Tema 5 Modelos de distribuciones de Probabilidad

Transcripción

1 Tema 5 Modelos de distribuciones de Probabilidad Variable aleatoria unidimensional Dado un espacio de Probabilidad (E, F, P), una variable aleatoria es una aplicación del espacio muestral E al conjunto de los números reales R, tal que la imagen inversa de cada intervalo de R es un suceso. : E s R (s) Por tanto, para cualquier número real x, el conjunto S de sucesos elementales tales que (s)<x constituye un suceso. S { s E; ( s) x} F Tipos de variable aleatorias Discretas: Si los números asignados a los sucesos elementales de E constituyen puntos aislados. Continuas: Los valores asignados pueden ser cualesquiera dentro de ciertos intervalos

2 Tema 5 Modelos de distribuciones de Probabilidad Distribución de probabilidad de una Variable aleatoria Variable aleatoria discreta Sea una variable aleatoria que toma un conjunto de valores x1, x,, xk. Se define la función de probabilidad de como el conjunto de pares (xi, pi) i1,, k, donde pixi) y la suma de las probabilidades es 1 k i 1 pi 1 Podemos expresarla en una tabla, de modo similar a las distribuciones de frecuencias de las variables estadísticas discretas. La probabilidad pixi) es la probabilidad del suceso S formado por los sucesos elementales a los que asignamos mediante el número real xi

3 Tema 5:Modelos de distribuciones de Probabilidad Variable aleatoria continua Sea una variable aleatoria continua. La función de densidad de, que notaremos con f(x), cumple la siguientes propiedades: 1) f(x) es siempre mayor o igual a cero ) Dado un intervalo (a, b), la probabilidad de que la variable tome valores en dicho intervalo es igual al área que encierra la curva en dicho intervalo. 3) El área total que encierra la curva vale 1 f(x) f(x) a a<<b b Área1 Dado un intervalo infinitesimal (x-dx/, x+dx/) de amplitud dx, f(x) es el límite del cociente entre la probabilidad de que la variable tome valores en dicho intervalo y la amplitud del mismo dx x, x + f ( x) lim 0 dx dx dx )

4 Tema 5: Modelos de distribuciones de Probabilidad Función de distribución de una variable aleatoria Dada una variable aleatoria, ligada al espacio de probabilidad (E, F, P), la función de distribución F es una aplicación del conjunto de los números reales al conjunto de los números reales: F : R x R F(x)<x) A partir del conocimiento de la función de distribución, F(x), podemos obtener la probabilidad de que la variable esté comprendida en cualquier intervalo. Propiedades de la Función de distribución: F( ) 0; F( + ) 1 F es no decreciente. Es decir, x, x', tal que x < x' F(x) F(x') a < b) F(b) - F(a)

5 Tema 5: Modelos de distribuciones de Probabilidad Función de distribución de una variable aleatoria discreta y continua Dada una variable aleatoria discreta F ( x) x) xi) xi x Dada una variable aleatoria continua xi x pi x F ( x) x) f ( t) dt Es el área que encierra la función de densidad en el intervalo desde menos infinito a x. F(x) x

6 Tema 5:Modelos de distribuciones de Probabilidad Ejemplos de Variable aleatoria unidimensional 1) Sea el experimento lanzar un dado. Se define la variable 1 si el número es impar y 0 si es par : E R Función de probabilidad x) 0 1/ 1 1/ Suceso par) {,4,6}) 3/ 6 Suceso impar) {1,3,5}) 3/ 6 ) Sea el experimento seleccionar un trabajador al azar de una empresa determinada, donde el 0% no tienen hijos, el 30% tienen 1, 30% tienen y el resto tiene 3. Se define la variable Ynúmero de hijos del trabajador

7 A1 A3 Y : E R Trab. hijos A4 Función de probabilidad de Y 1 0 Y Yy) 0 0, Trab. sin hijos A Trab. 1 hijo Trab. 3 hijos 3 1 0,3 0,3 3 0, Suceso A1) 0 /100 Suceso A) 30 /100 Suceso A3) 30 /100 Suceso A4) 0 /100 1)Función de distribución de F(x) 0 1/ 1 1 )Función de distribución de Y Y F(y) 0 0, 1 0,5 0,8 3 1

8 Esperanza de una variable aleatoria : Variable discreta Variable continua E( ) k i 1 + xi pi E ( ) x f ( x) dx Varianza de una variable aleatoria : Variable discreta Variable continua V k k ( ) ( xi E( )) pi xi pi E( ) E( ) E( i 1 + ( i 1 V ( ) x E( )) f ( x) dx ) Ejemplos: x) 0 1/ 1 1/ E( ) k i 1 xi pi V ( ) E( ) E( ) E( ) 0 1/ + 1 1/ 1/ (0 1/ + 1 1/ ) 0,5 0,5

9 Ejemplos: Y Yy) 0 0, 1 0,3 0,3 3 0, V E( ) k i 1 xi pi E( ) 0 0, + 1 0,3 + 0, , 1,5 ( ) E( ) E( ) (0 0, + 1 0,3 + 0, ,) 1,5 Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas MODELO BERNOULLI Se aplica este modelo a una situación derivada de un experimento aleatorio con sólo dos resultados posibles que llamamos éxito y fracaso. Sea p la probabilidad de éxito y q, la de fracaso. Se define la variable aleatoria 1 si tiene lugar un éxito y 0, si es un fracaso. Función de probabilidad x) 0 q 1 p E ( ) p V ( ) p q

10 Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas MODELO BERNOULLI (continúa) E( ) k i 1 xi pi E ( ) 0 q + 1 p p V ( ) E( ) E( ) (0 q + 1 p) p p p p(1 p) pq Ejemplo La proporción de parados en una población es de 0,. Se selecciona un individuo al azar de dicha población. Se define la variable aleatoria Y 1 si está en paro, e Y0, si no lo está. Determina le media y varianza de Y. E(Y)0,; V(Y)0,16

11 Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas MODELO BINOMIAL Se aplica este modelo a una situación derivada de repetir n veces una prueba o experimento aleatorio con sólo dos resultados posibles que llamamos éxito y fracaso. Sea p la probabilidad de éxito y q, la de fracaso. La probabilidad de éxito permanece constante en las n repeticiones o realizaciones Las pruebas son independientes. El resultado de cualquiera de ellas no afecta a los resultados de las otras. Se define la variable aleatoria número de éxitos entre las n repeticiones del experimento aleatorio. La variable puede tomar los valores 0, 1,,, n. La función de probabilidad viene dada por Función de probabilidad n! k) p k q n k con k k!( n k)! 0,1,,..., n E ( ) np V ( ) n p q Indicaremos que una variable aletaoria sigue un modelo binomial de parámetros n y p B( n, p)

12 Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas EJEMPLO MODELO BINOMIAL La proporción de parados en una población es de 0,. Se seleccionan 4 individuos al azar de dicha población. Se define la variable aleatoria Ynúmero de parados entre los 4 seleccionados a) Determina la media y varianza de Y. b) ninguno esté en paro) c) al menos parados) n! k n k Y B(4, 0,) Función de probabilidad Y k) 0, (1 0,) con k 0,1,,..., n k!( n k)! a) E( ) np 4 0, 0,8 V ( ) n p q 4 0, 0,8 0, 64 b) c) Y 4! 0) 0, 0!(4 0)! 0 0,8 4 0,8 4 0,4096 [ Y 0) + Y 1) ] Y ) 1 Y < ) 1 Y 4! 1 1) 0, 0,8 1!(4 1)! 3 4! 1 0, 0,8 1!3! 3 0,4096 [ Y 0) + Y 1) ] 1 0,4096 0,4096 0, 1808 Y ) 1

13 Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas MODELO POISSON Se aplica este modelo a una situación derivada de observar sobre un espacio continuo (tiempo, longitud, área, etc.) el número de veces que ocurre un suceso determinado (éxito). Por ejemplo, número de accidentes laborales ocurridos en un año en una empresa. La probabilidad del suceso éxito permanece constante en todo el espacio continuo. Dadas dos partes disjuntas del espacio continuo, el número de éxitos ocurridos en una de ellas es independiente del número ocurrido en la otra. Se define la variable aleatoria número de éxitos ocurridos por unidad de espacio continuo. La variable puede tomar los valores 0, 1,,, n, La función de probabilidad viene dada por Función de probabilidad λ x e λ x) con x x! 0,1,,..., n,... Donde V ( ) λ E( ) λ nº medio de éxitos por unidad de espacio continuo Indicaremos que una variable aletaoria sigue un modelo Poisson de parámetro lambda: λ)

14 Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas EJEMPLO MODELO POISSON El número de clientes nuevos diario que llega a una asesoría laboral sigue en modelo de Poisson. Se sabe que el número medio de clientes nuevos diario es de 1,3 Determina a) Probabilidad de que en un día dado no llegue ninguno b) Probabilidad de que lleguen al menos. Función de probabilidad x) e 1,3 1,3 x! x con x 0,1,,..., n,... a) b) 1,3) e 0) -1,3 1,3 0! 0 e 1,3 0,75 Donde e, [ 0) + 1) ] ) 1 < ) 1 1) 1 1) e -1,3 1,3 1! 1 e 1,3 1,3 0,3543 ) 1 0,75 0,3543

15 Modelos de probabilidad de variables aleatorias continuas MODELO NORMAL Este modelo es uno de los más utilizados en la estadística clásica. Presenta una función de densidad simétrica, con forma de campara (campana de Gauss). En el centro de la distribución coinciden la media, mediana y moda. Notaremos con las letras mu y sigma la media y desviación típica, respectivamente. Estos dos parámetros caracterizan a la distribución N( µ, σ ) Función de densidad f ( x) 1 e πσ 1 x µ σ µ

16 Modelos de probabilidad de variables aleatorias continuas MODELO NORMAL (continúa) Existen tablas de la función de distribución de la variable normal estadarizada, Z, que permiten determinar las probabilidades en un modelo normal cualquiera, sin más que tener en cuenta la siguiente propiedad: N( µ, σ ) Z µ σ N(0,1) La probabilidad de que la variable tome valores en un intervalo cualquiera (a, b) es igual a la probabilidad de que la variable estandarizada tome valores en el intervalo estandarizado. a µ µ b µ a µ b µ P ( a < < b) < < ) < Z < ) za < Z < zb) σ σ σ σ σ a µ b Estandarización o tipificación za 0 zb Z

17 Modelos de probabilidad de variables aleatorias continuas EJEMPLO DE MODELO NORMAL El consumo energético anual por hogar en una ciudad sigue un modelo normal de media 100 y desviación típica 400. a) Probabilidad de que seleccionado al azar un hogar, tenga un consumo superior a 000. b) Qué proporción de hogares tiene consumo inferior a 800? c) A partir de qué valor está el 10% de los que más consumen? 100 N(100,400) Z N(0,1) 400 a) > 000) > ) Z > ) 1 Z < ) 1 0,977 0, , ,08 Estandarización o tipificación 0 Z

18 Modelos de probabilidad de variables aleatorias continuas EJEMPLO DE MODELO NORMAL (continúa) b) Qué proporción de hogares tiene consumo inferior a 800? b) 100 N(100,400) Z 400 N(0,1) < 800) Z < ) Z < 1) 400 0,1587 0, ,1587 Estandarización o tipificación -1 0 Z c) A partir de qué valor está el 10% de los que más consumen?

19 Modelos de probabilidad de variables aleatorias continuas EJEMPLO DE MODELO NORMAL (continúa) c) A partir de qué valor está el 10% de los que más consumen? N(100,400) Z N(0,1) c) P ,9 < P90 ) Z < ) Z < P90Z ) P90Z 1, ,9 0,1 100 P90 0,9 0 0,1 P90 Z P P90 Z P90 P90Z P90 1,

20 Aproximación de Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas a continuas Aproximación del modelo Binomial al modelo Normal. Corrección por continuidad Si el parámetro n de una distribución binomial es grande y p no presenta valores muy extremos (fuera del intervalo de extremos 0,1 y 0,9) la distribución del modelo de Binomial se puede aproximar a la de un modelo normal: B( n, p) n > 30 N se aproxima 0,1 < p < 0,9 ( µ np, σ npq ) B( n, p) Aproximación N( np, npq) Esta estrategia de aproximación es útil para simplificar los cálculos en aquellos casos que no se dispone de tablas de distribución binomial para valores altos de n

21 Aproximación de Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas a continuas Aproximación del modelo Binomial al modelo Normal. Corrección por continuidad Observa que para aproximar la variable discreta a la continua hemos de asignar al suceso constituido por un punto (k), todos aquellos valores que están más próximos a k, es decir, el suceso formado por el intervalo (k-0,5; k+0,5) 0,5 0,5 k-1 k+1 k B( n, p) Ejemplo: En una variable que sigue un modelo B(50,0,3) la 7) se aproxima a 6,5 < < 7,5) en una normal N( 50 0,3, 50 0,3 0,7)

22 Aproximación de Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas a continuas Ejemplo: Aproximación del modelo Binomial al modelo Normal Se ha seleccionado una muestra de 300 trabajadores de una población grande. La probabilidad de pertenecer a un sindicato A es 0,5. a)determina la probabilidad de que en la muestra seleccionada, haya más 100 afiliados al sindicato. b)más de 70 y menos de 77) B(300, 0,5) Aproximación B(75, 7,5) a) 100,5 75 > 100) 1 100) 1 100,5) 1 Z ) 1 Z < 3,4) Binomial Binomial Normal 7,5 b) 70, , < < 77) 71 76) 70,5 76,5) Z ) 0,6 Z < 0,) Binomial Binomial Normal 7,5 7,5 0 0,6 Z 0,) Z 0,) Z 0,6) 0,5793 0,743 0,305