Cuando la distribución viene dada por una tabla: 2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA.

Transcripción

1 1. DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS. El siguiente grafico corresponde a una distribución de frecuencias de variable cuantitativa y discreta pues solo puede tomar valores aislados (0, 1, 2, 3, 10). Se trata de un diagrama de barras que representa el número de aciertos en un test realizado a un grupo de 65 alumnos Este gráfico representa el tiempo que tardan en llegar al instituto un grupo de alumnos. La variable es continua, cada individuo puede tener un valor situado en un punto cualquiera del intervalo al que pertenece. El gráfico se llama histograma. Las frecuencias correspondientes a los intervalos son proporcionales a las áreas de los rectángulos respectivos. Cálculo de la media ( x ) y la desviación típica( σ ) x i f i x 1 f 1 x 2 f 2 x n f n Cuando la distribución viene dada por una tabla: Media: x = x 1 f 1 +x 2 f 2 + +x n f n f 1 +f 2 + f n Varianza: σ 2 = f 1 x 1 2 +f 2 x f n x n 2 f 1 +f 2 + f n = f ix i f i x 2 = f 2 i x i 2 x f i Desviación típica: σ = varianza 2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA. Las distribuciones de probabilidad son idealizaciones teóricas de las distribuciones de frecuencias relativas. En una distribución de probabilidad de variable discreta se asigna a cada valor de la variable su probabilidad. x i P(x i ) x 1 p 1 x 2 p 2 x n p n Cada p i es un número comprendido entre 0 y 1. Además la suma de todos ellos es 1, p i = 1. La media, la varianza y la desviación típica se definen de forma similar: Media: μ = p 1 x 1 + p 2 x 2 + p n x n = p i x i 3. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. Varianza: σ 2 = p i x i 2 μ 2 Desviación típica: σ = varianza Una variable aleatoria se dice que sigue una distribución binomial si se cumple: En cada realización del experimento sólo hay dos posibles resultados: éxito o fracaso (cara o cruz, sano enfermo, defectuoso o no defectuoso, ) Cada realización del experimento es independiente de las anteriores. La probabilidad de éxito es p y la de fracaso q, entonces q = 1 p. El número de veces que se realiza el experimento es finito (n). 1

2 Por ejemplo son distribuciones binomiales las siguientes: Lanzar una siete dados y preguntarnos por el número de unos que han salido. Lanzar una moneda 10 veces y preguntarnos por cuántas han salido cara. Cálculo de probabilidades en una distribución binomial B(n, p). Si x es una variable aleatoria B(n, p), la probabilidad de obtener k éxitos es: P[x = k] = ( n k ) pk q n k Los parámetros de esta distribución son: μ = n p y σ = npq Ejemplo: Lanzamos siete monedas, calcular la probabilidad de obtener 3 caras. P[x = 3] = ( 7 3 ) 0,53 0,5 4 = 7! 3!4! 0,53 0,5 4 = 0, DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLE CONTINUA. Las distribuciones de probabilidad de variable continua son idealizaciones de las distribuciones estadísticas de variable continua. Estas se obtienen empíricamente (experimentando u observando). Aquellas son distribuciones teóricas. Por ejemplo: pesos, estaturas, tiempos, son variables continuas. Idealización La distribuciones de probabilidad de variable continua se definen mediante una función, y = f(x), que se llama función de probabilidad o función de densidad y que cumple: f(x) tiene que ser no negativa: f(x) 0 para todo x. El área bajo la curva y = f(x) sea igual a 1. f(x) 0 Para hallar la probabilidad P[a x b], obtendremos el Área que hay bajo la curva en el intervalo [a, b]. Área=1 P[a x b] La probabilidad de los sucesos puntuales es cero P[x = a] = 0, P[x = b] = 0, Así P[a x b] = P[a < x < b] La media (μ) y la desviación típica (σ) tienen el mismo significado que en las distribuciones estadísticas, son respectivamente, el centro de gravedad y la medida de dispersión. 2

3 Ejemplo: Calcular el valor de m para que la función f(x) = Sea una función de densidad y hallar P[3 x 4]. 5. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL. m si x [2,6] 0 si x [2,6] Existen una gran cantidad de fenómenos naturales, tales como la talla, el peso de las personas, la frecuencia cardíaca, el tamaño de los tomates en un invernadero, etc que una vez estudiados presentan ciertas características, tales como la aproximación de los valores a la media, la simetría de éstos, escasos valores alejados de la media. Etc. Este comportamiento es considerado normal. Su función de densidad fue establecida por GAUSS que dio su nombre a la gráfica de la distribución estadística más utilizada: campana o curva de Gauss. Para cada valor de μ y de σ hay una curva normal que se designa y = Por N (μ, σ), todas las curvas normales son esencialmente iguales. Tabla de áreas bajo la normal N(0,1) 1 σ 2π e 1 2 (x μ σ )2 La tabla nos da las probabilidades P[z k]. A estas probabilidades se les llama Φ(k). Por ejemplo P[z 0,45]= Φ(0,45) = 0,6736 ; P[z 2,9]= Φ(2,9) = 0,9981 Si conocemos el valor de la probabilidad: P[z k] = Φ(k) = 0,9941 entonces K = 2,52. 3

4 Cálculo de probabilidades en una distribución N (0,1) Si k 0, p(z k) = P(z < k) se encuentra directamente en las tablas. P[z k] P[z k] = 1 P[z < k] = 1 Φ(k). Para abscisas negativas P[z k] = P[z k] = 1 Φ(k). P [z k] Las demás probabilidades se pueden obtener a partir de estas como se ve en los siguientes ejemplos: a)p[z 2,25] = 1 P[z < 2,25] = 1 Φ(2,25) = 1 0,9878 = 0,0122 b) P[0,75 < z < 1,87] = P[z < 1,87] P[z < 0,75] = 0,9693 0,7734 = 0,1959 c) P[ 0,75 < z 2,3] = P[z 2,3] P[z < 0,75] = 0,9893 P[z > 0,75] = 0,9893 (1 P[z < 0,75]) = 0, P[z < 0,75] = 0, ,7734 = 0,7627 d) P[ 1,95 < z 1] = P[1 < z < 1,95] = P[z < 1,95] P[z < 1] = 0,9744 0,8413 = 0,1331 Cálculo de probabilidades en una distribución N (μ,σ) Si x es una N (μ, σ), para calcular la probabilidad P[h < x < k], se procede del siguiente modo: N(0,1). P[h < x < k] = P [ h μ σ El cambio Z = x μ σ k μ < z < ] σ se llama tipificación de la variable, la variable Z sigue una Ejemplo: En una N (6,4) P[5 x 8] = P[ 0,25 z 0,5] = P[z 0,5] P[z 0,25] = P[z 0,5] (1 P[z 0,25]) = 0, ,5987 = 0, LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL SE APROXIMA A LA MORMAL. Una distribución binomial B (n, p) se parece a una curva normal tanto más cuanto mayor sea el producto n p (0 n q, si q < p). Si n p 5 y nq 5 la aproximación es casi perfecta. 4

5 X B ( n, p) se aproxima a una normal N(np, npq) Como la binomial es de variable aleatoria discreta, por tanto tiene sentido calcular las probabilidades puntuales, al contrario que la distribución normal, que son cero; para calcular en casos de aproximar a una normal la probabilidad de un valor determinado es necesario hacerlo de la siguiente forma: Si X es una binomial B (n, p) y se aproxima a X, N(np, npq), el cálculo de probabilidades de X puede hacerse a partir de X así: P[X = k] = P[k 0,5 < X < k + 0,5] P[a X < b] = P[a 0,5 < X < b 0,5] P[a < X b] = P[a + 0,5 < X < b + 0,5] P[a < X] = P[a + 0,5 < X ] Por ejemplo: P[2 < X < 4] = P[x = 3] = P[3 0,5 < X < 3 + 0,5] P[2 X < 4] = P[X = 2 o X = 3] = P[1,5 < X < 3,5] P[2 X 4] = P[X = 2 o X = 3 o X = 4] = P[1,5 < X < 4,5] Ejemplo: En una binomial B (200; 0,3), calcular P[X 60]. np y nq mayores que 5 μ = 200 0,3 = 60 σ = 200 0,3 0,7 = 6,48 X es una B (200; 0,3) / X es una Normal N (60; 6,48) y Z es una normal (0,1) 69,5 60 P[X 70] = P[X > 69,5] = P [Z > ] = P[Z > 1,47] = 1 P[Z < 1,47] 6,48 = 1 0,9292 = 0,0708 5