Técnicas de Muestreo I

Transcripción

1 1 / 33 Técnicas de Muestreo I Patricia Isabel Romero Mares Departamento de Probabilidad y Estadística IIMAS UNAM septiembre 2018

2 Estimadores de Razón bajo m.a.s.) 2 / 33

3 3 / 33 Estimadores de Razón Se hace uso de información auxiliar. Suponga que para cada unidad muestral, además de obtener información acerca de una variable Y, se obtiene información de una variable X, y se sabe que Y y X están correlacionadas. El estimador de razón dará una estimación de Y con más precisión que el estimador usual Ŷ m.a.s..

4 Estimador de razón Caso 1. Se quiere estimar Y o Ȳ bajo el supuesto que Y i X i y se conoce X o X. 4 / 33

5 5 / 33 Estimador de razón entonces, R = N i=1 Y i N i=1 X = Y i X = Ȳ X Y = RX o Ȳ = R X Un estimador basado en una m.a.s. de n elementos es: Ŷ = ˆRX; ˆȲ = ˆR X donde, ˆR = ȳ x = n i=1 y i n i=1 x i

6 Estimador de razón 6 / 33

7 7 / 33 Estimador de razón Y i X i Y i = RXi Y i = RX i + ε i ε i = Y i RX i Como conocemos X, conocemos la tasa de error X x, entonces ˆȲ = ˆR X = ȳ ) X x X = ȳ x }{{} ajuste Si, por ejemplo, X x = 1.2 X = 1.2 x estamos subestimando, i.e. x < X

8 8 / 33 Ejemplo Suponga que se tiene una m.a.s. de 49 ciudades de un total de 196 de cierta región del país, de las que se conoce el número de habitantes en el año 2010 y se quiere estimar el total de habitantes en la región en Se conoce el total de habitantes en 2010, X = i=1 x i = 5054; 49 i=1 y i = 6262 Ŷ R = ˆRX = 49 y i 49 X = ) = x i 5054 Si consideramos el estimador usual del total bajo m.a.s.: ) 6262 Ŷ m.a.s. = Nȳ = 196 = El total real en el año 2018 es

9 Estimador de razón Caso 1 continuación. Se quiere estimar Y, el total de la característica de interés Y i en la población, pero no se conoce N el total de elementos de la población, por lo que no se puede utilizar el estimador usual Ŷ = Nȳ. Pero, sabemos que entonces, estimamos N con X X = X X N = N ˆN = X x de tal manera que Ŷ = ˆRX = ȳ ) X x X = ȳ x 9 / 33

10 10 / 33 Estimador de la razón Caso 2. Se quiere estimar R estimador de la razón) ˆR = ȳ x = y i x i Por ejemplo, en una encuesta de familias, se mide el ingreso total familiar y i ) y el número de miembros de la familia x i ), entonces, se podría obtener el ingreso per cápita: ˆR = y i x i. Ejemplos de este tipo surgen cuando la unidad de muestreo en el ejemplo, la familia), comprende un conjunto de elementos miembros de la familia) y nuestro interés es estimar la media por elemento.

11 11 / 33 Estimador de la razón También cuando se quiere estimar la proporción de cierta característica en relación al total de todas las características. Por ejemplo: donde % votos al partido q = total de votos al partido q total de votos total de votos = votos al partido 1 + votos al partido

12 12 / 33 Estimador de razón Tomado de Raj y Chandhok 1998). ˆR es consistente para R en el sentido de que ˆR = R cuando el tamaño de muestra es N. ˆR es un estimador sesgado, E ˆR ) R ECM ˆR ) = V ˆR ) + [ B ˆR )] 2 B ˆR ) = E ˆR R ) R CV x)[cv x) ρ CV ȳ)] Además, se demuestra que ) B ˆR ) = E ˆR R CV x) V ˆR )

13 13 / 33 O bien, Estimador de razón E ˆR ) R V x) V ˆR ) CV x) = x En estudios de simulación se ha visto que: B ˆR) V ˆR) %[R I 95% ]

14 Estimador de razón Si n es grande y/o el CV x) 0.1 el sesgo es despreciable y se toma V ˆR) en lugar de ECM ˆR). Además, la distribución muestral de ˆR se aproxima a la normal. V ˆR ) = 1 X 1 2 n 1 ) [S 2 Y 2RS XY + R 2 S 2 ] X N S 2 X = N X i X ) 2 N 1 SY 2 = N Y i Ȳ ) 2 N 1 S XY = N X i X ) Y i Ȳ ) N 1 y su estimador es: ˆV ˆR ) = 1 x 1 2 n 1 ) [Ŝ2 Y 2 ˆRŜ XY + ˆR 2 Ŝ 2 ] X N 14 / 33

15 15 / 33 Estimador de razón Sin embargo, tiene una expresión más operativa Cochran) V ˆR ) = = 1 n ) 1 N n 1 n ) 1 N n 1 X 2 N Y i RX i ) 2 i=1 N 1 1 X 2 V ε i) con ε i = Y i RX i La varianza depende de la varianza de los errores. Si hay buena proporcionalidad entre X y Y, es decir, si Y i = RXi, la varianza del estimador de R es pequeña. Se estima con: ˆV ˆR ) = 1 n ) ) 1 n 2 1 yi ˆRx i N n x 2 i=1 n 1

16 16 / 33 Resumen Estimador de razón Para estimar la razón poblacional: ˆR = ȳ x = y i x i V ˆR ) = ˆV ˆR ) = 1 n ) 1 N n 1 X 2 1 n ) 1 1 N n x 2 N i=1 n i=1 Y i RX i ) 2 N 1 ) 2 yi ˆRx i n 1 Si n es suficientemente grande para que aplique la aproximación Normal, el intervalo aproximado de 1 α) 100% de confianza para R es: ˆR ± z 1 α/2 ˆV ˆR )

17 17 / 33 Resumen Estimador de razón Para estimar el total poblacional con X fijo y conocido): Ŷ = ˆRX ] ) 1 N i=1 Y i RX i ) 2 n V Ŷ ) = X 2 V ˆR ) [ = N 2 1 n N N 1 ˆV Ŷ ) [ = N 2 1 n ) 1 n ) 2 ] i=1 yi ˆRx i N n n 1 Si n es suficientemente grande para que aplique la aproximación Normal, el intervalo aproximado de 1 α) 100% de confianza para Y es: Ŷ ± z 1 α/2 ˆV Ŷ )

18 18 / 33 Resumen Estimador de razón Para estimar la media poblacional con X fijo y conocido): ) V ˆȲ ) ˆV ˆȲ ˆȲ = ˆR X = X 2 V ˆR ) = 1 n ) 1 N i=1 Y i RX i ) 2 N n N 1 = 1 n ) 1 n ) 2 i=1 yi ˆRx i N n n 1 Si n es suficientemente grande para que aplique la aproximación Normal, el intervalo aproximado de 1 α) 100% de confianza para Ȳ es: ) ˆȲ ± z 1 α/2 ˆV ˆȲ

19 19 / 33 Comparación estimador de razón con el usual de m.a.s. Ŷ m.a.s. = Nȳ Ŷ R = ˆRX donde, V ) Ŷ m.a.s. = N 2 1 n ) S 2 Y N n V ) N 2 Ŷ R = n = N2 n 1 n ) S 2 N Y 2RS XY + R 2 SX 2 ) 1 n ) S 2 N Y 2RρS X S Y + R 2 SX 2 ) ρ = S XY S X S Y

20 20 / 33 Comparación estimador de razón con el usual de m.a.s. El estimador de razón es más preciso que el estimador usual de m.a.s. si V Ŷ R ) < V Ŷm.a.s. ) Si S 2 Y + R 2 S 2 X 2RρS X S Y < S 2 Y R 2 S 2 X 2RρS X S Y < 0 R2 S 2 X ρ > 2RS X S Y ρ > RS X CV X) = 2S Y 2CV Y)

21 21 / 33 Tamaño de muestra Si se especifica una δ para el error de estimación en Ȳ, esto es, ] P[ ˆȲ R Ȳ < δ = 1 α Se obtendrá que el tamaño de muestra adecuado, si N es grande, es: Donde, Sε 2 = 1 N 1 n = z2 1 α/2 S2 ε δ 2 N i=1 Y i RX i ) 2 Recordemos que en el caso del estimador usual del m.a.s. n = z2 1 α/2 S2 Y δ 2

22 Estimadores de Regresión bajo m.a.s.) 22 / 33

23 Estimadores de regresión 23 / 33

24 24 / 33 estimador de regresión Variable de interés Y i Variable auxiliar X i b = tanθ = b = ȳ Ȳ x X b x X ) = ȳ Ȳ cateto opuesto cateto adyacente El estimador de regresión de la media poblacional es: ˆȲ reg = ȳ ˆb x X ) = ȳ + ˆb X x ) = ˆȲ mas + ˆb X ˆ X ) mas El estimador de regresión del total poblacional es: N ˆȲ = Nȳ + N ˆb X x ) Ŷ reg = Ŷ m.a.s. + ˆb X ˆX m.a.s. )

25 25 / 33 estimador de regresión Donde ˆb es la pendiente ˆb = n i=1 y i ȳ)x i x) n i=1 x i x) 2 = ŜXY Ŝ 2 X además, ) es el estimador de mínimos cuadrados. Minimiza la V ˆȲ reg. Es difícil encontrar expresiones exactas para la varianza o los ECM de estos estimadores son sesgados). Sin embargo, si n es grande: ) V ˆȲ = S2 Y 1 ρ 2 ) 1 n ) n N donde ρ es el coeficiente de correlación entre X y Y. Xi X ) Y i Ȳ ) ρ = S XY S X S Y = [ N i=1 N i=1 Xi X ) 2 N i=1 Yi Ȳ ) 2 ] 1/2

26 Resumen estimador de regresión Para estimar la media poblacional, con X conocido: ˆȲ reg = ȳ + ˆb X x ) ) V ˆȲ reg ) ˆV ˆȲ reg = S2 Y n = Ŝ2 Y n 1 ρ 2 ) 1 n N ) 1 ˆρ 2 ) 1 n N ) Si n es suficientemente grande para que aplique la aproximación Normal, el intervalo aproximado de 1 α) 100% de confianza para Ȳ es: ) ˆȲ reg ± z 1 α/2 ˆV ˆȲ reg 26 / 33

27 27 / 33 Resumen estimador de regresión Para estimar el total poblacional, con X conocido: Ŷ reg = Nȳ + ˆbX N x) V Ŷ reg ) = N 2 S2 Y n ˆV Ŷ reg ) = N 2 Ŝ2 Y n 1 ρ 2 ) 1 n N ) 1 ˆρ 2 ) 1 n N ) Si n es suficientemente grande para que aplique la aproximación Normal, el intervalo aproximado de 1 α) 100% de confianza para Y es: Ŷ reg ± z 1 α/2 ˆV ) Ŷ reg

28 28 / 33 Ejemplo estimador de regresión Se examinó a 486 candidatos al ingresar a una escuela. De estos se tomó una m.a.s. de 10 estudiantes a los que se les midió su calificación en Cálculo al final del primer semestre. Se sabe que X = 52 para las 486 estudiantes. Se desea estimar Ȳ, el promedio de calificación en Cálculo de todos los estudiantes al final del primer semestre.

29 29 / 33 Ejemplo estimador de regresión estudiante Calificación admisión X) Calificación Cálculo Y)

30 Ejemplo estimador de regresión 30 / 33

31 31 / 33 Ejemplo estimador de regresión N = 486 X = 52 x = 46 n = 10 ȳ = 76 Ŝ 2 Y = ˆb = ˆρ = 0.84 ˆȲ reg = ȳ + ˆb X x ) = )52 46) ˆȲ reg = ) ˆV ˆȲ reg = 1 n ) Ŝ 2 Y 1 ˆρ 2 ) N n = 1 10 ) ) = )22.844)0.2944) = 6.586

32 32 / 33 Ejemplo estimador de regresión Si hacemos la aproximación a normalidad, el Intervalo del 95% de confianza para Ȳ es: ˆȲ reg ± ± ) ± , )

33 33 / 33 Tamaño de muestra Si se especifica una δ para el error de estimación en Ȳ, esto es, ] P[ ˆȲ reg Ȳ < δ = 1 α Se obtendrá que el tamaño de muestra adecuado, si N es grande, es: n = z2 1 α/2 S2 Y 1 ρ 2 ) δ 2 Si ρ es grande, n es pequeña. Recordemos que en el caso del estimador usual del m.a.s. n = z2 1 α/2 S2 Y δ 2