Muestreo en Poblaciones Finitas

Transcripción

1 Información Adicional. Estimadores de Razón y Regresión 1/25 Muestreo en Poblaciones Finitas Información Adicional. Estimadores de Razón y Regresión José A. Mayor Gallego Departamento de Estadística e Investigación Operativa Universidad de Sevilla Septiembre de 2011

2 Contenidos Información Adicional. Estimadores de Razón y Regresión 2/25 1 Información Auxiliar Predicción de Y Estimación Basada en la Predicción 2 Estimador de razón del total y la media poblacional Ejemplo 3 Estimador de regresión del total la media poblacional 4 Estimador General de Regresión 5 Aplicación a la estimación en Áreas Pequeñas 6 Bibliografía

3 Información Auxiliar Información Adicional. Estimadores de Razón y Regresión 3/25 Variable de información auxiliar. Valores conocidos. X = (x 1, x 2, x 3,..., x N ) Ejemplo. Estudio económico en familias. X : Ingresos globales de la familia i Ejemplo. Estudio agrícola. Producción de aceite de oliva. X : Número de olivos en la plantación i La relación entre Y y X puede tener distintos patrones según la situación. Incorporando a las estimaciones la información suministrada por X podemos mejorar la precisión.

4 Relación entre Variables Información Adicional. Estimadores de Razón y Regresión 4/25 Modelo matemático de relación entre Y y X. y i f (x i ), i U Se realiza una hipótesis sobre la forma funcional de f. f puede contener parámetros desconocidos, que será necesario estimar. Por ejemplo se puede saber, o suponer, que f es de la forma, f (x) = α + β x pero no conocer los valores de α y β. Según el modelo sea más exacto obtendremos más precisión en la estimación.

5 Predicción de Y Información Adicional. Estimadores de Razón y Regresión 5/25 Modelo de relación. y i f (x i ), i U Estimación de f a partir de la información muestral. m f Construcción de la variable Y estimada mediante prediccìón. ŷ i = f (x i ) i U

6 Estimación del total. Descomposición básica Información Adicional. Estimadores de Razón y Regresión 6/25 Total poblacional. t y = y i = ŷ i + i ŷ i ) i U i U i U(y Estimación basada en la predicción. t y = i U ŷ i + i m y i ŷ i π i Según apliquemos diferentes modelos, obtendremos distintas estimaciones. Si la predicción fuera exacta, el segundo sumando sería CERO y la estimación sin error. Situación utópica en la realidad.

7 Estimador de Razón. MAS(N, n) Información Adicional. Estimadores de Razón y Regresión 7/25 Modelo de relación. Modelo de proporcionalidad directa. Predicción o estimación de Y. y i β x i β IR i U ŷ i = βx i siendo β una estimación de β Estimador. π i = n/n. t y = i U ŷ i + N n y i ŷ i = β t x + N(y m β x m ) i m

8 Estimador de Razón. MAS(N, n). Información Adicional. Estimadores de Razón y Regresión 8/25 Estimación del parámetro β. Estimación del total. y U β x U β y U x U = R β = R = y m x m t y = y m x m t x + N(y m y m x m x m ) El segundo sumando es nulo. Obtenemos así el estimador de razón del total. t y raz = y m x m t x Estimador de razón de la media. ŷ Uraz = y m x m x U

9 Varianza del Estimador de Razón de la Media Información Adicional. Estimadores de Razón y Regresión 9/25 Se calcula a partir de la varianza del estimador de una razón, multiplicando por x 2 U. [ ] y V [ŷ Uraz ] = V m x U = x 2 x UV m [ ] y m x m Varianza aproximada y varianza estimada V [ŷ Uraz ] 1 f n [ S 2 yu + R 2 S 2 xu 2RS xyu ] V [ŷ Uraz ] = 1 f n [S 2 ym + R 2 S 2 xm 2 RS xym ]

10 Precisión del Estimador de Razón Información Adicional. Estimadores de Razón y Regresión 10/25 Cuanto más fuerte y aproximada sea la relación entre Y y X más preciso será el estimador de razón al ser más próximos los valores estimados ŷ i a los valores verdaderos y i. Caso extremo. Relación exacta Y = βx ŷ Uraz = y m x U = β x m x U = β x U = y x m x U m No es usual en situaciones reales.

11 Ejemplo Población, U 1, de N = 16 elementos, con valores de las variables, X 2, 0 3, 0 6, 0 2, 0 4, 0 6, 0 4, 0 9, 0 Y 4, 5 6, 2 12, 4 4, 3 8, 6 12, 7 9, 0 19, 1 X 3, 0 5, 0 7, 0 1, 0 3, 0 6, 0 3, 0 8, 0 Y 6, 1 10, 2 14, 2 2, 1 6, 3 12, 4 6, 0 16, 1 Muestra aleatoria simple m = {3, 15, 11, 7}. x U = 1 (2, 0 + 3, , 0) = 4, 5 16 y m = 10, 4 x m = 5, 0 ŷ Uraz = y m x m x U = 9, 36 siendo el verdadero valor de la media, y U = 1 (4, 5 + 6, , 1) = 9, Se ha obtenido pues una estimación muy aproximada. El coeficiente de correlación entre X é Y es para esta población ρ = 0, Relación lineal muy fuerte entre ambas variables. Información Adicional. Estimadores de Razón y Regresión 11/25

12 Ejemplo Información Adicional. Estimadores de Razón y Regresión 12/25 Población U 2, de N = 16 elementos, con valores de las variables, X 2, 0 3, 0 6, 0 2, 0 4, 0 6, 0 4, 0 9, 0 Y 3, 0 7, 3 11, 0 4, 9 6, 6 14, 7 5, 0 8, 1 X 3, 0 5, 0 7, 0 1, 0 3, 0 6, 0 3, 0 8, 0 Y 8, 1 4, 2 15, 2 4, 1 4, 3 9, 4 7, 0 19, 1 Muestra aleatoria simple m = {3, 14, 10, 6}. x U = 1 (2, 0 + 3, , 0) = 4, 5 16 y m = 9, 825 x m = 5, 75 ŷ Uraz = y m x m x U = 7, 69 siendo el verdadero valor de la media, y U = 1 (3, 0 + 7, , 1) = 8, Estimación menos aproximada. El coeficiente de correlación entre X é Y es para esta población ρ = 0, Relación lineal menos fuerte.

13 Estimador de Regresión. MAS(N, n) Información Adicional. Estimadores de Razón y Regresión 13/25 Modelo de relación. Modelo lineal simple. y i α + β x i α, β IR i U Predicción o estimación de Y. ŷ i = α + βx i siendo α y β estimaciones de α y β Estimador. π i = n/n. t y = ŷ i + N n i U y i ŷ i = N α + β t x + N(y m α β x m ) i m

14 Estimador de Regresión. MAS(N, n). Información Adicional. Estimadores de Razón y Regresión 14/25 Estimación de los parámetros α y β. Mínimos cuadrados. MIN α,β (y i α β x i ) 2 = α = y m β x m y β = S xym i m Estimación del total. t y = N(y m βx m ) + β t x + N(y m y m + β x m β x m ) S 2 xm El segundo sumando es nulo. Obtenemos así el estimador de regresión del total. [ t y reg = N y m + S ] xym Sxm 2 (x U x m ) Estimador de regresión de la media. ŷ Ureg = y m + S xym Sxm 2 (x U x m )

15 Varianza del Estimador de Regresión Información Adicional. Estimadores de Razón y Regresión 15/25 Coeficientes de correlación lineal Poblacional ρ = S xyu S xu S yu Muestral r = S xym S xm S ym Varianza aproximada y varianza estimada V [ŷ Ureg ] 1 f n S2 yu(1 ρ 2 ) V [ŷ Ureg ] = 1 f n S2 ym(1 r 2 )

16 Estimador General de Regresión Información Adicional. Estimadores de Razón y Regresión 16/25 J variables auxiliares. X j = (x j1, x j2,..., x jn ), j = 1, 2,..., J Modelo de relación entre variables. Modelo de Superpoblación. (y 1, y 2,..., y N ) es una realización del vector aleatorio de componentes independientes (Y 1, Y 2,..., Y N ) E s [Y k ] V s [Y k ] = β 1 x 1k + β 2 x 2k + + β J x Jk, k U = σ 2 k, k U Es una formalización matemática de las relaciones existentes entre la variable de estudio, Y, y una o varias variables auxiliares, X 1, X 2,..., X J. E s y V s indican esperanza y varianza en relación al modelo [aleatoriedad de Y k ].

17 Casos Particulares Información Adicional. Estimadores de Razón y Regresión 17/25 Modelo de proporcionalidad directa. Varianza proporcional. El modelo y k βx k se formaliza mediante, E s [Y k ] V s [Y k ] = βx k = σ 2 x k Modelo de regresión lineal simple. Homocedástico. El modelo y k α + βx k se formaliza mediante, E s [Y k ] V s [Y k ] = β 1 + β 2 x k = σ

18 Estimador General de Regresión del Total Información Adicional. Estimadores de Razón y Regresión 18/25 π-estimador de totales de Y y X j. t yπ = i m y i π i t xjπ = i m x ji π i, j = 1,..., J Información auxiliar del elemento poblacional i-ésimo. x i = (x 1i, x 2i,..., x Ji ) Coeficientes de regresión estimados. Mínimos cuadrados. [ ] 1 B = ( B 1,..., B x i x i x i y i J ) = σi 2 π i σi 2 π i i m i m Estimador General de Regresión del Total Poblacional J t yr = t yπ + B j (t xj t xjπ ) j=1

19 Varianza del Estimador General de Regresión Información Adicional. Estimadores de Razón y Regresión 19/25 Varianza Aproximada V [ t yr ] i j U ij E i π i E j π j Residuos, poblacionales. E i = y i x i B, i U Coeficientes de regresión. [ ] 1 x i x i x i y i B = (B 1,..., B J ) = σi 2 π i σi 2 π i i U i U

20 Varianza del Estimador General de Regresión Información Adicional. Estimadores de Razón y Regresión 20/25 Varianza Estimada V [ t yr ] = i j m ij π ij g i e i π i g j e j π j Residuos muestrales. e i = y i x B, i i m Coeficientes de regresión estimados. [ ] 1 B = ( B 1,..., B x i x i x i y i J ) = σi 2 π i σi 2 π i Ponderaciones muestrales. [ x i x i g i = 1+(t x t xπ ) σi 2 π i i m ] 1 xi σ 2 i i m i m t x = (t x1,..., t xj ), i m t xπ = ( t x1π,..., t xjπ )

21 Observaciones Información Adicional. Estimadores de Razón y Regresión 21/25 La varianza del estimador general de regresión se obtiene mediante la técnica de aproximación lineal. El estimador general de regresión no es insesgado pero sí asintóticamente insesgado, es decir, su sesgo tiende a cero cuando el tamaño de muestra aumenta. Referencia Fundamental Särndal, C., Swensson, B. and Wretman, J. (1992). Model Assisted Survey Sampling. Springer-Verlag. New York, Inc.

22 Aplicación a la Estimación en Áreas Pequeñas Información Adicional. Estimadores de Razón y Regresión 22/25 Estimaciones del Total y la Media en una Subpoblación U d t yd = i m d y i /π i siendo m d = m U d ŷ Ud = i m d y i /π i i m d 1/π i INCONVENIENTE: En áreas pequeñas, los tamaños muestrales en las mismas son reducidos o incluso nulos.

23 Estimación Basada en Modelo Información Adicional. Estimadores de Razón y Regresión 23/25 Modelo general de regresión. E s [Y k ] V s [Y k ] = β 1 x 1k + β 2 x 2k + + β J x Jk, k U = σ 2 k, k U Variable estimada en el modelo. ŷ i = x B, i i U siendo, [ ] 1 B = ( B 1,..., B x i x i x i y i J ) = σi 2 π i σi 2 π i i m i m

24 Estimación Basada en Modelo Información Adicional. Estimadores de Razón y Regresión 24/25 Estimaciones del Total Poblacional Estimador de síntesis [Syntetic estimator]. t yd,sint = i U d ŷ i Estimador de regresión generalizado. t yd,reg = ŷ i + i U d i m d y i ŷ i π i Si m d es vacía, el estimador de regresión se reduce al estimador de síntesis.

25 Bibliografía Información Adicional. Estimadores de Razón y Regresión 25/25 Fernández García, F.R. y Mayor Gallego, J.A. (1995). Muestreo en poblaciones finitas: Curso básico. E.U.B. Ediciones Universitarias de Barcelona. Lohr, S.L. (2010). Sampling: Design and Analysis. 2nd. Edition. Brooks/Cole. International Edition. Särndal, C., Swensson, B. and Wretman, J. (1992). Model Assisted Survey Sampling. Springer-Verlag. New York, Inc.