Taller I Econometría I

Transcripción

1 Taller I Econometría I 1. Considere el modelo Y i β 1 + ɛ i, i 1,..., n donde ɛ i i.i.d. N (0, σ 2 ). a) Halle el estimador de β 1 por el método de mínimos cuadrados ordinarios. Para realizar el procedimiento de mínimos cuadrados ordinarios debemos resolver el siguiente problema de minimización: mín β 1 ɛ 2 i (y i β 1 1) 2 Siendo el argumento minimizador β OLS ˆ (X T X) 1 X T Y. Ahora definiendo: 1 y 1 1 Se tiene entonces que: i 1 nx1 Y y 2 y n ˆβ 1 (i T i) 1 (i T Y ) Operando las matrices entonces tenemos: (i T i) [ ] 1xn nx1 nx1 n (i T i) 1 1 n Y por otro lado tenemos que, Así, (i T Y ) [ ] y 2 1xn y n y 1 nx1 y i ˆβ 1 1 n y i ȳ 1

2 b) Cuál es el estimador insesgado de la varianza poblacional del modelo? ˆσ 2 s 2 En este caso tenemos que p 1 entonces: ɛt ɛ n p s 2 (y i ȳ) 2 n 1 c) Cuáles son los supuestos del modelo de regresión lineal? i Aleatoriedad de la muestra: se tiene una muestra aleatoria de datos D {(x i y i ), i 1,, n} lo que implica que las observaciones muestrales son i.i.d.. ii Linealidad: f(x i ) x T i β β 0 + x T i β Esto implica que la función f(x i ) es lineal en los parámetros y que el término de error entra en forma aditiva. iii Exogeneidad Estricta: Este supuesto implica que: E(ɛ i X) 0, i 1,, n La media incondicional del término de error es cero (por ley de las expectativas iteradas): E(ɛ i ) E(ɛ i X) 0, i 1,, n. Los regresores son ortogonales al término de error para todas las observaciones: E(x ij ɛ k ) E[E(x ij ɛ k x ij )] E[x ij )(x ij ɛ k ] 0 i, k 1,, n; j 1,, p La media condicional de la variable dependiente es una función lineal de los regresores: E(Y X) Xβ E(y i x i ) β 0 + x T i β iv Matriz de diseño bien definida: Este supuesto implica que: 2

3 No multicolinealidad: Rango de la matriz de datos (también de diseño) es p con probabilidad 1. P(Rango(X) p) 1 El número de observaciones en la muestra debe ser mayor al numero de parámetros a estimar n > p. v Perturbaciones esféricas: Homocedasticidad No correlación Var(ɛ i X E(ɛ 2 i X) [E(ɛ i X)] 2 E(ɛ 2 i X) σ 2, i 1,, n Cov(ɛ i, ɛ k X) E(ɛ i ɛ k X) E(ɛ i X) E(ɛ k X) E(ɛ i ɛ k X) 0 i, k 1,, n, i k vi Normalidad de los errores: ɛ i distribuye normal con media cero y varianza σ 2 condicional a X. ɛ i X i.i.d. N (0, σ 2 ) i 1,, n 2. A partir de la información del sector manufacturero en Estados Unidos para una muestra de 100 industrias, se obtuvieron los siguientes resultados de la estimación de una función de tipo Cobb-Douglas: log Y 2,62 + 0,76 (0,5) (0,10) log L + 0,20 (0,09) log K SCR 0, SCE 0, donde Y es el valor agregado (millones de dólares), L el stock de trabajo (número de trabajadores), y K el stock de capital neto (valor neto de plantas y equipos en millones de dólares). SCR y SCE son las sumas de cuadrados de la regresión y los residuales, respectivamente. Los valores en paréntesis corresponden a los errores estándar estimados. a) Calcule e interprete el coeficiente de determinación. R 2 1 SCR SST SCR 1 SCR + SCE 1 0, , El modelo explica un 2,7 % de la variación total del valor agregado (Y ). 3

4 b) Son las variables del modelo conjuntamente significativas al 5 %? Para resolver esta pregunta usamos la prueba conjunta de F definida a continuación: H 0 : β 1 β 2 0 H a : β i 0 para al menos un i R 2 /k F (1 R 2 )/(n k 1) (0,027566)/2 F (1 0,027566)/( ) F Calculado 1,37487 Lo cual se contrasta con el valor tabulado en la tabla F 2,97 confianza del 95 %, lo que nos da un valor de: para un nivel de F tabulado 3, Analizando estos resultados gráficamente tenemos que: F 2,97 RH 0 F Calc F tab F calculado F 2,97 Figura 1: Distribución F con d 1 2, d 2 97 Así pues tenemos que: F Calc < F tab Por lo que concluimos que NOse rechaza la hipótesis nula. Por lo que las variables del modelo son conjuntamente significativas. c) Cuáles variables son significativas al 5 %? 4

5 i Variable trabajo: Para resolver esta pregunta usamos una prueba t de dos colas: H 0 : β 1 0 H a : β 1 0 Para calcular el t usamos la siguiente fórmula: t ˆβi ˆβ i Se( ˆβ i ) t ˆβ1 0,76 0,1 t ˆβ1 7,6 Lo cual se contrasta con el valor tabulado de t 97 para una prueba de dos colas. El valor tabulado para un nivel de significancia del 95 % es: t tabulado ±1, Analizando estos resultados gráficamente tenemos que: t 97 RH 0 t tab t ˆβ1 t 97 t 97 t ˆβ1 Así pues tenemos que: Figura 2: Distribución t con df 97 t ˆβ1 > ttab Por lo que concluimos que se rechaza la hipótesis nula. Por lo que la variable trabajo es significativa a un nivel de confianza del 95 %. 5

6 ii Capital Para resolver esta pregunta usamos una prueba t de dos colas: H 0 : β 1 0 H a : β 1 0 Para calcular el t usamos la siguiente fórmula: t ˆβi ˆβ i Se( ˆβ i ) 0,2 0, Lo cual se contrasta con el valor tabulado de t 97 para una prueba de dos colas. El valor tabulado para un nivel de significancia del 95 % es: t tabulado ±1, Analizando estos resultados gráficamente tenemos que: t 97 RH 0 t tab t 97 Así pues tenemos que: Figura 3: Distribución t con df 97 > ttab Por lo que concluimos que se rechaza la hipótesis nula. Por lo que la variable capital es significativa a un nivel de confianza del 95 %. 6

7 d) Interprete los coeficientes estimados del modelo. Cuadro 1: Interpretación de los coeficientes Variable Interpretación Intercepto Si los valores del capital y del trabajo fueran 0, la producción sería de US$13.73 millones Trabajo Capital Ceteris Paribus, cada punto porcentual adicional de trabajo incrementa la producción en un 76 %. Ceteris Paribus, cada punto porcentual adicional de capital incrementa la producción en un 20 %. 3. Se quiere estudiar la relación entre el gasto semanal promedio en alimentos de las familias de no más de tres integrantes (Y) y su ingreso semanal en dólares (X), ajustando i.i.d. el modelo y i β 1 + β 2 x i + ɛ i, ɛ i N (0, σ 2 ). De una muestra de cuarenta familias se obtuvieron los siguientes resultados: ɛ 2 i 1780,4 x i y i 69435,04 x i 2792 y i 943,78 x 2 i ,23 a) Muestre que: ˆβ1 ȳ ˆβ 2 x, y ˆβ 2 (x i x)(y i ȳ) (x i x) 2 yi ,06 x iy i n xȳ x2 i n x2 Entonces tenemos que el problema de minimización en este caso es: mín ˆβ 1, ˆβ 2 ɛ 2 i (y i ˆβ 1 ˆβ 2 x i ) 2 Hallando las condiciones de primer orden tenemos: 2 2 (y i ˆβ 1 ˆβ 2 x i ) 0 (1) [x i (y i ˆβ 1 ˆβ 2 x i )] 0 (2) A continuación utilizamos varias propiedades de la sumatoria que se pueden encontrar en el apéndice A del Wooldridge. Analizando cada C.P.O. por separado tenemos que: 7

8 La primera orden de condición nos da: (y i ˆβ 1 ˆβ 2 x i ) 0 y i n ˆβ 1 ˆβ 2 y i ˆβ 2 x i 0 x i n ˆβ 1 Usando las propiedades de la sumatoria tenemos entonces: De la segunda resulta entonces: n ˆβ 1 nȳ n ˆβ 2 x ˆβ 1 ȳ ˆβ 2 x [x i (y i ˆβ 1 ˆβ 2 x i )] 0 (x i y i x i ˆβ1 ˆβ 2 x 2 i ) 0 Reemplazando ˆβ 1 tenemos que: [x i y i x i (ȳ ˆβ 2 x) ˆβ 2 x 2 i ] 0 Aplicando las propiedades de la sumatoria: x i y i ȳ x i ˆβ 2 ( x 2 i x x i ) x i y i n xȳ ˆβ 2 ( x 2 i n x 2 ) ˆβ 2 x iy i n xȳ x2 i n x2 b) Halle los estimadores de mínimos cuadrados ordinarios ˆβ 1 y ˆβ 2 e interprete. Primero hallamos ˆβ 2. Reemplazando en las fórmulas dadas anteriormente tenemos (Recuerde que x x i/n): 69435,04 (40)(69,8)(23,5945) ˆβ ,23 (40)(69,8) 2 ˆβ 2 0,

9 Reemplazando y hallando ˆβ 1 tenemos: ˆβ 1 23,5945 (40)(69,8) ˆβ 1 7,38322 Re-expresando nuestro modelo: y i 7, ,232253x i + ɛ i Interpretando tenemos: Cuadro 2: Interpretación de los coeficientes Variable Interpretación Consumo de Supervivencia Si el ingreso promedio de los hogares fuese nulo se estima que el consumo sería de US$ PMC Ceteris Paribus, por cada dólar adicional de ingreso el consumo aumenta US$ c) Halle la varianza de ˆβ 2. Tenga en cuenta que Var( ˆβ 2 ) σ 2 (x i x) 2 Primero hallamos σ 2 : σ 2 SSR ,4 38 σ 2 46,8526 Ahora reemplazando en la primera ecuación: Var ˆβ 2 46,8526 (x i x) 2 46,8526 x2 i n x2 46, ,23 (40 69,8 2 ) Var ˆβ 2 0, d) Es la propensión marginal al consumo significativa a un nivel α 0,05? Antes de continuar debemos hallar Se( ˆβ 2 ). Se( ˆβ 2 ) Var ˆβ 2 0, Se( ˆβ 2 ) 0,

10 Para resolver esta pregunta usamos una prueba t de dos colas: H 0 : β 2 0 H a : β 2 0 Para calcular el t usamos la siguiente fórmula: t ˆβi ˆβ i Se( ˆβ i ) 0, , ,20039 Lo cual se contrasta con el valor tabulado de t 38 para una prueba de dos colas. El valor tabulado para un nivel de significancia del 95 % es: t tabulado ±2, Analizando estos resultados gráficamente tenemos que: t 38 RH 0 t tab t 38 t 38 Figura 4: Distribución t con df 38 Así pues tenemos que: > ttab Por lo que concluimos que se rechaza la hipótesis nula. Por lo que la propensión marginal al consumo ( ˆβ 2 ) es significativa a un nivel de confianza del 95 %. 10

11 e) Contraste la hipótesis de que la propensión marginal al consumo es de Para resolver esta pregunta usamos una prueba t de dos colas: H 0 : β 2 0,25 H a : β 2 0,25 Para calcular el t usamos la siguiente fórmula: β t ˆβi ˆ i a Se( ˆβ i ) 0, ,25 0, , Lo cual se contrasta con el valor tabulado de t 38 para una prueba de dos colas. El valor tabulado para un nivel de significancia del 95 % es: t tabulado ±2, Analizando estos resultados gráficamente tenemos que: t 38 RH 0 t tab t 38 t 38 Así pues tenemos que: Figura 5: Distribución t con df 38 < ttab Por lo que concluimos que NO se rechaza la hipótesis nula. Por lo que la propensión marginal al consumo ( ˆβ 2 ) es diferente de 0.25 a un nivel de confianza del 95 %. 11

12 f ) Calcule e interprete el coeficiente de determinación del modelo. Para hallar el R 2 primero debemos hallar SST: SST (y i ȳ) 2 yi 2 nȳ 2 SST 2607,46 Calculando ahora el R 2 : R 2 1 SCR SST ,4 2607,46 R 2 0,31708 El modelo explica un 31,7 % de la variación total del gasto semanal promedio de las familias(y i ). 12