce tres semáforos en su ruta al trabajo. Hallar la probabilidad de que tenga que parar en todos los tres. 0,3 0,3 0,3 = 0,027 Y la probabilidad de que tenga que parar en exactamente dos de los semáforos. {R, R, V } {R, V, R} {V, R, R} P(Z = 2) = 0,3 0,3 0,7 + 0,3 0,7 0,3 + 0,7 0,3 0,3 = 3 0,3 2 0,7 = C 2 3 0,3 2 (1 0,3) 3 2 = 0, 189
18 M. Wiper Estadística 9 / 17 Ejemplo Calcular la probabilidad de ver exactamente 10 caras en 30 tiradas de una moneda con P(cara) = 0,4.
19 M. Wiper Estadística 10 / 17 Ejemplo ¾Y la probabilidad de ver 10 caras o menos?
20 M. Wiper Estadística 11 / 17 Sucesos raros Muchos sucesos como accidentes, asasinatos, incendios, se pueden clasicar estadísticamente como sucesos raros. Bajo ciertos supuestos, se pueden modelizar sucesos de este tipo con un proceso de Poisson. En un muy pequeño periodo de tiempo de tamaño h, la probabilidad de que ocurre un suceso es aproximadamente proporcional a h. La probabilidad de que ocurren dos sucesos o más en un muy pequeño periodo de tiempo es casi cero. Para dos periodos de tiempo distintos, (que no solapan), los sucesos que ocurren en cada periodo son independientes.
21 M. Wiper Estadística 12 / 17 La distribución de Poisson Sea X el número de sucesos en un periodo de tamaño t. Luego P(X = x) = (λt)x e (λt) para x = 0, 1, 2,... x! donde λ es el número medio de sucesos que ocurren en un periodo de tamaño 1. Se tiene E[X ] = λt y V [X ] = λt. En este caso se dice que X sigue una distribución de Poisson.
22 M. Wiper Estadística 12 / 17 La distribución de Poisson Sea X el número de sucesos en un periodo de tamaño t. Luego P(X = x) = (λt)x e (λt) para x = 0, 1, 2,... x! donde λ es el número medio de sucesos que ocurren en un periodo de tamaño 1. Se tiene E[X ] = λt y V [X ] = λt. En este caso se dice que X sigue una distribución de Poisson. ¾Qué es e?
23 M. Wiper Estadística 12 / 17 La distribución de Poisson Sea X el número de sucesos en un periodo de tamaño t. Luego P(X = x) = (λt)x e (λt) para x = 0, 1, 2,... x! donde λ es el número medio de sucesos que ocurren en un periodo de tamaño 1. Se tiene E[X ] = λt y V [X ] = λt. En este caso se dice que X sigue una distribución de Poisson. ¾Qué es e? El número de Euler o constante de Napier, e 2,71828.
24 M. Wiper Estadística 12 / 17 La distribución de Poisson Sea X el número de sucesos en un periodo de tamaño t. Luego P(X = x) = (λt)x e (λt) para x = 0, 1, 2,... x! donde λ es el número medio de sucesos que ocurren en un periodo de tamaño 1. Se tiene E[X ] = λt y V [X ] = λt. En este caso se dice que X sigue una distribución de Poisson. ¾Qué es e? El número de Euler o constante de Napier, e 2, ¾Qué es x!?
25 M. Wiper Estadística 12 / 17 La distribución de Poisson Sea X el número de sucesos en un periodo de tamaño t. Luego P(X = x) = (λt)x e (λt) para x = 0, 1, 2,... x! donde λ es el número medio de sucesos que ocurren en un periodo de tamaño 1. Se tiene E[X ] = λt y V [X ] = λt. En este caso se dice que X sigue una distribución de Poisson. ¾Qué es e? El número de Euler o constante de Napier, e 2, ¾Qué es x!? x (x 1) (x 2) 2 1.
26 M. Wiper Estadística 12 / 17 La distribución de Poisson Sea X el número de sucesos en un periodo de tamaño t. Luego P(X = x) = (λt)x e (λt) para x = 0, 1, 2,... x! donde λ es el número medio de sucesos que ocurren en un periodo de tamaño 1. Se tiene E[X ] = λt y V [X ] = λt. En este caso se dice que X sigue una distribución de Poisson. ¾Qué es e? El número de Euler o constante de Napier, e 2, ¾Qué es x!? x (x 1) (x 2) 2 1. ½Más fácil con Excel!
27 M. Wiper Estadística 13 / 17 Ejemplo Cuando se instalan en la antigua gasolinera de Chinchón, las Guardias detectan 80 infracciones en promedio en un día laboral de 8 horas con el radar escondido. ¾Cuál es la probabilidad de pillar exactamente 70 conductores corriendo en un día? P(X = 70) = 8070 e 80 70! = 0,025
28 M. Wiper Estadística 14 / 17 Ejemplo ¾Cuál es la probabilidad de pillar menos o igual a 70 conductores en un día laboral?
29 M. Wiper Estadística 15 / 17 Ejemplo ¾Cuál es la probabilidad de no pillar ningún conductor corriendo demasiado en un periodo de una hora? El número medio de accidentes en una hora es = 10. P(0 accidentes) = 100 e 10 0! = e 10 = 0,000046
30 Ejemplo La tasa media de homicidios por año en España es aproximadamente 0, 7 por cada 1000 habitantes. En Aranjuez, la población es aproximadamente Estimar la probabilidad de que en un año dado, hay más de 50 homicidios. M. Wiper Estadística 16 / 17
31 M. Wiper Estadística 16 / 17 Ejemplo La tasa media de homicidios por año en España es aproximadamente 0, 7 por cada 1000 habitantes. En Aranjuez, la población es aproximadamente Estimar la probabilidad de que en un año dado, hay más de 50 homicidios. Se puede aplicar la distribución de Poisson también aquí. El número medio de homicidios por año en Aranjuez es 0, /1000 = 42. P(X > 50) = 1 P(X 50) = 0,0975.
32 M. Wiper Estadística 17 / 17 Resumen y siguiente sesión Hemos visto algunas de las distribuciones discretas más utilizadas. En la siguiente sesión, introduciremos la distribución normal, la distribución continua más utilizada.
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