TEMA 2.- VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES.- CURSO 17/18

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1 TEMA 2.- VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES.- CURSO 17/ Concepto de variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias: discretas y continuas Variables aleatorias discretas. Diagrama de barras Función de distribución. Cálculo de la función de distribución para variables discretas Medidas asociadas a variables discretas Algunos modelos para variables discretas. Procedimiento para abordar problemas de modelos discretos Variables aleatorias continuas: función de densidad, función de distribución y medidas asociadas Algunos modelos para variables continuas.

2 2.1. Concepto de variable aleatoria Objetivo: En vez de calcular probabilidades asociadas a un experimento aleatorio queremos MEDIR alguna característica asociada al mismo. Definición: Sea Ω el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Llamaremos VARIABLE ALEATORIA a una función X : Ω. Esta función convierte la probabilidad P definida en Ω en otra probabilidad, P *, definida en los números reales, que es donde trabajaremos desde este tema en adelante. A P * se le llama PROBABILIDAD INDUCIDA por P y es una medida de probabilidad. De hecho, HEREDA todas las propiedades de P (p.e. * P( Ω ) = 1 P ( ) = 1 ).

3 Observación: A veces no está claro ni el espacio muestral ni el experimento aleatorio pero nos interesa estudiar MEDIDAS en las que hay incertidumbre. Por ejemplo, la variable Z Concepto de variable aleatoria Ejemplo 1: X: número de caras al lanzar dos veces una moneda. Supondremos que la moneda está cargada es decir, la probabilidad de obtener cara es doble que la de obtener cruz. Y: Número de veces que hay que lanzar un dado hasta obtener un 5. Z: tiempo que transcurre hasta que un mensaje llega a su destino en una red de comunicaciones. Obtener para X: el espacio muestral, los valores que toma X y calcular la probabilidad, P * a partir de P, para estos valores.

4 TIPOS DE VARIABLES ALEATORIAS Estudiaremos dos tipos de variables aleatorias: 1.- DISCRETAS: son aquellas que toman un conjunto finito o numerable de valores. Las variables X e Y del ejemplo 1 lo son. X toma un número FINITO de valores e Y un número INFINITO NUMERABLE de valores. 2.- CONTINUAS: son aquellas que toman valores en intervalos de la recta real. La variable Z del ejemplo 1 lo es y toma un número INFINITO NO NUMERABLE de valores. Objetivos del tema: caracterizar ambos tipos de variables, calcular probabilidades y algunas medidas asociadas a ellas y conocer algunos modelos que aparecen frecuentemente en situaciones reales.

5 2.2. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Definición: Llamaremos distribución o función de probabilidad de una variable discreta X al conjunto de valores que toma, x i, junto con sus probabilidades, p i = P(X = x i ), i = 1,2,3,. Además, los valores p i verifican: 1. p 0 i 2. p = 1 i= 1 i Ejemplo 2: (problema 1) Obtener la función de probabilidad de X: número de cruces al lanzar dos veces una moneda. Supondremos que la moneda está cargada es decir, la probabilidad de obtener cara es doble que la de obtener cruz.

6 2.2. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Cálculo de probabilidades: ( ) P X A p = x A i Gráficos: El gráfico adecuado para representar una variable discreta es el diagrama de barras: sobre el eje OX se levantan sobre los valores x i barras de altura p i. Ejemplo 3: Para la variable X del problema 1, dibujar el diagrama de barras asociado y calcular: ( 3/2, ) ( 1, ) ( > 1, ) ( 2) ( 1 1/2, ) ( 1 2, ) ( 1< < 2) P X P X P X P X P X P X P X i

7 2.3. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Otra forma de caracterizar una variable aleatoria cualquiera, discreta o continua, es mediante una función que llamaremos función de distribución. Definición: Sea X : Ω una variable aleatoria. Llamaremos función de distribución asociada a la variable X a una función F : definida como X X ( ) ( (, ]) ( ) para todo F x = P X x = P X x x

8 PROPIEDADES DE F X 1 ( ) ( ) ( ) ( ) lim F x = F = 0 y lim F x = F + = 1 x X X X X x 2 F X es monótona no decreciente: X ( ) ( + ) > 0 F x F x h h 3 F X es continua por la derecha: lim h o + X ( + ) = ( ) ó lim ( ) = ( ) F x h F x F x F x X X X X x x Teorema : Una función es función de distribución de alguna variable aleatoria X F verifica las tres propiedades anteriormente enunciadas

9 Ejemplo 4: Obtener la función de distribución para la variable del problema 1, X: número de cruces obtenidas al lanzar dos veces una moneda cargada. Comprobar que verifica las tres propiedades de la transparencia anterior. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN PARA VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad { x. Entonces, la función de distribución i, pi} de X es: ( ) ( ) FX x = P X x = p x x Las funciones de distribución de variables aleatorias discretas SIEMPRE son FUNCIONES ESCALONADAS. i i

10 2.4. MEDIDAS ASOCIADAS A VARIABLES DISCRETAS Medidas de centralización: Dan una idea de los valores centrales o centro de la distribución. Son: MEDIA llamada también ESPERANZA o VALOR ESPERADO. MEDIANA, CUARTILES Y CUANTILES. Medidas de dispersión: Dan una idea de la distancia de la distribución a los valores centrales de la misma. Las más importantes son: VARIANZA y la DESVIACIÓN TÍPICA, que miden distancia a la media.

11 MEDIA O ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA X Dado un conjunto de datos x 1, x 2,..., x n, sabemos calcular la media de los mismos, en concreto 1 1 n x = x x x = x f n n n n k k k i i= i n i = i i i i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 n i = frecuencia del dato x i ; f i : frecuencia relativa del dato x i. Definición: Sea X una v.a. discreta con función de probabilidad { x Llamaremos esperanza i, pi}, i = 1,2,... matemática o media de la variable aleatoria X al valor µ = E[ X] = xp i i < i

12 MEDIA DE UNA TRANSFORMACIÓN Y = g(x) DE UNA VARIABLE ALEATORIA X DISCRETA Teorema: Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad { xi, pi}, i = 1,2,... y sea Y= g(x) una transformación de X tal que Y es una v.a. Entonces, [ ] EY = EgX [ ( )] = gx ( i ) p Caso particular: Sea X variable aleatoria discreta. Sea Y = ax+b, una transformación lineal de X. Entonces se verifica que i= 1 E[Y] = E[aX + b ] = a E[X] + b. i

13 MEDIANA DE UNA VARIABLE ALEATORIA X DISCRETA Dado un conjunto de datos x 1, x 2,..., x n, sabemos calcular la mediana de los mismos, en concreto, ordenamos los datos y: si n es impar Me = dato que ocupa el centro. si n es par Me = media entre los dos datos centrales La mediana es un valor, Me, tal que el 50% de los datos son menores o iguales que Me y el otro 50% son mayores o iguales que Me. Definición: Sea X una variable aleatoria discreta con función de distribución F. La mediana, Me, es el menor valor tal que P ( X Me) = F ( Me) 0.50

14 CUANTILES DE ORDEN α DE UNA VARIABLE ALEATORIA X DISCRETA Definición: Sea X una variable aleatoria discreta con función de distribución F. El cuantil de orden α, 0 < α < 1, es el menor valor q α tal que ( ) ( ) P X q = F q α α α Me = q 0.50 La mediana es el cuantil de orden α = 0.50, Los cuantiles de órdenes 0.25 y 0.75 se llaman primer cuartil, y tercer cuartil, respectivamente. Ejemplo 5: Para X: número de cruces al lanzar dos veces una moneda cargada, calcular la media, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil, la varianza y la desviación típica. Calcular la media y la varianza de Y = 5X+3.

15 VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA X DISCRETA Para un conjunto de datos x 1, x 2,..., x n, la varianza es Definición: Sea X una variable aleatoria discreta con media µ = E[X]. Llamaremos varianza de X, V(X), al valor ( [ ]) ( ) n S = xi x n i = 1 2 V( X) = σ = E[ X E X ] = E[ X µ ] Propiedades de la varianza de una variable aleatoria X: 1. V(X) V( X) = EX [ ] E[ X] (forma de cálculo). Si la función de probabilidad de X es 2 2 { xi, pi}, i = 1,2,... E X = xi pi 2 i= 1 3. V ( ax + b) = a V ( X ) a, b Definición: Sea X v.a. discreta y V(X) su varianza. Llamaremos desviación típica de X: σ = dt X = + V X ( ) ( ) ( ) 2

16 2.5. ALGUNOS MODELOS PARA VARIABLES DISCRETAS Estudiamos algunas variables aleatorias discretas que sirven como modelos en situaciones reales Distribución uniforme discreta de parámetro n Distribución Binomial de parámetros n y p. X Bnp, Distribución Geométrica de parámetro p. X G( p) Distribución Binomial Negativa de parámetros r y p X BN ( r, p) Distribución Poisson de parámetro λ. X P( λ ) ( )

17 DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA DE PARÁMETRO n Definición: Diremos que X sigue una distribución uniforme discreta de parámetro n si toma un número finito de valores x 1, x 2,, x n todos ellos con la misma probabilidad 1/n. Este modelo recoge situaciones de máxima incertidumbre. Ejemplo 6: Las siguientes variables siguen una distribución uniforme discreta: X: número que se obtiene al elegir aleatoriamente un número entero entre 1 y 4. Y: número que se obtiene en el sorteo de la lotería de Navidad. Z: resultado que se obtiene en el lanzamiento de un dado

18 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL de parámetros n y p Situación: Se realiza un experimento aleatorio en el que: Nos interesa observar si se verifica o no un cierto suceso A (éxito) que tiene probabilidad p, P(A) = p (por ejemplo, en una dado, obtener un 5 (A) o no obtener un 5; en un proceso de fabricación ver si la pieza producida es defectuosa (A) o no) P(A) = p, se mantiene constante al repetir el experimento Las repeticiones del experimento son independientes En este contexto se define la variable X que mide X: número de veces que ocurre el suceso A (éxito) en n repeticiones del experimento. Por definición, se dice que X es BINOMIAL de parámetros n y p y X Bnp, se denota como ( )

19 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Ejemplo 7: Para la variable X: número de veces que sale un 5 al lanzar 3 veces un dado, a) Comprobar que es binomial y dar los parámetros. b) Calcular P (X = 1). c) Calcular la probabilidad de salga más de una vez un cinco al lanzar 3 veces un dado. ( ) En general, si X Bnp,, su función de probabilidad, su media y su varianza son: n k n k P( X = k) = p ( 1 p), k = 0,1,2,..., n, k [ ] = ; ( ) = ( 1 ) E X np V X np p

20 DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA En las mismas condiciones que en el caso de la binomial: Se realiza un experimento aleatorio: Nos interesa observar si se verifica o no un cierto suceso A P(A) = p, se mantiene constante al repetir el experimento Las repeticiones del experimento son independientes Se define la variable Y, Y: número de veces que hay que repetir el experimento para que ocurra por primera vez el suceso A (primer éxito). Por definición, X es GEOMÉTRICA de parámetro p X G( p)

21 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA Ejemplo 8: Para la variable Y: número de veces que hay que lanzar un dado hasta que sale por primera vez un 5 a) Comprobar que es geométrica y dar el parámetro. b) Calcular la probabilidad de haya que lanzar 6 veces el dado para que salga un 5. En general, si varianza son: X ( ) G p su función de probabilidad, su media y su ( ) ( ) [ ] ; V( X) k 1 P X = k = p 1 p, k = 1,2,3,..., E X 1 1 = = p p 2 p

22 Propiedades de la distribución geométrica G(p) 1. Para comprobar que las probabilidades suman 1, hay que usar la suma de la serie geométrica, k k 1 1 a = a = si a < 1 1 a k= 0 k= 1 2. k ( > ) = ( 1 ) 1 = ( 1 ) P X r p p p k= r+ 1 r 3. La geométrica es la única variable discreta que verifica la propiedad de falta de memoria ( ) ( ) P X > n+ r / X > r = P X > n, n, r = 0,1,2,

23 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA En las mismas condiciones que para definir las distribuciones binomial y geométrica: Se realiza un experimento aleatorio: Interesa observar si se verifica o no un suceso A (éxito) P(A) = p, se mantiene constante al repetir el experimento Las repeticiones del experimento son independientes Se define la variable aleatoria Z, Z: número de veces que hay que repetir el experimento para que ocurra por r-ésima vez vez el suceso A (éxito r-ésimo). Por definición, X es BINOMIAL NEGATIVA de parámetros r y p. X (, ) BN r p

24 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA Ejemplo 9: Para la variable X: número de veces que hay que lanzar un dado hasta que sale un 5 por cuarta vez, a) Comprobar que X es binomial negativa y dar sus parámetros. b) Calcular P(X = 10) ( ) En general, si X BN r, p, su función de probabilidad, su media y su varianza son: k 1 r k r P( X= k) = p( 1 p), k= rr, + 1,..., r 1 r r( 1 p) E[ X] = ; V( X) = 2 p p

25 DISTRIBUCIÓN DE POISSON Condiciones para su definición: Ocurrencia de sucesos independientes en el tiempo λ= número medio de sucesos/unidad tiempo, se mantiene constante a lo largo del tiempo. Por definición, se dice que X: número de sucesos que ocurren en una unidad de tiempo, tiene distribución de Poisson de parámetro λ. Su función de probabilidad, media y varianza son: k λ λ ( ) [ ] ( ) P X = k = e, k = 0,1,2,3,...,con λ > 0; E X = V X = λ k! Observación: A veces se trabaja en otras unidades continuas distintas del tiempo: superficie, volumen,

26 Nota: Las funciones de probabilidad de los modelos discretos, sus medias y varianzas, están en el formulario de la asignatura en Moodle. EJEMPLO DISTRIBUCIÓN DE POISSON Ejemplo 10: Si el número medio de vehículos que llegan al peaje de una autopista es de 2 cada 15 min y esta tendencia se mantiene constante en el tiempo, la variable X: número de vehículos que llegan al peaje en 1 hora, sigue un modelo de Poisson de parámetro λ = 8. a) Calcular la probabilidad de que en una hora lleguen al peaje de la autopista más de dos coches. b) Calcular la probabilidad de que lleguen entre 5 y 7 coches, ambos valores inclusive.

27 PROCEDIMIENTO PARA ABORDAR PROBLEMAS EN MODELOS DISCRETOS 1º Paso: DEFINIR UNA VARIABLE ALEATORIA, X, QUE PERMITA ESCRIBIR LA PREGUNTA QUE NOS HACEN EN TÉRMINOS DE ELLA. 2º Paso: VER SI ESTA VARIABLE X SIGUE UNO DE LOS MODELOS DE DISTRIBUCIÓN ESTUDIADOS EN EL TEMA.

28 PROCEDIMIENTO PARA ABORDAR PROBLEMAS EN MODELOS DISCRETOS

29 PROCEDIMIENTO PARA ABORDAR PROBLEMAS EN MODELOS DISCRETOS 12 Se pueden hacer los problemas 7, 8, 11 (final julio ) y 13.

30 2.6. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS: FUNCIÓN DE DENSIDAD, FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Y MEDIDAS ASOCIADAS. Idea: Una variable aleatoria X es continua si toma valores en intervalos de la recta real. Por ejemplo, tiempos, pesos, alturas, voltajes, Definición: Decimos que X es una variable aleatoria continua si su función de distribución F (recordad que F( x) = P( X x) ) puede escribirse a partir de una función f : [0, ) como x ( ) ( ) F x = f t dt La función f se llama función de densidad asociada a la variable aleatoria X. Al igual que la función de distribución, la función de densidad caracteriza a la variable X.

31 PROPIEDADES PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 1.- La función de densidad f verifica: f 0y f () x dx = f : es función de densidad de una variable continua sí y solamente sí verifica las dos condiciones de la propiedad 1. ( ) ( ) ( ) ( ) y ( ) Pa< X b = Fb Fa= f xdx PX= a=. Por a tanto 4.- La función de distribución F de una variable aleatoria continua es CONTINUA en todo. 5.- Si la función de densidad f es continua en x, entonces se verifica F ( x) = f( x) b P( a< X b) = P( a X b) = P( a< X < b) = P( a X < b)

32 Ejemplo 11 (problema 15 hoja de problemas ampliado) Sea T la variable aleatoria que representa el tiempo de vida, en años, de un componente, siendo su función de densidad: 0 si t < 0 f ( t) = 1/10 si 0 < t < 5 ( t 5) e / 2 si t > 5 (a) Comprobar que f(t) es función de densidad (b) Obtener la función de distribución de T (c) Calcular la probabilidad de que el tiempo de vida de una componente esté entre 2 y 7 años. Hacerlo mediante la función de densidad y mediante la función de distribución.

33 MEDIA O ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA X CONTINUA Definición: Sea X una variable aleatoria de tipo continuo cuya función de densidad asociada es f. Llamaremos esperanza matemática o media de la variable aleatoria X al valor µ = E[ X ] = x f ( x) dx < Teorema: Sea X una variable aleatoria continua y sea Y= g(x) una transformación de X tal que Y es una v.a. Entonces, E[ Y ] = E[ g( X )] = g( x) f ( x) dx Consecuencia: Sea Y = ax+b y X una v.a. continua. Entonces, E[Y] = E[aX+b ] = a E[X] + b.

34 CUANTILES DE ORDEN α DE UNA VARIABLE ALEATORIA X Definición: Sea X una variable aleatoria continua con función de distribución F ESTRICTAMENTE CRECIENTE. El cuantil de orden α, 0 < α < 1, es el número real q α que verifica ( ) ( ) P X q = F q = α α α Los cuantiles de órdenes 0.25, 0.50 y 0.75 se llaman primer cuartil, mediana y tercer cuartil, respectivamente. El cuantil de orden α se llama también percentil 100 α. Nota: Para calcular un cuantil NO es necesario obtener la función de distribución. Es suficiente con resolver la ecuación P( X q α ) = α

35 EJEMPLO 12 (problema 15 de la hoja) Sea T la variable aleatoria que representa el tiempo de vida, en años, de un componente, siendo su función de densidad: 0 si x < 0 f ( t) = 1/ 10 si 0 < t < 5 ( t 5) e / 2 si t > 5 (a) Calcular el tiempo medio de vida de una componente. (b) Obtener el cuantil de orden (c) Calcular el valor de t que verifica P(T > t) = 0.4. (d) Sea Y la variable aleatoria que mide el beneficio, en euros, obtenido en la venta de un componente, dado por Y = 3T + 7. Obtener el beneficio medio por pieza.

36 VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA X CONTINUA Definición: Sea X una variable aleatoria continua con media µ = E[X]. Llamaremos varianza de X, V(X), al valor ( [ ]) ( ) V( X) = σ = E[ X E X ] = E[ X µ ] Propiedades de la varianza de una variable aleatoria X: 1. V(X) V( X) = EX [ ] E[ X]. Ahora E X = x f ( x) dx 2 3. V ( ax + b) = a V ( X ) a, b Definición: Sea X v.a. continua y V(X) su varianza. Llamaremos desviación típica de X: σ = dt ( X ) = + V ( X ) Ejemplo 13 (continuación): Calcular V(T) y la variabilidad en el beneficio por pieza.

37 2.7. ALGUNOS MODELOS PARA VARIABLES CONTINUAS. Estudiamos algunas variables aleatorias continuas que sirven como modelos en situaciones reales Distribución uniforme de parámetros a y b Distribución exponencial de parámetro λ Distribución Normal de parámetros µ y σ. Las funciones de densidad de estos modelos así como las medidas más importantes, medias y varianzas, están recogidas en el formulario de la asignatura que se encuentra en Moodle.

38 DISTRIBUCIÓN UNIFORME, U(a,b) DEFINICIÓN: Diremos que X sigue una distribución uniforme de parámetros a y b, < a< b<, ab, (notación: X U(a,b)) si X es una v.a. continua con densidad: 1 si a< x< b f( x) = b a 0 en el resto CÁLCULO DE PROBABILIDADES: Para calcular probabilidades en variables continuas integramos la densidad en el intervalo correspondiente. d 1 P( c < X < d ) = dx c b a

39 Esta es la gráfica de la función de densidad de una variable X U(a = -1,b = 2)) 1 si 1 < x < 2 f( x) = 3 0 en el resto La media y la varianza para X U(a,b) son: [ ] ; V( X) E X ( b a) 2 a+ b = = 2 12

40 ALGUNAS PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN UNIFORME En la uniforme U(a,b), a y b son números reales FINITOS. La uniforme se utiliza en situaciones de máxima incertidumbre en intervalos finitos. Por ejemplo, X: error de redondeo a 1 decimal se modeliza bien mediante una variable U(-0.05, 0.05) Y: número escogido al azar en el intervalo (3,5) es una U(3,5). Ejemplo 13: (problema 18 de la hoja)

41 DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL DE PARÁMETRO λ Notación: X Exp( λ), λ > 0 Su densidad y sus principales medidas son: x λe x 0 f ( x) λ > = E[ X] = 1, V ( X) = x 0 λ λ La exponencial se usa para modelar, por ejemplo, el tiempo de vida de componentes o el tiempo que transcurre entre sucesos independientes. La exponencial es la única distribución continua que verifica la propiedad de falta de memoria: ( > + / > ) = ( > ) P X x h X x P X h

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43 Ejemplo 14 (problema 20 de la hoja)

44 DISTRIBUCIÓN NORMAL E[X] = µ, V(X) (TIPIFICACIÓN = σ 2 y dt(x) = σ. DE LA N(μ,σ)) En la tabla de la distribución N(0,1) está recogida la función de distribución de Z, F Z (z) = P(Z z).entonces, si queremos calcular, por ejemplo, Este 1. resultado P( Z > a) = nos 1 permite P( Z a) obtener = 1 F ( probabilidades Z a) asociadas a X~N(μ,σ) a partir de la tabla de Z ~N(0,1). 2. P a< Z b = P Z b P Z a = F b F a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Z Z

45 GRÁFICOS DE N(µ,σ) De izq a derecha, μ = -1, 0, 1. La N(0,1) es simétrica respecto de la recta x = 0. Para μ = 0 y distintos valores de σ. Cuanto mayor es σ, menos apuntada es la distribución.

46 TIPIFICACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL Teorema: Si X~N(μ,σ), entonces, la variable Z X µ = N, σ ( 01) Este resultado nos permite, usando la tabla de la función de distribución de Z ~N(0,1), obtener probabilidades asociadas para X~N(μ,σ), siendo µ cualquiera y σ > 0.

47 CALCULAR PROBABILIDADES PARA UNA VARIABLE X~N(μ,σ) PASOS A SEGUIR: 1.- Transformar X en una variable en Z ~N(0,1) (TIPIFICAR). 2.- Usar tablas de Z ~N(0,1) 3.- Será necesario utilizar que Z es simétrica respecto de x = 0, para hacer cálculos cuando aparezcan valores negativos. En concreto usaremos que Si a < 0, entonces a > 0 y se verifica que P X < a = P X > a y P X > a = P X < a ( ) ( ) ( ) ( ) Ejemplo 15: Si X ~N(2,4), calcular P(3 < X < 6) y P(X 1).

48 EJEMPLO 16 (problemas 22 y 23 de la hoja) 22 23